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Construire l'image du triangle ABC par l'homothétie de centre O et de rapport -2 On construit respectivement les symétriques A', B' et C' de A, B et C par l' 

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facteur la figure de départ est agrandie ou réduite L'homothétie de centre O et de rapport k est notée H(O;k) Une homothétie porte sur tous les points du plan et 

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Exemple : Le rectangle A'B'C'D'est l'image du rectangle ABCD par l'homothétie de centre 0 et de rapport k=3 AB = 2 cm donc A'B' = 3 * AB = 3 x 2 = 6 cm Aire( 

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Une homothétie est définie par son centre O et son rapport k Selon le signe ( positif ou négatif) du nombre k, on a 2 cas de figure Exemple 1 : rapport k positif

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On appelle homothétie de centre O et de rapport k la transformation qui à tout point M associe le une homothétie de rapport 1 laisse tous les points invariants

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Transformer une figure par homothétie, c'est créer l'image de cette figure par rapport à: – un centre O (un point); – un rapport k (un nombre) Si k est supérieur à 

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remarque : Soit une homothétie de centre O et de rapport k (nombre relatif non nul) ▻ Si k > 1 ou k < –1 l'homothétie provoque un agrandissement de la figure

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Soit un point O, qu'on appellera centre, et un nombre k, qu'on appellera rapport Si A est un point, l'image de A par l'homothétie de centre O et de rapport k est :

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a) Construire le centre O et déterminer le rapport k de cette homothétie en justifiant b) Ecrire les égalités faisant intervenir des longueurs de segment et le rapport 

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Ch 4

Sommaire

0- Objectifs

1- Homothétie

2- Le théorème de Thalès

3- La réciproque du théorème de Thalès

0- Objectifs

• Comprendre l'efffet d'une homothétie sur une ifigure • Utiliser le théorème de Thalès et sa réciproque

• Faire le lien entre théorème de Thalès, homothétie et proportionnalitéHOMOTHÉTIE et TRIANGLES

1- Homothétie

Une homothétie est déifinie par son centre O et son rapport k. Selon le signe (positif ou négatif) du nombre k, on a 2 cas de ifigure.

Exemple 1 : rapport k positif

Avec l'homothétie de centre O et de rapport 1,5

A' est l'image de A signiifie que :

• O, A et A' sont alignés • le sens de O vers A' est le me7me que celui de O vers A• OA' = 1,5×OA

Exemple 2 : rapport k négatif

Avec l'homothétie de centre O et de rapport -1,5

A' est l'image de A signiifie que :

• O, A et A' sont alignés • le sens de O vers A' est l'opposé de celui de O vers A • OA' = 1,5×OA

Exemple 3 :

• O, A, B et C étant 4 points donnés, construire l'image du triangle ABC par l'homothétie de centre O et de rapport 0,6.

Calculs :

OA' = 0,6×OA

OB' = 0,6×OB

OC' = 0,6×OCOn peut remarquer que le triangle

A'B'C' est une réduction du triangle ABC

car le rapport 0,6 est plus petit que 1.

On a A'B' = 0,6×AB, A'C' = 0,6×AC

et B'C' = 0,6×BC

2- Le théorème de Thalès

Soit 2 droites sécantes (AB) et (AC) et un point M sur (AB) et un point N sur (AC) tels que (MN) soit parallèle à (BC).

3 situations possibles :

Théorème de Thalès :

Soit deux alignements : A, B, M et A, C, N :

Si (MN) // (BC) alors AB

AM=AC AN=BC MN

Remarque :

Ce théorème signiifie que le triangle ABC est une réduction ou un agrandissement du triangle AMN

(co7tés correspondants proportionnels).Exemple : • Dans le schéma ci-contre, (CB) et (AD) se coupent en E avec (CD)//(AB), EC = 2,8 cm, EA = 3,5 cm, EB = 4 cm et CD = 3 cm.

Calculer DE et AB.

E, C et B sont alignés, ainsi que E, D et A.

Comme (CD) est parallèle à (AB), on peut donc utiliser le théorème de Thalès : les deux triangles ECD et EBA ont des c o7tés proportionnels.On a donc EC EB=ED EA=CD

BA donc 2,8 cm

4 cm=ED

3,5 cm=3 cm

BA donc ED =3,5 cm × 2,8 cm

4 cm=9,8

4cm = 2,45 cm

et BA =3 cm × 4 cm

2,8 cm=12

2,8cm =30

7cm ≈ 4,3 cm (arrondi au dixième)

Remarque : ECD est l'image de EBA par l'homothétie de centre E et de rapport 0,7 car EC

EB=2,8

cm4 cm=28

40=4×7

4×10=7

10= 0,7 donc EC = 0,7×EB.

3- La réciproque du théorème de Thalès

Théorème :

Soient deux alignements : A, B, M et A, C, N

tels que les points A, M, B soient dans le me7me ordre que les points A, N ,C.Si AB AM=AC

AN alors (MN) // (BC)

L'hypothèse sur l'ordre des points permet de se restreindre à l'une des 3 situations possibles : il

suiÌifiÌit ensuite de montrer que les quotients sont égaux pour en déduire que les droites sont

parallèles.

Exemple :

• Observer le schéma ci-contre : [AB] et [DC] se coupent en E avec DE = 7 cm, CE = 11 cm,

BE = 16,5 cm et AE = 10,5 cm.

Démontrer que (AD)//(BC).

A, E et B sont alignés dans le m

e7me ordre que l'alignementD, E et C en efffet, E est entre A et B et aussi entre D et C.

Par ailleurs, d'une part, ED

EC=7 cm

11 cm=7

11 et, d'autre part, AE

EB=10,5 cm

16,5 cm=10,5

16,5=105

165=

3 × 5 × 7

3 × 5 × 11=

7

11donc ED

EC = AE

EB donc, d'après la réciproque du théorème de Thalès, les droites (AD) et (BC) sont parallèles. Remarque : EDA est l'image de ECB par l'homothétie de centre E et de rapport -7 11 car ED EC=7

11 donc ED =7

11× EC et le signe - indique le demi-tour.

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