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intensité du trafic ; – Q : longueur de la file, πn = P(Q = n), GQ(z) = E(zQ); – ˜Q : nombre de personnes en attente, ˜Q = Q - n01l{Q李n0} s'il y a n0 serveurs ;

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Aime Lachal

Resume de les d'attente

Notations generales en regime stationnaire :

S: temps de service,E(S) =1

var(S)

E(S),LS(z) =E(ezS);

T: temps inter-arrivees,E(T) =1

=E(S) E(T)= : intensite du trac;

Q: longueur de la le,n=P(Q=n),GQ(z) =E(zQ);

Q: nombre de personnes en attente,~Q=Q-n01lfQ>n0gs'il y an0serveurs; W: temps d'attente,F~W(t) =P(~W6t),L~W(z) =E(ez~W);

W: temps de sejour dans le systeme,W=~W+S;

Quelques lois de probabilite :

distributionX loi de probabilite E(X) var(X) k X fonction generatrice G

X(z) =E(zX)

loi de PoissonP() n n!e; n∈N 1 61
e (1z) loi geometriqueG() (1-)n; n∈N 1- 1- 2 1 1-

1-(1-)z

distributionX densite de probabilite E(X) var(X) k X transformee de Laplace L

X(z) =E(ezX)

loi exponentielleE() e t 1 1 2 1 z+ loi d'ErlangEk() (k)ktk1 (k-1)!ekt 1 1 k 2 1 k 61
k z+k) k loi hyper-exponentielle n i=1p iieit n i=1p i i k X>1 p ii z+iTable1 {FileM()=M()=1<1n(1-)nloiG(1-) E(Q)

1-=E(~W) =E(W)

E(~Q)2

1-=E(~W)

F ~W(t)1-e()t loiE(-) ponderee en 0 E(~W) -=1

E(~Q) =1

E(Q) E(W)1 -=1 E(Q)

Table2 {FileM()=M()=n0

< n0 0( n01∑ j=0 j j!+n0 n 0!(1- n 0)) 1 n{ 0n n!si 06n < n0 0nn00 n 0!( n 0) n0sin>n0

P(Q>n0)0n0

n 0!(1- n 0)

E(Q)+0n0+1

(n0-1)!(n0-)2=E(W)

E(~Q)0n0+1

(n0-1)!(n0-)2=E(~W) F ~W(t)1-n0 n 0!(1- n

0)e(n0)t

loiE(n0-) ponderee en 0

E(~W)0n0

n 0!(1- n 0)1 n 0-=1 E(~Q)

E(W)E(~W) +1

=1 E(Q)

Table3 {FileM()=M()=1=N

n 1-

1-N+1nsi̸= 1

1

N+ 1si= 1

pour 06n6N

E(Q)

[1-(N+ 1)N+NN+1] (1-N+1)(1-)si̸= 1 N 2 si= 1

E(~Q)

2[1-NN1+ (N-1)N]

(1-N+1)(1-)si̸= 1

N(N-1)

2(N+ 1)si= 1

E(~W)1

E(~Q)

E(W)E(~W) +1

(1-N) =1 E(Q)

Table4 {FileM()=M()=∞

nen n!loiP()

E(Q)=E(W)

Q0 W0 E(W)1 =1

E(Q)Table5 {FileM()=M()=n0=n0

01 1 ++2 2! +···+n0 n 0! n0n n!pour 06n6n0

E(Q)1 ++2

2! +···+n01 (n01)! 1 ++2 2! +···+n0 n 0! Q0 W0 E(W)1 (1-n0) =1 E(Q)

Table6 {FileM()=GI=1

<1 G

Q(z)(1-)(1-z)LS((1-z))

L

S((1-z))-z

01-

E(Q)+1 +k2S

2 2

1-=E(W)

E(~Q)1 +k2S

2 2

1-=E(~W)

L ~W(z)(1-)z z-(1-LS(z))

E(~W)1 +k2S

2 -=1 E(~Q) E(W)1 +1 +k2S 2 -=1quotesdbs_dbs19.pdfusesText_25