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La raison pour laquelle on s'intéresse aux ensemble de départ et d'arrivée est que pour une même règle de calcul x ↦→ f(x), changer les ensembles de départ et 

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Université Paris-Dauphine DUMI2E 1ère année, 2009-2010

Applications

1 Introduction

Une fonctionf(plus précisément, une fonction réelle d"une variable réelle) est une règle qui

associe à tout réelxau plus un réel, qu"on appelle son image et qu"on notef(x). L"ensemble des réelsxdont l"imagef(x)est bien définie est l"ensemble de définition de la fonction etse noteDf. La notion d"application que nous allons étudier est une notion voisine, tellement voisine qu"on utilisera souvent les termes " fonction" et "application" de manière interchangeable. Il y a toutefois deux différences : a) la première est qu"une application n"est pas définie uniquement par une règle de calcul mais aussi par un ensemble de départ et un ensemble d"arrivée. Pour toutxdans l"ensemble

de départ,f(x)doit être bien définie et appartenir à l"ensemble d"arrivée,mais il n"y a pas

d"autres conditions. En particulier, l"ensemble de départpeut-être strictement plus petit que l"ensemble de définition. La raison pour laquelle on s"intéresse aux ensemble de départ et d"arrivée est que pour une

même règle de calculx?→f(x), changer les ensembles de départ et d"arrivée peut changer les

propriétés de l"application. Nous verrons par exemple que l"application deR+dansR+qui ax associex2est croissante et bijective, alors qu"avec la même règle de calcul, l"application deR dansRqui axassociex2n"est ni croissante ni bijective.

b) la deuxième différence est qu"une application n"associe pas forcément un réel à un réel,

mais un élement d"un ensembleFà un élément d"un ensembleE, oùEetFsont des ensembles quelconques. Par exemple, on peut considérer l"application qui va de l"ensemble des étudiants de Dauphine dans l"ensemble des lettres de l"alphabet et quia un étudiant associe la première lettre de son prénom. Autre exemple : notonsF(R,R)l"ensemble des applications deRdansR. On peut considérer l"application qui va deF(R,R)dansRet qui à une applicationfassocie sa valeur en0. Il est temps de donner des définitions précises.

2 Généralités

Notations : dans tout le chapitre,E,F,G,Hdésignent des ensembles. Définition.Uneapplicationfest la donnée d"unensemble de départ, d"unensemble d"arrivée,

et d"unerègle de calculqui associe à tout élémentxde l"ensemble de départ un élément de

l"ensemble d"arrivée, notéf(x)et appelé image dexparf. La règle de calcul est notéex?→f(x).

Pour se donner une applicationfd"un ensemble de départEvers un ensemble d"arrivéeF,

on écrit : " soitf:E→Fune application". Supposons qu"on veuille de plus préciserla règle

1 x?→f(x), par exemple qu"on veuille se donner l"application deRdansRqui àxassociex2. On écrira alors : "soitf:R→Rl"application qui à tout réelxassociex2", ou encore : soit l"application f:R→R x?→x2 L"ensemble des applications deEdansFse noteF(E,F)ou encoreFE. Egalité de deux applications.Les ensembles de départ et d"arrivée font partie de la définition d"une application. De ce fait, siE,E?,F,F?sont des ensembles, deux applications f:E→Fetg:E?→F?sont égales si et seulement si elles ont même ensemble de départ (E=E?), même ensemble d"arrivée (F=F?) et même règle de calcul (f(x) =g(x)pour tout xdansE). Exemple 1.Soientf1,f2,f3,f4les applications suivantes : f

1:R→R

x?→x2f

2:R+→R

x?→x2f

3:R→R+

x?→x2f

4:R+→R+

x?→x2 Bien qu"elles aient en commun la règle de calculx?→x2, ces applications sont toutes

différentes. Par exemple,f1etf2sont différentes car elles n"ont pas le même ensemble de départ;

f

1etf3sont différentes, car elles n"ont pas le même ensemble d"arrivée. Ces applications n"ont

d"ailleurs pas les mêmes propriétés. Par exemple,f2etf4sont croissantes, alors quef1etf3ne le sont pas. Remarques.Il faut distinguer l"ensemble de définition de la règle de calcul et l"ensemble

de départ de l"application. L"ensemble de définition de la règle de calculx?→x2estRtout

entier, mais on peut très bien prendre un ensemble de départ plus petit, comme pourf2et f

4. D"autre part, il faut distinguer l"ensemble des réels qui s"écrivent sous la formef(x)et

l"ensemble d"arrivée. Il peut y avoir dans l"ensemble d"arrivée des éléments qui ne peuvent pas

s"écrire sous la formef(x), c"est à dire qui ne sont l"image d"aucun élément de l"ensemble de

départ : c"est le cas pourf1etf2, car leur ensemble d"arrivée contient des réels strictement

négatifs, et aucun réel strictement négatif ne peut s"écrire sous la formex2.

Insistons : on note souventyun élément générique de l"ensemble d"arrivée. D"autre part,

vous aviez l"habitude de vous donner une fonction en écrivant "soit la fonctiony=f(x)".

Du coup, certains étudiants font la confusion et ont l"impression qu"un élément de l"ensemble

d"arrivée peut toujours s"écrire sous la formef(x). Ce n"est pas le cas. Applications bien définies: pour qu"une applicationfdeEdansFsoit bien définie, il faut que pour tout élémentxdeE,f(x)soit bien définie et soit dansF. Tant que ces conditions

sont satisfaites, on peut très bien prendre comme ensemblesde départ et d"arrivée des ensemble

peu naturels. Exemple.Soientf,gethles " applications " suivantes : f:R→R x?→1/xg:R?→]0,+∞[ x?→1/xh: [1,2]→[0,5] x?→x2 2 L"applicationfest mal définie car0appartient à l"ensemble de départ, maisf(0)n"est pas

défini. L"applicationgest mal définie car, par exemple,-2appartient à l"ensemble de départ,

mais1/(-2)n"appartient pas à l"ensemble d"arrivée. En revanche,hest bien définie, bien que

ses ensembles de départ et d"arrivée ne soient pas particulièrement naturels. Rassurez-vous : en

pratique, on ne fera pas exprès de prendre des ensembles de départ et d"arrivée bizarres, on ne

le fera que quand ce sera utile. Graphe: Soitf:E→Fune application. Le graphe defest l"ensemble des couples (x,f(x)), c"est une partie deE×F. QuandEetFsont des parties deR, on peut "dessiner" le graphe de l"application comme vous le faisiez en terminale. Abusivement, on appelle aussi "graphe" le dessin du graphe. Composition: soientE,F,F?etGdes ensembles. Soientf:E→Fetg:F?→Gdes applications. SiF=F?, on peut définir la composée defetg, notéeg◦f("grondf"). C"est l"application deEdansGtelle queg◦f(x) =g(f(x))pour toutxdansE.

Exemple.Soient

f: ]2,+∞[→R x?→x2+ 1etg:R\{5} →R x?→1 x-5 Pour toutxdans]2,+∞[,f(x)?R\{5}. On peut donc définirg◦fet on a, pour toutxdans ]2,+∞[: g◦f(x) =1 (x2+ 1)-5=1x2-4 Proposition 1Soientf:E→F,g:F→G, eth:F→Hdes applications. On a

h◦(g◦f) = (h◦g)◦f(on dit que la composition des applications est une opération associative).

Preuve.Les applicationh◦(g◦f)et(h◦g)◦fsont toutes deux égales à l"application deE

dansGqui àxassocieh(g(f(x))). Application identité: soitEun ensemble. On noteIdEet on appelle application identité de

El"application :

Id

E:E→E

x?→x Proposition 2Pour toute applicationf:E→F, on aIdF◦f=f=f◦IdE. Preuve.Ces trois applications vont deEdansF. De plus, pour toutxdansE,IdF◦f(x) = Id

F(f(x)) =f(x)etf◦IdE(x) =f(IdE(x)) =f(x).

3

3 Antécédents, image directe, image réciproqueAntécédents: soitf:E→Fune application. Soientx?Eetz?F. Sizest l"image dex

parf(i.e.f(x) =z), on dit quexest un antécédent dezparf. Un élément de l"ensemble de départ a exactement une image. Enrevanche, un élément de l"ensemble d"arrivée peut avoir0,1ou plusieurs antécédents. Exemple.Soitf1:R→Rqui àxassociex2. Le réel-1n"a pas d"antécédents parf1,0en a exactement un (lui-même), et3en a deux :⎷

3et-⎷3. Soitf2:R+→Rqui àxassociex2.

Le réel3a un unique antécédent parf2:⎷

3, car-⎷3n"appartient pas à l"ensemble de départ

def2. Soitg:R→Rqui àxassocieg(x) = sinx. Les réels non compris dans[-1,1]n"ont pas

d"antécédents parg. Les réels compris dans[-1,1]ont une infinité d"antécédents parg.

Remarque: dans le cas des applications deRdansR, l"image et les antécédents d"un réel se lisent facilement sur le graphe.

Image directe et image réciproque

Soitf:E→Fune application. SoitA?EetB?F.

L"image (directe)deAparfest la partie deFformée des images de tous les éléments de

A. On la notef(A). On a donc :

f(A) ={f(x),x?A}={y?F,?x?A,y=f(x)}

Par exemple, siA={a,b,c},f(A) ={f(a),f(b),f(c)}.

L"image réciproquedeBparfest l"ensemble des éléments deEdont l"image est dansB.

En d"autre termes, c"est l"ensemble des antécédent des éléments deB. On la notef-1(B). On

a donc f -1(B) ={x?E,f(x)?B}={x?E,?z?B,f(x) =z} Le tableau suivant donne des exemples d"images directes parles applicationsf1,...,f4de l"exemple 1. Pour mémoire, ces associations associent toutesx2àxmais diffèrent par leurs

ensembles de départ et d"arrivée. Ces derniers sont rappelés sur la première ligne du tableau.

"ND" veut dire "Non défini".

R→RR+→RR→R+R+→R+

Af1(A)f2(A)f3(A)f4(A)

{2}{4}{4}{4}{4} {-2,2}{4}ND{4}ND [-1,3][0,9]ND[0,9]ND [-1,0]?[1,3][0,9]ND[0,9]ND

R+R+R+R+R+

RR+NDR+ND

4 La raison pour laquelle, par exemple,f2(R)n"est pas défini est queRn"est pas inclus dans l"ensemble de départ def. Le tableau suivant donne des exemples d"images réciproquespour les mêmes applications. On remarquera que l"image réciproque d"un ensemble non videpeut-être vide.

R→RR+→RR→R+R+→R+

Bf-11(B)f-12(B)f-13(B)f-14(B)

{-1,2}{-⎷2,⎷2}{⎷2}NDND [-1,3]?-⎷3,⎷3??0,⎷3?NDND [-1,0]?[1,3]{0} ??-⎷3,-1???1,⎷3?{0} ??1,⎷3?NDND

R+RR+RR+

R?-∅∅NDND

RRR+NDND

La raison pour laquelle, par exemple, l"image réciproque deRparf3n"est pas définie est queRn"est pas inclus dans l"ensemble d"arrivée def3. Proposition 3Soitf:E-→Fune application. SoientAetA?des parties deE, etBetB? des parties deF. SiA?A?alorsf(A)?f(A?). SiB?B?, alorsf-1(B)?f-1(B?).

Preuve.Laissée au lecteur.

Proposition 4Soitf:E-→Fune application. SoientAetA?des parties deE, etBetB? des parties deF. Alors :

1)A?f-1(f(A))2)f(f-1(B))?B

3)f(A?A?) =f(A)?f(A?)4)f(A∩A?)?f(A)∩f(A?)

5)f-1(B?B?) =f-1(B)?f-1(B?)6)f-1(B∩B?) =f-1(B)∩f-1(B?)

7) En général, les réciproques du 1), du 2) et du 4) sont fausses.

Preuve.1) Soitx?A. PosonsB=f(A). On af(x)?Bdoncx?f-1(B) =f-1(f(A)).

2) Soity?f(f-1(B). PosonsA=f-1(B). On ay?f(A), donc il existex?Atel que

f(x) =y. Commex?A=f-1(B), on af(x)?B. Doncy?B. Doncf(f-1(B))?B.

3) Par double inclusion. Montrons tout d"abordf(A?A?)?f(A)?f(A?). Soity?f(A?A?).

Il existex?A?A?tel quef(x) =y. Commex?A?A?, on ax?Aoux?A?. Six?A, f(x)?f(A)doncy?f(A)doncy?f(A)?f(A?). Sinon,x?A?, et de mêmey?f(A)?f(A?). Doncf(A?A?)?f(A)?f(A?). Montrons maintenantf(A)?f(A?)?f(A?A?). On a A?A?A?doncf(A)?f(A?A?)d"après la proposition 4. De même,f(A?)?f(A?A?). Doncf(A)?f(A?)?f(A?A?), et par double inclusion on a l"égalité.

4)A∩A??Adoncf(A∩A?)?f(A). De mêmef(A∩A?)?f(A?), doncf(A∩A?)?

f(A)∩f(A?). 5

5) Soitx?E. On a :x?f-1(B?B?)ssif(x)?B?B?donc ssi (f(x)?Bouf(x)?B?),

donc ssi (x?f-1(B)oux?f-1(B?)), donc ssix?f-1(B)?f-1(B?). Doncf-1(B?B?) = f -1(B)?f-1(B?).

6) Identique à la preuve du 5) en remplaçant?par∩, et "ou" par "et".

7) Pour voir que les réciproques du 1), du 2) et du 4) sont fausses, considérons l"application

f:R→Rqui àxassociex2. PosonsA=B=R-etA?=R+. On af(A) =R+, donc f -1(f(A)) =R?=A. Donc la réciproque du 1) est fausse. On af-1(B) ={0}, doncf(f-1(B)) = {0} ?=B, donc la réciproque du 3) est fausse. Enfin,f(A?) =R+=f(A), doncf(A)∩f(A?) = R +, maisA∩A?={0}, doncf(A∩A?) ={0} ?=f(A)∩f(A?). Donc la réciproque du 4) est fausse.

4 Applications injectives, surjectives, bijectives

Définition.Soitfune application.

?festinjectivesi tout élément de l"ensemble d"arrivée aau plusun antécédent parf. ?festsurjectivesi tout élément de l"ensemble d"arrivée aau moinsun antécédent. ?festbijectivesi tout élément de l"ensemble d"arrivée aun uniqueantécédent. Exemple.Soientf1:R→R,f2:R+→R,f3:R→R+etf4:R+→R+qui àxassocient x

2. L"applicationf1n"est ni injective ni surjective;f2est injective mais pas surjective;f3est

surjective mais pas injective;f4est bijective. Proposition 5soitf:E→Fune application. Les propriétés suivantes sont équivalentes :

1)fest injective.

2) Pour tousxetx?dansE, sif(x) =f(x?)alorsx=x?.

3) Pour tousxetx?dansE, six?=x?, alorsf(x)?=f(x?).

Preuve.. Faisons une preuve cyclique. 1)?2) : Supposonsfinjective. Soientxetx?dansE tels quef(x) =f(x?). Soitz=f(x). Six?=x?,za au moins deux antécédents distincts, ce qui est impossible carfest injective. doncx=x?et 2) est vérifié.

2)?3) : évident car une implication et sa contraposée sont équivalentes.

3)?1) : soitzdansF. Siza deux antécédents distinctsxetx?alorsx?=x?mais

f(x) =z=f(x?), ce qui contredit 3). Doncza au plus un antécédent, doncfest injective. Proposition 6soitf:E→Fune application.fest surjective si et seulement sif(E) =F.

Preuve.f(E)est l"ensemble des images des éléments deE. C"est donc l"ensemble des éléments

deFqui ont au moins un antécédent. Dire que tout élément deFa au moins un antécédent,

c"est dire que l"ensemble des éléments deFqui ont au moins un antécédent est égal àFtout

entier, donc quef(E) =F. Proposition 7Soientf:E→Fetg:F→Gdes applications. On a :

1) sifetgsont injectives, alorsg◦fest injective.

6

2) sifetgsont surjectives, alorsg◦fest surjective.

3) sig◦fest injective, alorsfest injective.

4) sig◦fest surjective, alorsgest surjective.

5) Les réciproques sont toutes fausses.

Preuve.1) Supposonsfetginjectives. Soientxetx?dansEtels queg◦f(x) =g◦f(x?). On ag(f(x)) =g(f(x?))donc par injectivité deg,f(x) =f(x?), donc par injectivité def,x=x?.

L"applicationg◦fest donc bien injective.

2) Supposonsfetgsurjectives. Soitz?G. Commegest surjective, il existey?Ftel

quez=g(y). De plus, commefest surjective, il existex?Etel quey=f(x). On a donc

z=g(f(x)) =g◦f(x), doncza au moins un antécédent parg◦f. Doncg◦fest bien surjective.

3) Supposonsg◦finjective. Soientxetx?dansEtels quef(x) =f(x?). On a donc

g(f(x)) =g(f(x?)), donc par injectivité deg◦f,x=x?. Doncfest injective. On peut aussi faire une preuve par contraposée : sifn"est pas injective il existex?=x?dansEtels que f(x) =f(x?). Mais alorsg(f(x)) =g(f(x?)), doncg◦fn"est pas injective.

4) Supposonsg◦fsurjective. Soitz?G. Commeg◦fest surjective, il existexdansEtel

quez=g◦f(x). Posonsy=f(x)(c"est à dire : appelonsyl"image dexparf). On ay?F etz=g(y), doncza au moins un antécédent parg, doncgest surjective.

5) Montrons que les réciproques de 1) et 2) sont fausses : soitf:N→Nqui à tout entier

naturelnassocien+1. Soitg:N→Nqui à tout entier naturelnassocien-1sin?= 0et qui à0associe0. Pour tout entier natureln, on ag◦f(n) =g(n+1) = (n+1)-1 =n(on a utilisé n+1?= 0pour calculerg(n+1)). On a doncg◦f=IdN. L"applicationg◦fest donc bijective, donc injective et surjective. Pourtantfn"est pas surjective (car0n"a pas d"antécédents parf) etgn"est pas injective (car0a deux antécédents parf:1et0). Montrons maintenant que les réciproques de 3) et de 4) sont fausses. Soientf=IdRetg l"application deRdansRqui à tout réelxassocie0. L"applicationgest donc constante. Pour

tout réelx,g◦f(x) =g(x) = 0. L"applicationg◦fn"est donc pas injective, bien quefle soit.

Le lecteur vérifiera que, de même, l"applicationf◦gn"est pas surjective, bien quefle soit.

5 Application réciproque d"une application bijective

Soitf:E→Fune application bijective, c"est à dire que chaque élément deFa exactement un antécédent dansE. On appelle application réciproque defl"applicationg:F→Etelle que pour toutydansF,g(y)est l"unique antécédent deyparf. On la notef-1. Proposition 8Soitf:E→F. Sifest bijective, alors pour toutxdansEet toutydansF, (y=f(x))?(x=f-1(y)). Preuve.Soitx?Eety?F. Siy=f(x)alorsxest un antécédent dey. Maisf-1(y)est l"unique antécédent deyparf, doncf-1(y) =x. Réciproquement, six=f-1(y), alorsxest l"unique antécédent deyparf; en particulier,xest un antécédent dey, doncf(x) =y. 7

Proposition 9Soitf:E→Fune application.

1) sifest bijective, alorsf-1◦f=IdEetf◦f-1=IdF.

2) S"il existe une applicationgdeFversEtelle queg◦f=IdEetf◦g=IdF, alorsf

est bijective etg=f-1.

3) sifest bijective, alors sa réciproquef-1aussi et(f-1)-1=f.

4) Sigetfsont bijectives et se composent, alorsg◦fest bijective et(g◦f)-1=f-1◦g-1.

Preuve.1) Supposonsfbijective. Soitx?E. Posonsy=f(x). D"après la proposition 8, f -1(y) =xdoncf-1(f(x)) =x, doncf◦f-1=IdE. Le lecteur vérifiera que, de même, f -1◦f=IdF.

2) Supposonsg◦f=IdEetf◦g=IdF. On a doncg◦fetf◦gbijectives. En particulier,

g◦fest injective, doncfest injective d"après le point 3) de la proposition 7. De même,f◦g

est surjective, doncfest surjective. L"applicationfest donc bijective, donc sa réciproquef-1 existe et d"après 1),f-1◦f=IdF. En composant l"égalitéf◦g=IdFparf-1, on obtient f -1◦f◦g=f-1◦IdF=f-1, doncg=IdF◦g= (f-1◦f)◦g=f-1.

3) Supposonsfbijective. Pour mieux comprendre la façon dont nous allons utiliser le 2),

posons

˜f=g-1,˜g=f-1,˜E=Fet˜F=E. On a d"après le 1),˜g◦˜f=Id˜Eet˜f◦˜g=Id˜F.

D"après le 2), on a donc

˜fbijective et˜f-1= ˜g, c"est à diref-1bijective et(f-1)-1=f

4) Supposonsfetgbijectives. Leur réciproquesf-1etg1existent donc. De plus,(g◦f)◦

(f-1◦g-1) =g◦(f◦f-1)◦g-1=g◦IdF◦g-1=g◦g-1=IdG. De même,(f-1◦g-1)◦(g◦f) =IdE,

donc d"après le 2),g◦fest bijective et(g◦f)-1=f-1◦g-1. On utilise souvent le 2) sous la forme suivante, dont la preuve est laissée au lecteur : Proposition 10Soitf:E→Fune application. Supposons qu"il existe une applicationg: F→Etelle que, pour toutxdansEet toutydansF,y=f(x)?x=g(y). Alorsfest bijective etf-1=g.

Cohérence des notations.

Soitf:E→Fune application. SoitB?F. Quefsoit bijective ou non, on notef-1(B) l"image réciproque deBparf. D"autre part, quandfest bijective,f-1désigne son application réciproque, et on note donc aussif-1(B)l"image directe deBpar l"application réciproque de

f. Il y a donc a priori un problème car on désigne par une même notation deux objets a priori

différents. La proposition suivante montre qu"il n"en est rien, car quandfest bijective, l"image réciproque deBparfcoincide avec l"image deBpar la réciproque def. Il n"est donc pas gênant de les noter de la même façon. Proposition 11Soientf:E→Fetg:F→Edes applications. SoitB?F. Soient A={x?E,f(x)?B}etA?={g(y),y?B}.Aest l"image réciproque deBparf, etA?est l"image (directe) deBparg. On a : sifest bijective etgest sa réciproque, alorsA=A?. Preuve.Supposons quefest bijective et quegest sa réciproque. Montrons queA=A?par double inclusion. Six?A, alorsf(x)?B, doncg(f(x))?g(B) =A?, maisg(f(x)) =x, donc x?A?, doncA?A?. Réciproquement, six?A?, alors il existey?Btel quex=g(y). On a 8 f(x) =f(g(y)) =y, doncf(x)?B, doncx?A, doncA??Aet par double inclusionA=A?. Attention: sifn"est pas bijective, son application réciproque n"existe pas, etf-1(B) désigne uniquement l"image réciproque deBparf. En particulier, ce n"est pas parce que la notationf-1(B)apparaît dans un énoncé qu"on a supposé quefétait bijective.

6 Prolongements et restrictions

Définition.Soitf:E→Fune application. SoitA?EetB?Ftel quef(A)?B. On appelle restriction defàAcomme ensemble de départ etBcomme ensemble d"arrivée, et on notef|A→B, l"application deAdansBqui à toutxdansAassocief(x). Cette application a la même règle de calcul quef, seuls changent les ensembles de départ et d"arrivée. Notation : quandB=F(cas courant), on utilise aussi la notationf|Apourf|A→B. Définition.Soitfetgdes applications. On dit quefest un prolongement degsigest une restriction def.

Exemples.

1) soitf:R→Rqui àxassociex2.g=f|R+→R+, c"est à dire soitg=:R+→R+qui

àxassociex2. L"applicationgest une restriction def. Elle a l"avantage d"être croissante et bijective, alors quefne l"est pas.

2) soitg:R?→Rqui àxassocie(sinx)/x. Soitf:R→Rqui àxassocie(sinx)/xsi

x?= 0, et qui à0associe1. L"applicationfest un prolongement deg(on ag=f|R?). De plus, on peut montrer quefest continue surR. On dit quefest le prolongement par continuité deg. L"avantage de considérerfplutôt quegest qu"on peut appliquer àfles théorèmes sur les fonctions continues surRtout entier (par exemple, avecfon peut utiliser le thèorème des valeurs intermédiaires sur un intervalle contenant0, alors qu"on ne pourrait pas avecg). La proposition suivante est évidente quand on voit ce qu"elle signifie sur des "patates" :

Proposition 12Soitf:E→Fune application.

a) la restriction defàEcomme ensemble de départ etf(E)comme ensemble d"arrivée est surjective. b) sifest injective, toutes ses restrictions le sont. c) sifest injective, la restriction defàEcomme ensemble de départ etf(E)comme ensemble d"arrivée est bijective (on dit quefinduit une bijection deEsurf(E)). Preuve.a) notonsgcette restriction. Soity?f(E). Il existex?Etel quey=f(x). Mais g(x) =f(x). Doncg(x) =yetya au moins un antécédent parg. Ceci est vrai pour touty dansf(E), donc pour toutydans l"ensemble d"arrivée deg, doncgest surjective. b) Supposonsfinjective. SoientA?EetB?Ftels quef(A)?B. Soitgla restriction defàAcomme ensemble de départ etBcomme ensemble d"arrivée. Soientxetx?dansA. Si 9 g(x) =g(x?)alorsf(x) =f(x?)par définition deg, doncx=x?par injectivité def. Doncgest injective. c) conséquence directe de a) et b).

7 Quelques propriétés évidentes

SoientE,F,Gdes ensembles. SoientA?E,A??E,B?F,B??F, etC?G. Soit f:E→Fetg:F→G. Les applicationsfetgne sont pas supposés bijective. De ce fait, quand elle intervient, la notationf-1(B)désigne uniquement l"image réciproque deBparf.

Outre celles qui figurent dans le cours, vous pouvez utiliserdirectement les propriétés suivantes :

SiA?A?alorsf(A)?f(A?). Réciproque fausse (vraie quandfest injective). SiB?B?alorsf-1(B)?f-1(B?). Réciproque fausse (vraie quandfest surjective). f(E)?F(avec égalité si et seulementfest surjective) ;f-1(F) =E;f-1(f(E)) =E. (g◦f)(A) =g(f(A));(g◦f)-1(C) =f-1(g-1(C))

8 Des applications exotiques

Jusqu"à présent nous avons surtout considéré des applications d"une partie deRdans une partie deR. Toutefois, il existe bien d"autres types d"applications utiles en mathématiques. En voici quelques-unes :

1a) l"applicationf:R×R→Rqui au couple(x,y)associef((x,y)) =x+y. Elle porte un

joli nom : l"addition surR.

1b) l"applicationf:R×R→Rqui au couple(x,y)associef((x,y)) =xy. Elle aussi a un

joli petit nom : la multiplication surR.

1c) Exercice : quelle application correspond à la division surR? (attention, on ne peut

diviser que par un réel non nul).

2) NotonsF(R,R)l"ensemble des applications deRdansR. NotonsC∞(R)l"ensemble des

application deRdansRdérivables un nombre infini de fois.

2a) l"application deF(R,R)dansRqui a une applicationfassocief(0).

2b) l"application deC∞(R)dansC∞(R)qui à une applicationfassocie sa dérivéef?.

2c) l"application deF(R,R)× F(R,R)dansF(R,R)qui à un couple d"applications(f,g)

associeg◦f.

3) l"application qui va de l"ensemble des personnes ayant unnuméro de sécurité sociale en

France au 1er janvier 2009 dansNet qui a une personne associe son numéro de sécurité sociale.

Et tant d"autres applications à découvrir... Au fait, parmi les applications définies ci-dessus, lesquelles sont injectives? surjectives? bijectives? 10quotesdbs_dbs26.pdfusesText_32