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A. P. M. E. P.

?Baccalauréat S Nouvelle-Calédonie 14/11/2013?

Corrigé

EXERCICE15 points

Commun à tous les candidats

Soitfla fonction dérivable, définie sur l"intervalle ]0 ;+∞[ parf(x)=ex+1 x.

1. Étude d"une fonctionauxiliaire

a.Soit la fonctiongdérivable, définie sur [0 ;+∞[ parg(x)=x2ex-1. Pour tout réelxde [0 ;+∞[ :g?(x)=2xex+x2ex?0 sur ]0 ;+∞[ (car tous les termes sont positifs. La fonctiongest strictement croissante sur [0 ;+∞[ (car la dérivée ne s"annule qu"en 0). b.g(0)=-1<0 etg(1)=e-1>0. Dressons le tableau de variations deg: x0a1+∞ g(x) -10e- 1 D"après ce tableau de variations, l"équationg(x)=0 admet une solution unique dans l"intervalle [0;1]; on appelleacette solution. g (0,703)≈-0,0018<0 etg(0,704)≈0,002>0 donca?[0,703;0,704]. c.D"après le tableau de variations deg: •g(x)<0 sur [0;a[ •g(x)>0 sur ]a;+∞[

2. Étude de la fonctionf

a. limx→0ex=1 lim x→0 x>01 x=+∞??????? =?limx→0 x>0e x+1x=+∞=?limx→0 x>0f (x)=+∞ lim x→+∞ex=+∞ lim x→+∞1 x=0??? b.On notef?la fonction dérivée defsur l"intervalle ]0 ;+∞[. f(x)=ex+1 x=?f?(x)=ex-1x2=x2ex-1x2=g(x)x2 c.Pour toutxde ]0 ;+∞[,x2>0 doncf?(x)est du signe deg(x).

On dresse le tableau de variation def:

x0a+∞ g(x)-1---0+++ f?(x)---0+++ f(x) f(a)

Baccalauréat SA. P. M. E. P.

d.D"après son tableau de variation, la fonctionfadmet le nombref(a) comme minimum sur son intervalle de définition. f (a)=ea+1 a. Oraest la solution de l"équationg(x)=0 donc g (a)=0??a2ea-1=0??a2ea=1??ea=1 a2.

On en déduit quef(a)=1

a2+1aet on a donc démontré que la fonctionf admettait pour minimum sur ]0 ;+∞[ le nombre réelm=1 a2+1a. e.On a successivement(en valeurs approchées) :

0,703

0,4942 1

0,4957<1a2<10,4942

2,017<1

a2<2,024

0,703 1

0,704<1a<10,703

1,420<1

a<1,423 donc par somme : 2,017+1,420<1 a2+1a<2,024+1,423 et donc :

3,43

EXERCICE25 points

Commun à tous les candidats

Soient deux suites

(un)et(vn)définies paru0=2 etv0=10 et pour toutn?Npar u n+1=2un+vn

3etvn+1=un+3vn4

PARTIEA

Variables :Nest un entier

U,V,Wsont des réels

Kest un entier

Début :Affecter 0 àK

Affecter 2 àU

Affecter 10 àV

SaisirN

Tant queK

AffecterK+1 àK

AffecterUàW

Affecter2U+V3àU

AffecterW+3V4àV

Fin tant que

AfficherU

AfficherV

Fin

État des variables :

KWUV

0—210

1214/38

214/352/943/6

PARTIEB

1. a.Pour tout entier natureln,

v n+1-un+1=un+3vn

4-2un+vn3=3(un+3vn)12-4(2un+vn)12

3un+9vn-8un-4vn

12=5vn-5un12=512(vn-un)

Nouvelle-Calédonie214 novembre2013

Baccalauréat SA. P. M. E. P.

b.Pour tout entier naturelnon posewn=vn-un. D"après la question précédente, on peut dire que la suite (wn)est géomé- trique de raison 5

12et de premier termew0=v0-u0=10-2=8.

D"après le cours (forme explicite d"une suite géométrique)on peut dire que, pour tout entier natureln,wn=8?5 12? n

2. a.un+1-un=2un+vn

3-3un3=2un+vn-3un3=vn-un3=wn3

Ona vu que, pour toutn,wn=8?5

12? n ; on peut en déduireque pour tout n,wn>0 et donc que, pour toutn,un+1-un>0.

Donc la suite

(un)est croissante. v n+1-vn=un+3vn

4-4vn4=un+3vn-4vn4=un-vn4=-wn4

Et commewn>0, on peut dire quevn+1-vn<0 pour toutn.

Donc la suite

(vn)est décroissante. b.On a vu que, pour toutn,wn>0; donc, pour toutn,vn-un>0 c"est-à- direvn>un.

La suite

(vn)est décroissante donc, pour toutn,vn?v0??vn?10.

Pour tout entier natureln,vn>un

v n?10? =?un?10.

La suite

(un)est croissante donc pour toutn,un?u0??un?2.

Pour tout entier natureln,vn>un

u n?2? =?vn?2. c.La suite(un)est croissante majorée par 10 donc, d"après le théorème de la convergence monotone, la suite (un)est convergente vers un réel?u.

La suite

(vn)est décroissante minorée par 2 donc, d"après ce même théo- rème, la suite (vn)est convergente vers un réel?v.

3.La suite(wn),définie parwn=vn-un,est convergente comme différence de

deux suites convergentes, et sa limite est égale à?v-?u.

Or la suite

(wn)est géométrique de raison5

12et-1<512<1; donc on peut

dire que la suite (wn)est convergente vers 0. La limite d"une suite est unique donc?v-?u=0 et donc?v=?u; les suites un)et(vn)ont donc la même limite qu"on appelle?.

4.tn+1=3un+1+4vn+1=3×2un+vn

3+4×un+3vn4=2un+vn+un+3vn

=3un+4vn=tndonc la suite(tn)est constante. t

0=3u0+4v0=3×2+4×10=6+40=46

Comme la suite

(tn)est constante, pour toutn,tn=t0=46; la suite(tn)est donc convergente vers 46.

Les suites

(un)et(vn)sont toutes les deux convergentes vers?donc la suite tn)définie partn=3un+4vnest convergente vers 3?+4?=7?.

La limite d"une suite est unique donc 7?=46???=46

7.

La limite commune des suites

(un)et(vn)est donc46 7.

Nouvelle-Calédonie314 novembre2013

Baccalauréat SA. P. M. E. P.

EXERCICE35 points

Commun à tous les candidats

PartieA

1.Une bille est dans la norme si son diamètre est entre 9 et 11 mm;donc la

probabilité qu"une bille soit dans la norme est P (9?X?11)=P(X?11)-P(X?9). La probabilité que la bille soit hors norme est donc :

0,01241933; donc une valeur approchée à 0,0001 de la probabilité qu"une

bille soit hors norme est 0,0124.

2. a.On construit un arbre pondéré qui réunit les données de l"énoncé :

N

0,9876?A

0,99 A0,01 N

0,0124?A

0,02 A0,98 b.D"après la formule des probabilités totales :P(A)=P(N∩A)+P?

N∩A?

=P(N)×PN(A)+P?N?

×PN(A)

≈0,9780 La probabilité deAest 0,9780 (arrondie au dix-millième). c.On cherche :PA? N? =P?

A∩

N?

P(A)=0,0002480,977972≈0,0003

La probabilité qu"une bille acceptée soit hors norme est 0,0003 (arrondie au dix-millième).

PartieB

1.Laprobabilitéqu"unebillesoithorsnormeest0,0124 :onadmetqueprendre

au hasard un sacde 100 billes revient à effectuer un tirage avec remise de100 billes dans l"ensemble des billes fabriquées. DonclavariablealéatoireYqui, àtout sacde100 billes, associe lenombrede

2.L"espérance mathématique et l"écart type d"une variable aléatoire qui suit

np?1-p?.

DoncE(Y)=np=100×0,0124=1,24

etσ(Y)=?

3.La probabilité pour qu"un sac de 100 billes contienne exactement deux billes

hors norme estP(Y=2). P (Y=2)=? n 2? p

2?1-p?n-2=?

100
2?

×0,01242×0,987698=

Nouvelle-Calédonie414 novembre2013

Baccalauréat SA. P. M. E. P.

P (Y?1)=P(Y=0)+P(Y=1) 100
0?

×0,01240×0,9876100+?

100
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