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DNB, Mathématiques, correction

juin 2014 2 heures

Exercice 1 5 points

1.

R eprésentationd "unagr andissementde cet oc togoneen l "inscrivantda nsun c erclede r ayon3 cm. OAB

C D EFGH0

18017010

16020
15030
14040
13050
12060
11070
10080
90
80100
70110
60120
50130
40
14030
15020
16010

170180045

±On place le point A sur le cercle de centre O et de rayon 3 cm. On place le point B sur le cercle tel que

AOBAE3608

AE45±. À l"aide d"un compas, on reporte, avec un écartement de AB, on définit les autres points. 2.

L et riangleD AHest r ectangle.

On a : mes(

sont ainsi diamétralement opposés. [DH] est un diamètre du cercle, A est sur le cercle.

Ainsi, DAH est rectangle.

3.

D ansun cer cle,si u nan glein scrit(ici

alors la mesure de l"angle au centre (ici mes( inscrit (ici mes(

AE45±).

1 Brevet des collègesA. P. M. E. P.Exercice 2 6 points

Léa a besoin de nouveaux cahiers. pour les acheter au meilleurs prix, elle étudie les offres promotionnelles

de trois magasins. Dans ces trois magasins, le modèle de cahier dont elle a besoin a le même prix avant

promotion.Magasin A

Cahier à l"unité ou lot de 3

cahiers pour le prix de deuxMagasin B

Pour un cahier acheté, le

deuxième à moitié prix.Magasin C

30% de réduction sur

chaque cahier acheté.1.S eull emaga sinC est pr oposeu nerédu ctionde 30 %sur ch aquec ahierac heté,donc su rl ep remier.S i

on achète qu"un seul cahier, c"est le magasin C qui est le plus intéressant. 2. P ourplu sieursc ahiersde pr ixque n ousn ommeronsx,xÈ0 : a) deu xc ahiers:

APrix de deux cahiers :pA(2)AE2x;

BPrix de deux cahiers :pB(2)AExÅ12

xAE32 xAE1,5x;

CPrix de deux cahiers :pC(2)AE2£µ

1¡30100

xAE2£0,7xAE1,4x.

On a :pA(2)ÈpB(2)ÈpC(2);

Si on achète deux cahiers, c"est le magasin C qui est le plus intéressant. b) tr oisc ahiers:

APrix de trois cahiers :pA(3)AE2x;

BPrix de trois cahiers :pB(3)AExÅ12

xÅxAEAE52 xAE2,5x;

CPrix de trois cahiers :pC(2)AE3£µ

1¡30100

xAE3£0,7xAE2,1x.

On a :pB(3)ÈpC(3)ÈpA(3);

Si on achète trois cahiers, c"est le magasin A qui est le plus intéressant. 3.

L acar tede fidélité du mag asinC per metd "obtenir10 %d eréduct ionsu rle t icketde c aisse,y compr is

sur les articles ayant déjà bénéficié d"une première réduction. p 0

C(1)AEµ

1¡30100

1¡10100

xAE0,7£0,9AE0,61¡0,37

Elle obtient donc une réduction de 37%.

Métropole-Antilles-Guyane 2 26 juin 2014

Brevet des collègesA. P. M. E. P.Exercice 3 5 points 1.

S ion c hoisit8 c ommenomb rede dépa rt,le pr ogrammedonn e1 2comme résul tat.Choisir un nombre

8

8¡6AE28¡2AE6Multiplier les deux nombres obtenus

Résultat :6£2AE12soustraire 6soustraire 2

2.

P ourcha cunedes affi rmationss uivantes,i ndiquersi el leest v raieo uf ausse.O nr appellequ eles ré-

ponses doivent être justifiées. Proposition 1 : VRAIELe programme peut donner un résultat négatif :Choisir un nombre 3

3¡6AE¡33¡2AE1Multiplier les deux nombres obtenus

Résultat :(¡3)£1AE¡3Ç0soustraire 6soustraire 2

Proposition 2 : VRAIEsi on choisit12

comme nombre de départ, le programme donne334 comme résultat :Choisir un nombre 1 2 1 2

¡6AE¡1121

2

¡2AE¡32

Multiplier les deux nombres obtenus

Résultat :

¡¡112

¢£¡¡32

¢AE334soustraire 6soustraire 2

Métropole-Antilles-Guyane 3 26 juin 2014

Brevet des collègesA. P. M. E. P.Proposition 3 : VRAIELe programme donne 0 comme résultat pour exactement deux nombres;Choisir un nombre

x x¡6x¡2Multiplier les deux nombres obtenus

Résultat :

(x¡6)(x¡2)soustraire 6soustraire 2

Ainsi, le résultat est nul si et seulement si (un produit est nul si et seulement si l"un des termes du

produit est nul) : (x¡6)(x¡2)AE0()½x¡6AE0 x¡2AE0()½xAE6 xAE2 Proposition 4 : FAUXla fonction qui, au nombre de départ, associe le résultat du programme est

la fonction :x!.(x¡6)(x¡2)AEx2¡8xÅ12. Elle n"est pas de la formex!ax, donc non linéaire.

Exercice 4 3 points

Un sac contient 20 jetons qui sont soit jaunes, soit verts, soit rouges, soit bleus. On considère l"expérience

suivante : tirer au hasard un jeton, noter sa couleur et remettre le jeton dans le sac.

C haquej etona la même

probabilité d"être tirer 1.

L ep rofesseur,qu icon naîtl ac ompositiondu sac, a simul éun g randn ombrede fois l "expérienceav ec

un tableur.

D"après le graphe :

L afréqu enced "apparitiond "unje tonjaune semble êtr e0,5 la fréqu enced "apparitiond "unjeton v ertsemb leêtr e0 ,25 la fréqu enced "apparitiond "unjeton r ouges embleêt re0, 2 la fréqu enced "apparitiond "unjeton b leusemble êt re0,0 5 a) L ac ouleurest l ap lusprésen tedan sle sac est l ejaune . b)

L ep rofesseura cons truitune f euillede calcul :

La formule a-t-il saisie dans la celluleC2avant de la recopier vers le bas est :B2/A2. 2.

L apr obabilitéde t ireru nj etonr ougeest d e

15

AE4520

Il y a équiprobabilité (

Chaque jeton a la même probabilité d"être tirer ), le nombre de jetons rouges dans le sac est : nombre de jetons rougesnombre de jetons total

AE4520

AE)nombre de jetons rougesAE4

Métropole-Antilles-Guyane 4 26 juin 2014

Brevet des collègesA. P. M. E. P.Exercice 5 4 points

Dans ce questionnaire à choix multiples, pour chaque question, des réponses sont proposées, une seule est

exacte. Pour chacune des questions, écrire le numéro de la question et recopier la bonne réponse. Aucune

justification n"est attendue.

Question 1 : Réponse d).

Quand on double le rayon R d"une boule, son volume V est multiplié par 8 : VAE43

¼(2R)3AE43

¼23R3AE43

¼8R3AE8V

Question 2 : Réponse a).

Une vitesse égale à 36 km.h

¡1correspond à 10 m.s¡1.

36 km!1 heure()36 000 m!3 600 secondes()36 0003 600

AE10!1 seconde

Question 3 : Réponse c).

Quand on divise

p525 par 5, on obtient p21 : p525 5 AEp5

2£215

AE5p21

5 AEp21

Question 4 : Réponse a).

On partage un disque dur de 1,5 To en dossiers de 60 Go chacun. Le nombre de dossier obtenus est égal à 25 :

1,5 ToAE1,5£1012octetsAE1,5£103GoAE)1,5£10360

AE1 50060

AE25

Métropole-Antilles-Guyane 5 26 juin 2014

Brevet des collègesA. P. M. E. P.Exercice 6 6 points

Pauline réalise le schéma ci-dessous (qui n"est pas à l"échelle) et relève les mesures suivantes :

PAAE0,65m, ACAEQPAE5m et CKAE0,58mABCSPQ

K

Pour que l"éclairage d"une voiture soit conforme, les constructeurs déterminent l"inclinaison du faisceau.

Cette inclinaison correspond au rapport

QKQP . Elle est correcte si ce rapport est compris entre 0,01 et 0,015. 1. L esf euxd ec roisementde P aulineson tréglés av ecu nein clinaisonde 0,0 14: QKQP

AEQC¡KCQP

AEPA¡CKQP

AE0,65¡0,585

AE0,014

2. O npeut utili serla tr igonométried ansle tr iangler ectangleQ PKen Q : tan( 3.

D istanceAS d "éclairagede ses f eux:

L esdr oites(P S)et (C Q)son tséc antesen K :

l esd roites(C S)et (P Q)éta ntperpen diculairesà (Q C),el lesson tpa rallèles. On peut donc utiliser le théorème de THALÈS: PQCS

AEQKCK

()5CS

AE0,65¡0,580,58

AE0,070,58

()CSAE0,58£50,07 '41 au mètre près

Ainsi, ASAEACÅCSAE5Å41AE46 m.

Métropole-Antilles-Guyane 6 26 juin 2014

Brevet des collègesA. P. M. E. P.Exercice 7 7 points Un agriculteur produit des bottes de pailles parallélépipédiques.

Information

1 Dimensions des bottes de paille : 90 cm£45 cm£35 cm.Information2 Le prix de la paille est de 40(par tonne.

Information

3 1 m3de paille a une masse de 90 Kg.

1.

P rixd "unebott ede paill e:

1Volume : VbotteAE90£45£35AE141 750 cm3AE0,141 75 m3

3Masse :mbotteAE0,141 75£90AE12,757 5 KgAE0,012 757 5 t

2Prix : PbotteAE0,012 757 5£40'0,51(arrondi au centime.

2.

M arcv eutr efairel "isolationd el atoitur ed "unbâ timentav ecdes bot tesde paill espar allélépipédiques.

Le bâtiment est un prisme droit dont les dimensions sont données sur le schéma ci-dessous.

Il disposera les bottes de paille sur la surface correspondant à la zone grisée, pour créer une isolation

de 35 cm d"épaisseur. Pour calculer le nombre de bottes de pailles qu"il doit commander, il consi-

dère que les bottes sont disposées les unes contre les autres. Il ne tient pas compte de l"épaisseur des

planches entre lesquelles il insère les bottes. a)

N ombrede bot tesn écessaires:

L argeurdu t oit: C "estu nr ectangle,nous dev onsd oncc onnaîtrela lo ngueur: 1 5,3m et l a largeur JF : JF

2AEJI2ÅIF2AE(7,7¡5)2Å3,62AE20,25AE)JFAEp20,25AE4,5 m

N ombrede bot tes: c ommel "indiquel aph oto,il dispose les b ottesdan sle sen sJ !F; il peut donc mettre 4,5¥0,9AE5 bottes dans la largeur et 15,3¥0,45AE34 bottes dans la longueur. Il doit donc acheter 5£34AE170 bottes pour couvrir son toit.7,7 m

3,6 m15,3 m5 m

ABCK GJ IF b) L ecoût de la p aillenécess airepou risole rle toit :

170£0,51AE86,70(

Métropole-Antilles-Guyane 7 26 juin 2014

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