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Angles geometriques, angles orientes,

theoreme de l'angle inscrit

Rappels et notations

On reprend les notations du chapitre 1, le plan est toujours noteE. On reprend aussi les axiomes d'incidence et d'ordre d'Euclide et Hilbert (voir [E] ou [H]) : points, droites, demi-droites, demi-plans, etc. On va maintenant passer aux aspects metriques. Il y a de multiples facons de presenter les nou- veaux axiomes a introduire. Dans la geometrie d'Euclide, il y a, de maniere implicite, l'existence d'un groupe de mouvements, simplement transitif sur les drapeaux. Dans d'autres versions, par exemple celle de Cousin-Fauconnet, voir [CF], on se donne une distance, mais il faut aussi un axiome assurant l'homogeneite, par exemple l'existence de susamment de re exions. Dans ce qui suit, on va supposer qu'on detient les deux choses : une distance et des isometries transitives.

1 Distance et isometries

Ce paragraphe est deliberement succinct et a pour seul but de rappeler quelques denitions et quelques proprietes utiles. Il est bien clair que les axiomes enonces ici sont insusants 1. Rappelons qu'unedistancesur un ensembleEest une application de EEdansR+qui verie les trois proprietes suivantes :

1) On ad(x;y) = 0 si et seulement six=y.

2) On ad(x;y) =d(y;x).

3) On ad(x;y)d(x;z) +d(y;z) (inegalite triangulaire).

1.1 Axiome.Sur le planEon se donne une distancedqui verie les pro-

prietes supplementaires suivantes :

1) On ad(x;y) =d(x;z) +d(y;z)si et seulement six;y;zsont alignes

aveczentrexety.

2) SoitDune droite eta2D. Pour tout reel >0il existe exactement

deux pointsx;ydeD, situes de part et d'autre dea, tels qued(a;x) = d(a;y) =.

1.2Remarque.On note le plus souventabla distance deaab. C'est aussi,

par denition, la longueur du segment [ab]. UneisometriedeEmuni de la distancedest une bijectionuqui conserve la distance :d(u(x);u(y)) =d(x;y) pour tousx;y2E. L'ensemble des

isometries deEforme un groupe note Is(E).1. Un jour peut-^etre j'ecrirai tout cela de maniere coherente, voir [Axiomes].

1

1.3 Proposition.Les isometries deEconservent l'alignement, transforment

un segment en un segment, une demi-droite en une demi-droite et un demi- plan en un demi-plan. Demonstration.Soituune isometrie. Six;y;zsont alignes et distincts, l'un des points, disonsz, est entre les autres. On a doncd(x;y) =d(x;z)+d(y;z), donc aussid(u(x);u(y)) =d(u(x);u(z)) +d(u(y);u(z)) par conservation de d. Il en resulte queu(x);u(y) etu(z) sont alignes. Le m^eme raisonnement donne le cas du segment et de la demi-droite et on en deduit le demi-plan par denition de celui-ci. On appelledrapeauun triplet (x;;F) forme d'un pointxdeE, d'une demi-droitedeEd'originexet d'un demi-planFlimite par.

1.4 Axiome.On suppose que le groupeIs(E)est simplement transitif sur les

drapeaux, ce qui signie qu'etant donnes deux drapeaux(x;;F)et(x0;0;F0) il existe une unique isometrieuqui envoiexsurx0,sur0etFsurF0. On deduit de cet axiome l'existence et les premieres proprietes des symetries axiales :

1.5 Proposition.SoitDune droite,oun point deD,une des demi-

droites d'origineoportee parD,E+etEles deux demi-plans limites par D. L'unique isometrie qui envoie le drapeau(o;;E+)sur(o;;E)xe la droiteD. On l'appelle symetrie (ou re exion) d'axeDet on la noteD. Elle est involutive (i.e. on a2D= Id). Demonstration.Si on prenda2, il est transforme en un pointbdeavec oa=ob, donca=b. Le raisonnement est le m^eme de l'autre c^ote. Le fait queDsoit involutive vient de l'unicite dans 1.4.

1.1 Cercles et arcs

Avec la notion de distance vient aussit^ot celle de cercle : le cercle de centreaet de rayonRest l'ensemble des pointsxtels qued(a;x) =R. On peut aussi denir les arcs de cercle (comme intersection d'un cercle et d'un secteur) et mesurer leur longueur. Je renvoie pour ce point au papier [S] sur ma page web. L'idee est simple (mais demande quelques precisions) : la longueur d'un arc est la borne superieure des longueurs des lignes brisees inscrites dans cet arc.

Un resultat important est le suivant :

1.6 Proposition.SoitCun cercle de centreoet de rayonRet soient

a;b;c2C. On suppose quebest dans le \petit arc"_ac. Cela signie queb 2 est dans le secteur saillant[caoc]. Alors, on a la formule d'addition sur les longueurs d'arcs : _ac=_ab+_bc. On denit aussi le disque de centreaet de rayonRcomme l'ensemble des points dont la distance aaestR. Un disque est convexe.

2 Angles geometriques

On sait ce qu'est un secteur [

caob] (y compris le secteur nul et le secteur plat) et si l'on a deux demi-droites [oa) et [ob) de m^eme origine, on leur associe un secteur, unique sauf dans le cas plat. La question est d'associer a un secteur un invariant qui mesure sa taille. Il y a deux manieres elementaires de faire cela, sans compter l'entree par l'algebre lineaire.

2.1 Denitions

2.1.1 La denition geometrique

On peut denir la notion \avoir m^eme angle" pour deux secteurs saillants [caob] et [\a0o0b0]. C'est simplement qu'il existe une isometrie qui envoie le point osuro0et les demi-droites [oa) et [ob) respectivement sur [o0a0) et [o0b0). Dans cette version, l'angle est donc une classe d'equivalence de secteurs (ou de couples de demi-droites). On denit aussi un ordre : un angle est plus petit qu'un autre si son secteur, apres isometrie eventuellement, est contenu dans l'autre. Je n'utiliserai pas cette version.

2.1.2 La denition metrique

On considere un secteur saillant [

caob]. Quitte a changera;bsur les demi- droites on peut supposer qu'on aoa=ob= 1. L'angle (geometrique, ou non oriente) caobest alors la longueur de l'arc de cercle_ab, intersection du cercle de centreoet de rayon 1 et du secteur. Si on appelle 2la longueur du cercle unite, les angles sont alors des elements de [0;].

2.1.3 Les deux mon general

2.1 Proposition.Les deux notions d'angles concident : on acaob=\a0o0b0

(au sens des longueurs d'arcs) si et seulement si il existe une isometrie qui envoieosuro0et les demi-droites les unes sur les autres. En particulier, les isometries conservent les angles. 3 Demonstration.Il est facile de voir que, si l'on a une isometrie, les angles sont egaux. Nous admettrons la reciproque.

2.1.4 Par l'algebre lineaire

On renvoie a [DHP] pour ce point de vue, tres ecace, mais inutilisable au niveau du college et du lycee. La denition des angles geometriques repose sur celle de produit scalaire : l'angle=caobest donne par la formule (!oaj!ob) = oaobcos. On a donc= Arccos(!oaj!ob)oaob.C'est bien un element de [0;].

2.2 Proprietes

On peut maintenant recopier une bonne partie des choses qui sont dans Euclide, voir [E], par exemple les cas d'isometrie des triangles, l'egalite des angles a la base du triangle isocele, denir les angles supplementaires, op- poses par le sommet, etc. On peut aussi parler de perpendiculaires (angles egaux a=2). On a les proprietes des mediatrices, le cercle circonscrit, l'in- tersection d'une droite et d'un cercle et bien d'autres choses encore. C'est un bon exercice de retablir tous ces points. Je rappelle juste quelques elements importants.

2.2.1 Angles et paralleles

On commence par montrer le lemme suivant, qui ne necessite pas le pos- tulat d'Euclide (voir aussi [E] ou [GA]) :

2.2 Lemme.Dans un triangle, la somme de deux angles est toujours< .

Demonstration.On raisonne par l'absurde en supposantcabc+cbac. Soit [bx) la demi-droite opposee a [bc). On acabc+dabx=, doncdabxcbac.

On peut donc reporter l'angle

dabxdanscbac: il existe une demi-droite [ay) contenue dans l'angle cbactelle que l'on aitcbay=dabx. Cette demi-droite coupe [bc] endet on porte sur [bx) un pointetel quebe=ad. Les triangles

abeetbadsont isometriques d'ou les egalites d'anglesceab=cdbaetdead=ceab+cbad=cdba+cabe=cdbe=. L'angledeadetant plat,aserait aligne avec

betc, ce qui est absurde.

On en deduit le resultat sur les paralleles :

2.3 Proposition.SoientD;D0deux droites paralleles,une droite qui

coupeD;D0ena;a0respectivement. 4

1) Soientx;x02D;D0situes dans des demi-plans dierents par rapport

a. On a\x0a0a=da0ax(angles alternes-internes).

2) Soient, de plus,y02D0, de l'autre c^ote depar rapport ax0et

z2, de l'autre c^ote dea0par rapport aa. On adza0y0=da0ax(angles correspondants). Demonstration.Si\x0a0aest dierent deda0ax, supposons par exemple qu'on a \x0a0a >da0ax=et considerons la demi-droite issue dea0qui fait avec l'angle. Elle n'est pas portee parD0, donc elle coupeDenb(si elle etait parallele, on aurait deux paralleles aDpassant para0, c'est contraire au postulat d'Euclide). Mais alors, dans le trianglea0ab, la somme des angles ena0etbest egale a(car c'est la somme des angles supplementairesdbaa0 et dxaa0.

2.2.2 La somme des angles du triangle

2.4 Theoreme.La somme des angles d'un triangle est egale a

Demonstration.Menons parcla parallele a (ab) et prenons un pointdsur cette droite, du m^eme c^ote queapar rapport a (bc). Soiteun point de la demi-droite opposee a [cb). On a les egalites d'angles :cbac=cacd(alternes- internes) et cabc=cdce(correspondants). L'angle platcbce=est egal a cbca+cacd+cdcepar Chasles geometrique et on en deduit le resultat.

2.2.3 La relation de Chasles geometrique

2.5 Proposition.Soient[caob]un secteur saillant etcun point du plan,

distinct deo. Les proprietes suivantes sont equivalentes :

1) On a la relation de Chasles geometrique :caob=caoc+ccob.

2) Le pointcest dans le secteur[caob].

3) Les pointsaetbsont de part et d'autre de(oc)et on acaoc+ccob.

Demonstration.Cela resulte essentiellement des lemmes vus sur les secteurs et de l'additivite des longueurs d'arc.

3 Le theoreme de l'angle inscrit : variante

geometrique

3.1 Le theoreme direct

3.1 Theoreme. (Angle inscrit et angle au centre)Soitun cercle de

5 centreoet soienta;b;ctrois points distincts de. On supposeaetodu m^eme c^ote de(bc). Alors on acboc= 2cbac. Demonstration.Il y a trois cas de gure selon la position deapar rapport aux droites (ob) et (oc). o a b c a' c' b'Figure1 { Angles inscrit et au centre o a b c d d'Figure2 { Angle inscrit 2

1) On supposeadans le secteur [db0oc0] oppose a [cboc], ou encoreointerieur2

au triangleabc. On appellea0le point diametralement oppose aa. On acboc=dboa0+da0oc (cara0est dans le secteur [cboc], c'est Chasles geometrique) etcbac=dbaa0+da0ac.

Il sut alors de montrer

dboa0= 2dbaa0(l'autre est identique en utilisant le triangle isoceleaoc). Pour cela on considere le triangle isoceleaob. Ses angles a la base sont egaux et leur somme est le supplementaire de l'angle en caob, donc egale adboa0.

2) On supposeoetcde part et d'autre de (ab). Le raisonnement est

analogue, mais avec cette fois des dierences : cboc=da0ocda0obet de m^emecbac=da0acda0ab. On utilise les m^emes triangles isocelesaobetaoc.

3) L'autre cas de gure,oetbde part et d'autre de (ac), est analogue.

3.2 Corollaire. (Angle inscrit 1)Soitun cercle de centreoet soient

a;d;b;cdes points distincts de. On supposea;detodu m^eme c^ote de(bc).

Alors on a

cbdc=cbac.2. C'est un petit lemme de position : sic0etasont du m^eme c^ote de (ob),cetosont du m^eme c^ote de (ab). En eet, sinon [oc] coupe (ab), et m^eme [ab] par convexite du disque. Mais, par rapport a (ob), [ab] et [oc] sont dans des demi-plans opposes. 6 Demonstration.On a 2cbdc= 2cbacet comme ce sont des reels on a la conclu- sion. On a une variante obtenue en faisant tendre le pointdvers le pointb:

3.3 Corollaire. (Angle inscrit limite)Soitun cercle de centreoet

soienta;b;cdes points distincts de. On supposeaetodu m^eme c^ote de (bc). Soittun point de la tangente aenb, du c^ote decpar rapport a(ob).

Alors on a

ctbc=cbac.

Demonstration.Il sut de considerer l'angleccbo, complementaire de l'anglectbcet de passer par l'angle au centre.

3.4 Corollaire. (Angle inscrit 2)Soitun cercle de centreoet soient

a;b;c;dquatre points distincts de. On supposeaetdde part et d'autre de (bc). On acdbc=cbac. Demonstration.Supposons par exempleadu c^ote deoet soitd0le point

diametralement oppose ad. Alorsd0est aussi du c^ote3deo. On a donccbac=dbd0c. Par ailleurs, les trianglesd0bdetd0cdsont rectangles (on les decompose

en deux triangles isoceles et on utilise la somme des angles) et donc leurs

angles endetd0sont complementaires. Comme on acbdc=dbdd0+dd0dcetdbd0c=dbd0d+ddd0c(par exemple, parce que le quadrilateredbd0cest convexe

puisque ses diagonales se coupent) on en deduit le resultat.

3.2 La reciproque

3.5 Theoreme.Soienta;b;c;dquatre points distincts. On supposea;d(stric-

tement) du m^eme c^ote de(bc)(resp. de part et d'autre) etcbac=cbdc(resp. cbdc=cbac). Alorsa;b;c;dsont cocycliques. Demonstration.Traitons le premier cas. Soit le cercle circonscrit aa;b;c. On raisonne par l'absurde en supposant quedn'est pas sur , disons a l'exterieur. Les droites (bd) et (cd) coupent4respectivement enmetn. Commemest sur , du m^eme c^ote queapar rapport a (bc), on acbac=dbmc.

Mais, la somme des angles dans le trianglemdcdonnedbmc=dmdc+dmcd=cbdc+dmcd. Comme on acbac=cbdcpar hypothese, on en deduitdmcd= 0. Le

pointmest donc a la fois sur (bd) et (cd), donc endetdest sur le cercle, ce qui est absurde.3. Attention, en revanche on ne peut pas dire quea0est de l'autre c^ote dea. Ici ca marche parce que [od] coupe (bc) enm. Alors la demi-droite [mo) est toute entiere du c^ote deoet contientd0.

4. Le lecteur qui decelerait ici une imprecision pourrait la lever en utilisant le theoreme

de l'angle inscrit limite. 7

4 Angles orientes

Dans le polycopie de geometrie euclidienne [DHP], les angles orientes sont denis a partir des rotations et de l'exponentielle, voir ci-dessous. Vu la prochaine disparition des rotations dans les programmes du second degre, il me semble preferable d'en avoir aussi une denition directe. C'est ce que je tente ici.

4.1 Orientation du plan

4.1.1 Variante elementaire

Voici une maniere de denir une orientation du plan. Je ne donne pas les details, ils seront peut-^etre dans [Axiomes]. La seule idee que je veux faire passer c'est qu'on peut le faire. On appellereperela donnee d'un pointoet de deux demi-droites per- pendiculaires;d'origineo. On en choisit un qui nous sert d'embleme et on le decrete direct. Il s'agit de dire quand les autres le sont. On commence par les reperes d'origineo. Pour completero;(ouest la demi-droite opposee a) en un repere direct on prend. Si est dans le demi-planE+limite par et qui contient, on choisit la demi-droite perpendiculaire qui est du m^eme c^ote quepar rapport a . Si est dansEc'est le contraire. On en deduit une orientation en chaque pointade la maniere suivante.

On completeo;[oa) par une demi-droite

en un repere direct. On obtient un repere direct enaen prenanta, la demi-droite issue deaet contenue dans [oa) et la demi-droite perpendiculaire a (oa) enasituee dans le m^eme demi-plan que . Une fois qu'on a un repere direct ena, on denit les autres comme on l'a fait eno(il sut de penser aux aiguilles d'une montre ou au sens trigonometrique pour s'y retrouver, le lecteur pointilleux ecrira les details).

4.1.2 Variante re

exions On denit encore, a partir de deux demi-droites perpendiculaires, de tels objets positifs et negatifs selon le nombre de re exions necessaires pour passer de l'un a l'autre. La encore, il y a des choses a montrer, voir le papier [R] sur ma page web. 8

4.2 Angles orientes

Maintenant qu'on a une notion d'orientation, on peut parler d'isometries positives (ou deplacements) ou negatives : les isometries positives sont celles qui conservent l'orientation, les negatives celles qui la renversent. Vu la denition, il est clair que les symetries axiales sont negatives. Cela implique que les deplacements sont simplement transitifs sur les demi-drapeaux (un point et une demi-droite). En eet, on peut toujours envoyer (a;) sur (a0;0) par une isometrie et, si elle n'a pas le bon signe, on corrige avec la symetrie d'axe0.

4.2.1 La denition elementaire

Soit [

da!b] un secteur d'angle geometrique=da!b. On denit l'angle oriente (!!a;!!b) (qui vautou) comme suit. On complete!;= [!a) en un repere direct!;;. Sibest dans le demi-plan positif (celui de), on prend, s'il est dans le demi-plan negatif on prend. S'il est sur la demi-droiteon est comme l'^ane de Buridan, on ne sait pas choisir entre et. On decrete donc que ces angles orientes sont egaux :=ou encore 2= 0. Les angles orientes habitent donc dansR=2Z. La denition ci-dessus permet de denir l'angle (~v; ~w) pour deux vecteurs non nuls.

4.2.2 Par l'algebre lineaire

On renvoie a [DHP] pour ce point de vue. Les elements du groupe des rotations vectorielles s'ecrivent matriciellement sous la formeab b a avec a

2+b2= 1, on ecrita= cos,b= sinavec2Ret ce nombre est deni

modulo 2vu la periode des fonctions sinus et cosinus. Pour resumer sur les angles de demi-droites : les angles geometriques sont denis par leur cosinus, les angles orientes ont, en plus, un signe, deni par leur sinus.

4.3 Proprietes

4.1 Proposition.

1) Les deplacements (resp. les isometries negatives) conservent les angles

orientes (resp. les changent en leur oppose).

2) On a la relation de Chasles :(~u; ~w) = (~u;~v) + (~v; ~w).

3) On a la regle du parallelogramme :(~u;~v) = (~u0;~v0)()(~u;~u0) = (~v;~v0).

4) On a les formules : (~u;~u) =,(~v;~u) =(~u;~v)et(~u;~v) = (~u;~v).

9 Demonstration.Expliquons la relation de Chasles dans un des cas nonevidents : celui de trois angles obtus tournant dans le sens trigonometrique :o;a;b;c. Il s'agit de montrer (!oa;!ob)+(!ob;!oc) = (!oa;!oc). On introduit le pointa0oppose aaet on a, par la relation de Chasles geometrique, (!oa;!ob) + (!ob;!oa0) =, (!ob;!oc) = (!ob;!oa0) + (!oa0;!oc) et (!oa0;!oc) + (!oc;!oa) =, d'ou (!oa0;!oc) = (!oa;!oc). On en deduit (!oa;!ob) + (!ob;!oc) = 2+ (!oa;!oc) et le resultat.

4.2 Proposition.1) Soienta;b;ctrois points distincts. On a(!ab;!ac) +

(!bc;!ba) + (!ca;!cb) =.

2) Si le triangleabcest isocele enaon a(!ba;!bc) =(!ca;!cb).

Demonstration.Pour 1) il sut d'ecrire (!ca;!cb) = (!ac;!bc) et d'appliquer Chasles, pour 2) d'utiliser la symetrie par rapport a la hauteur-mediane issue dea.

4.4 Angles orientes de droites

Considerons deux droitesA;Bsecantes eno, chacune munie d'un vecteur directeur, par exemple unitaire,~iet~j. Le probleme pour denir l'angle des droitesA;B(dans cet ordre) c'est qu'il n'y a pas un mais deux vecteurs unitaires les denissant :~iet~i. Il y a donca prioriquatre angles possibles : (~i;~j), (~i;~j), (~i;~j), (~i;~j). Comme on a (~i;~j) = (~i;~j) et (~i;~j) = (~i;~j), ces angles se reduisent a deux (~i;~j) et (~i;~j) = (~i;~i) + (~i;~j) = + (~i;~j). Pour denir un seul angle pour les droites, il faut identier ces deux angles, autrement dit travailler non plus modulo 2, mais modulo. Cela conduit a la denition :

4.3 Denition.SoientA;Bdeux droites secantes eno, munies des vecteurs

directeurs~iet~j. L'angle oriente des droitesA;B, note(A;B), est la classe modulode l'angle(~i;~j). Il ne depend pas du choix des vecteurs directeurs. Si les droites sont respectivement(ab)et(cd)on notera, par abus,(ab;cd) au lieu de((ab);(cd)). La proposition suivante decoule de celle concernant les angles de vecteurs :

4.4 Proposition.

1) Les deplacements (resp. les isometries negatives) conservent les angles

orientes de droites (resp. les changent en leur oppose).

2) On a la relation de Chasles :(A;B) = (A;C) + (C;B).

3) On a la regle du parallelogramme :(A;B) = (A0;B0)()(A;A0) =

(B;B0).

4) On a les formules :(A;A) = 0,(A;B) =(B;A).

10

4.5 Corollaire.Au sens des angles orientes de droites, la somme des angles

d'un triangle (comptes dans le m^eme sens) est nulle. Precisement, si le tri- angle estabcon a(ab;ac) + (bc;ba) + (ca;cb) = 0. Demonstration.Si on poseA= (bc),B= (ca) etC= (ab), la relation n'est autre que (C;B)+(A;C)+(B;A) = 0 et elle resulte de la relation de Chasles.

5 Le theoreme de l'angle inscrit avec les angles

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