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14 fév 2016 · Conséquences de la relation de Chasles : Pour tous les vecteurs u et v non nuls, • ( v; u) = −( u; v)
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Chapitre 3
Les angles
3.1 Angles orient´es de vecteurs du plan
3.1.1 Groupe des rotations
Dans tout ce qui suit, on se place dans un espace vectoriel euclidienEde dimension 2. D´efinition 3.1On appelle rotation deEtoute compos´ee de deux r´eflexions deE. On noteraRl"ensemble des rotations deE.
Proposition 3.2Toute rotation deEdistincte de l"identit´e ne fixe aucun autre vecteur que 0. D´emonstration:Soient doncr? Retu?E\{0}tel quer(u) =u. Par d´efinition, on peut ´ecrirercomme compos´ee de deux r´eflexions :r=s1◦s2. Mais alors,s1◦r=s2et donc s2(u) =s1(r(u)) =s1(u). En posantvce dernier vecteur, on a||u||=||v||(une r´eflexion est
une isom´etrie). Ou bienv=uet alorss1ets2ont mˆeme axe doncs1=s2etr=idEou bienu/=vet l"unicit´e de la r´eflexion envoyantusurvassure ques1=s2et doncr=idE. Proposition 3.3Soientu,v?E\{0}. Si||u||=||v||alors il existe une unique rotation envoyant usurv. D´emonstration:Montrons l"existence. Siu=v, l"identit´e convient. Sinon, soits1l"unique r´eflexion envoyantusurv. On as1◦sVect(u)(u) =vdonc la rotationr=s1◦sVect(u)convient.Montrons l"unicit´e. Soitr?une rotation telle quer?(u) =v. Siu=v, la proposition pr´ec´edente
donner?=idE=r. Supposons doncu/=vet posonsg=s1◦r?o`us1est l"unique r´eflexion envoyantusurv.gest une isom´etrie qui fixeu. Soit alorseun vecteur orthogonal `autel que ||e||=||u||. (u,e) est une base orthonogonale deEetg(u) =u?g(e) doncg(e) =±e.g(e) =e est impossible (car sinong=idEetr?=s1ce qui est exclu, une rotation et une r´eflexion n"ayant pas mˆeme ensemble d"invariants). On a doncg(e) =-eet par suiteg=sVect(u)soit r ?=s1◦sVect(u)=r.?? Proposition 3.4Soitrune rotation deE. Pour toute r´eflexionsdeE, il existe une r´eflexion s1deEtelle quer=s1◦s. De mˆeme, il existe une r´eflexions2telle quer=s◦s2.
D´emonstration:C"est clair sir=id(prendres1=s2=s). Sinon, soientdl"axe des,a un ´el´ement non nul dedetb=r(a) (on a doncb/=a). Il existe alors une r´eflexions1telle ques1(a) =b. Consid´eronsr?=s1◦s. C"est une rotation qui transformeaenb. Or il existe exactement une rotation deRtransformantaenb(car||a||=||b||), et doncr=r?=s1◦s.Ce qui vient d"ˆetre d´emontr´e vaut pourr-1. Il existe donc une r´eflexions2telle quer-1=s2◦s
ce qui impliquer=s◦s2.?? 1920CHAPITRE 3. LES ANGLES
Th´eor`eme 3.5L"ensembleRdes rotations deEest un sous-groupe commutatif deO(E). D´emonstration:RcontientIdE. Sir=s1◦s2est une rotation,rest inversible et son inverse estr-1=s2◦s1qui est bien une rotation. La seule chose non ´evidente est queRsoit stable parcomposition. Soient doncretr?deux rotations. Soitsune r´eflexion. D"apr`es ce qui pr´ec`ede, il
existe deux r´eflexionss1ets2telles quer=s1◦setr?=s◦s2et doncr◦r?=s1◦s◦s◦s2=s1◦s2
cars◦s=Id. Doncr◦r?est bien une rotation. Soient enfinr1etr2deux rotations deR. Il existe des r´eflexionss,s1ets2deEtelles que r1=s1◦setr2=s◦s2de sorte quer1◦r2=s1◦s2tandis quer2◦r1=s◦s2◦s1◦s.
Il s"agit donc de montrer ques1◦s2=s◦s2◦s1◦sou encore :s◦s1◦s2=s◦s2◦s1.
Consid´eronst=s◦s1◦s2. En d´ecomposant la rotations1◦s2sous la formes1◦s2=s◦s3, on
voit quet=s3est une r´eflexion donc une involution. Ort-1= (s◦s1◦s2)-1=s2◦s1◦sce qui
d´emontre le r´esultat.?? Exercice 3.1Red´emontrer ce r´esulat `a partir des expressions matricielles.3.1.2 Notion d"angle
Proposition et D´efinition 3.6SoitCl"ensemble des vecteurs deEde norme 1. La relation ≂d´efinie surC×Cpar(u,v)≂(u?,v?)s"il existe une rotationrtelle quer(u) =u?et r(v) =v?, est une relation d"´equivalence. L"ensemble quotient deC×Cpar cette relation est appel´e ensemble des angles orient´es de vecteurs et not´eA:A= (C×C)/≂= (C×C)/R.L"angle orient´e
?(u,v)est par d´efinition l"image de(u,v)dansA. Extension de la d´efinition :sixetysont deux vecteursnon nulsdeE,x?x?ety?y?sont des vecteurs de norme1, ce qui permet de d´efinir?(x,y) =?(x?x?,y?y?).D´emonstration:Le fait que≂soit une relation d"´equivalence peut se v´erifier directement. Il est
aussi possible de remarquer que le groupeRop`ere naturellement surCet donc surC×Cet que≂est la relation d"´equivalence associ´ee `a cette op´eration deR.?? Exemples.Soituun vecteur non nul deE. L"angle?(u,u) est appel´eangle nul. L"angle?(u,-u) est appel´eangle plat.Propri´et´es.Les rotations et les homoth´eties conservent les angles orient´es de vecteurs.
D´emonstration:Cas des rotations.Soientxetydeux vecteurs non nuls etrune rotation. Sixetysont de norme 1, il en est de mˆeme der(x) et der(y), et l"assertion r´esulte de la d´efinition deA. Dans le cas g´en´eral, notonsa=?x?etb=?y?. Commerest une isom´etrie, ?r(x)?=?x?=aet?r(y)?=?y?=b. En utilisant la d´efinition pr´ec´edente, (r(x),r(y)) =? (r(x)?r(x)?,r(y)?r(y)?)Commerest lin´eaire,r(x)?r(x)?=r(x)a
=r(xa ) etr(y)?r(y)?=r(yb ) donc?(r(x),r(y)) =?(r(xa ),r(yb Comme xa etyb sont unitaires,?(r(xa ),r(yb )) =?(xa ,yb ) =?(x,y) en appliquant l"extension de la d´efinition. Cas des homoth´eties.Soit donchune homoth´etie de rapportλnon nul. Siλest strictement positif,?λ x?=λ?x?et?λy?=λ?y? donc ?(λ x,λ y) =?(λ x?λ x?,λ y?λ y?) =?(x?x?,y?y?) =?(x,y) Siλest strictement n´egatif, par un calcul analogue,?(λx,λy) =?(-x,-y). CommeEest de dimension 2,-Idest une rotation (c"est par exemple, pour tout vecteur3.1. ANGLES ORIENT
´ES DE VECTEURS DU PLAN21
non nule, la compos´eesVect(e)◦s(Vect(e))?) et donc, d"apr`es ce qui pr´ec`ede,?(-x,-y) =?(x,y)
3.1.3 Angle d"une rotation
Proposition et D´efinition 3.7Soiteun vecteur unitaire.L"applicationθe:R→ A, r?→θe(r) =?(e,r(e))est ind´ependante du choix du vecteur unitairee.
Pour toute rotationr,θ(r)est par d´efinition, l"angle de la rotationr.D´emonstration:On doit v´erifier que sie?est un autre ´el´ement deCalors?(e,r(e)) =?(e?,r(e?))
ce qui revient `a dire que (e,r(e))≂(e?,r(e?)). Or il existe une rotationr?telle quer?(e) =e?. Il
s"agit donc de montrer quer?(r(e)) =r(e?) soit encore :r?(r(e)) =r(r?(e)) ; mais le groupeR est commutatif, et doncr◦r?=r?◦r. Ce qui d´emontre le r´esultat.??3.1.4 Groupe des angles orient´es
Proposition 3.8L"applicationθ(d´efinie au paragraphe pr´ec´edent) est bijective. Une rotation
est donc caract´eris´ee par son angle.D´emonstration:
1) Montrons queθest injective : soient doncretr?deux rotations telles queθ(r) =θ(r?).
Donc ?(e,r(e)) =?(e,r?(e)). Cela signifie qu"il existe une rotationr??telle quer??(e) =eet r??(r(e)) =r?(e). Or l"´egalit´er??(e) =eimplique quer??=Id, et la deuxi`eme ´egalit´e se r´eduit
donc `a :r(e) =r?(e), ce qui impliquer=r?.2) Montrons queθest surjective : soit donca=?(u,v) un angle. Commeθ=θu, il suffit donc
de montrer qu"il existerdansRtelle quea=θu(r) ou encore quev=r(u). Mais ceci r´esulte de la proposition 3.3.??Cons´equence.Apeut ˆetre muni d"une loi de composition lui conf´erant une structure de groupe
ab´elien en posant, pouraeta?dansA,a+a?=θ(θ-1(a)◦θ-1(a?)) (transport de structure). Exercice 3.2V´erifier que la loi + fait bien deAun groupe qui de plus est ab´elien. Remarque.Par construction, l"applicationθest alors un isomorphisme de groupes. Proposition 3.9 (Relation de Chasles)Pour tous vecteurs non nulsu,vetw, on a : (u,v) +?(v,w) =?(u,w) D´emonstration:Soitrla rotation telle quer(u) =vetr?la rotation telle quer?(v) =w.Doncθ(r) =?(u,v) etθ(r?) =?(v,w). Il r´esulte de la d´efinition de l"addition des angles que
?(u,v)+?(v,w) =θ(r◦r?) et donc?(u,v)+?(v,w) =θ(r?◦r). Orr?◦r(u) =wet doncθ(r?◦r) =?(u,w).
Ce qui d´emontre la propri´et´e.??
Remarque.La d´efinition de l"addition des angles correspond donc bien `a ce que l"on attendg´eom´etriquement `a savoir qu"ajouter deux angles correspond bien `a "les mettre bout `a bout".
Exercice 3.3Montrer que toute r´eflexion inverse les angles. Autrement dit, pour tous vecteurs non nulsuetv, et pour toute r´eflexions,?(s(u),s(v)) =-?(u,v).22CHAPITRE 3. LES ANGLES
3.1.5 Mesure d"un angle orient´e
On choisit une base orthonorm´eeB= (e1,e2) deE, et `a tout r´eelxon associe le vecteur (unitaire)u(x) = (cosx)e1+ (sinx)e2. Notons alorsaB(x) =?(e1,u(x)). Proposition 3.10L"applicationaB:R-→ Aest un homomorphisme de groupes, surjectif, de noyau2πZet on a donc un isomorphisme de groupesA ?R/2πZ. D´emonstration:Montrons queaBest une surjection : siαest un angle, il existe une rotationr deRtelle queα=?(e1,r(e1)) (surjectivit´e deθe1) etr(e1) est bien de la formeu(x) puisqu"en dimension 2, un endomorphisme orthogonal positif (rotation) a, dans une base orthonorm´ee, une matrice de la formeR(x) =?cosx-sinx sinxcosx? Montrons queaBest un homomorphisme de groupes. Soientxetx?deux r´eels. On va montrer queaB(x+x?) =aB(x) +aB(x?), soit encore :?(e1,u(x+x?)) =?(e1,u(x)) +?(e1,u(x?)). Soit doncrla rotation telle quer(e1) =u(x) etr?la rotation telle quer?(e1) =u(x?). Il suffit donc de montrer quer◦r?(e1) =u(x+x?). Orr?(e1) = cosx?e1+ sinx?e2. Commerestlin´eaire,r◦r?(e1) = cosx?r(e1) + sinx?r(e2) ; d"autre part, par d´efinition,r(e1) =u(x) =
cosxe1+ sinxe2et commerest de d´eterminant +1,r(e2) =-sinxe1+ cosxe2et donc, r◦r?(e1) = cosx?(cosxe1+ sinxe2) + sinx?(-sinxe1+ cosxe2) Les formules d"addition montrent que :r◦r?(e1) = cos(x+x?)e1+ sin(x+x?)e2et donc r◦r?(e1) =u(x+x?). Le nombre r´eelxappartient au noyau deaBsi et seulement siu(x) =e1ce qui ´equivaut `a cosx= 1 et sinx= 0, et ceci ´equivaut `a :x?2πZ. Pour tout r´eelxnotonsxson image dansR/2πZ. CommeaB(x) ne d´epend que de la classe de xmodulo 2πZ, on peut d´efinir une applicationaB:R/2πZ→ Aen posanta
B(x) =aB(x), qui
est ´egalement un homomorphisme. CommeaBest surjectif, il en est de mˆeme deaB. Enfin, six
appartient au noyau deaB,xappartient `a 2πZet doncx= 0.??
Proposition 3.11SoientB?une autre base eta
B?d´efinie de mani`ere analogue.
•SiBetB?sont de mˆeme orientation alors les applicationsa BetaB?co¨ıncident.
•SiBetB?sont d"orientations contraires alorsa B?=-a B. D´emonstration:Notons, comme pr´ec´edemmentu?(x) = cosxe?1+ sinxe?2et consid´eronsl"isom´etrie (lin´eaire)f:E→Ed´efinie parf(e1) =e?1etf(e2) =e?2.fest alors de d´eterminant
+1, car detf= detB(B?), et doncfest une rotation, et donc conserve les angles. Comme f(u(x)) =u?(x) ceci implique?(e?1,u?(x)) =?(f(e1),f(u(x))) =?(e1,u(x)) et doncaB(x) =a
B?(x) d"o`ua B?=a B. SiBetB?sont d"orientations contraires alorsfest alors une r´eflexion et donc inverse les angles. D"o`u comme ci-dessusa B?=-a B.??D´efinition 3.12Lorsque le plan vectorielEest orient´e, on appelle mesure d"un angle orient´e
de vecteursαtout r´eelxtel quea(x) =α. On appelle mesure principale deαl"unique r´eel x?]-π,π]tel quea(x) =α.3.1.6 Cosinus et Sinus d"un angle orient´e de vecteurs
Proposition et D´efinition 3.13On d´efinit une application deAdans[-1,1]en associant `a un angle orient´e de vecteurs unitaires ?(u,v), le r´eel Cos(?(u,v)) =3.1. ANGLES ORIENT
´ES DE VECTEURS DU PLAN23
D´emonstration:Si (u,v) et (u?,v?) sont deux couples de vecteurs unitaires tels que?(u,v) = ?(u?,v?) alors il existe un ´el´ementrdeO+(E) tel queu?=r(u) etv?=r(v) et donc =Remarques.
•La fonction Cosinus est intrins`eque (elle ne d´epend pas du choix de l"orientation). •Pour tout couple (u,v) de vecteurs non nuls, on a donc :D´emonstration:Si (u,v) et (u?,v?) sont deux couples de vecteurs unitaires repr´esentant l"angle
?(u,v) alors il existe un ´el´ementrdeO+(E) tel queu?=r(u) etv?=r(v) et donc det B(u?,v?) = detB(r(u),r(v)) = detB(r)detB(u,v) et le r´esultat en d´ecoule.??Remarques.
•La fonction Sinus n"est pas intrins`eque : elle est inchang´ee si on remplaceBpar unebase orthonorm´ee de mˆeme orientation mais elle est chang´ee en son oppos´ee dans le cas
contraire. •Pour tout angle orient´eα, on a : Cos2(α) + Sin2(α) = 1. •Pour tout angle orient´eα, on a donc : Sin(α)?[-1,1]. •Avec les notations du paragraphe pr´ec´edent, pour tout r´eelxon a Sin(a(x)) = sinx.Sinus et produit vectoriel
SoitEun espace vectoriel euclidien orient´e de dimension 3.´Etant donn´es deux vecteursuetv deE, le produit vectorielu?vest caract´eris´e par : •u?v=-→0 siuetvsont colin´eaires,•u?v=||u||.||v||.sin??(u,v)?-→ko`u-→kest le vecteur unitaire directement orthogonal `a (u,v),
ce vecteur d´eterminant l"orientation du plan Vect({u,v}), sinon. D´emonstration:Supposons donc (u,v) libre. Soit-→kle vecteur unitaire directement orthogonal `a (u,v). Soit (e1,e2) une base orthonorm´ee de Vect({u,v}) telle queB= (e1,e2,-→k) soit orthonorm´ee directe. Soitw?E. On a alors< u?v,w >= [u,v,w] =? ??????x x y y0 0γ?
??????Bet donc24CHAPITRE 3. LES ANGLES
3.2 Autres notions d"angles
3.2.1 Angles g´eom´etriques de vecteurs du plan
Proposition et D´efinition 3.15SoitCl"ensemble des vecteurs deEde norme 1. La relation ≈d´efinie surC×Cpar(u,v)≂(u?,v?)s"il existe un ´el´ementfdeO(E)tel que f(u) =u?etf(v) =v?, est une relation d"´equivalence. L"ensemble quotient deC×Cparcette relation est appel´e ensemble des angles g´eom´etriques (ou non orient´es) de vecteurs et not´e
A:A= (C×C)/≈= (C×C)/O(E).
L"angle non orient´e
?{u,v}est par d´efinition l"image de(u,v)dansA. Extension de la d´efinition :sixetysont deux vecteursnon nulsdeE,x?x?ety?y?sont des vecteurs de norme1, ce qui permet de d´efinir?{x,y}=?{x?x?,y?y?}.D´emonstration:≈est en effet la relation d"´equivalence associ´ee `a l"op´eration naturelle deO(E)
surC×C.??Remarque.Les rotations, les homoth´eties et les r´eflexions conservent par d´efinition les angles
g´eom´etriques. Proposition 3.16La relation≂est strictement plus fine que la relation≈. D´emonstration:Soientu,v,u?etv?des vecteurs unitaires. S"il existe une isom´etrie positivef qui transformeuenu?etvenv?, il existe une isom´etrie qui transformeuenu?etvenv?(!)donc≂est plus fine que≈. Par contre, soitB= (u,v) une base orthonorm´ee du plan. Il est clair
que (u,v)≈(u,-v) car la r´eflexion d"axeRutransforme bienuenuetven-v, mais (u,v) et(u,-v) ne sont pas ´equivalents au sens de≂, car la seule isom´etrie lin´eaire qui laisse fixeuet
transformeven-vest la r´eflexion d"axeRu.?? Remarque.Pour tout couple (u,v) de vecteurs unitaires, on a?{u,v}=?(u,v)??(v,u). Consid´erer l"angle g´eom´etrique ?{u,v}revient donc `a confondre les angles orient´es de vecteurs?(u,v) et?(v,u). D´emonstration:Soit (u?,v?)??{u,v}. On a alorsf(u) =u?etf(v) =v?pour un certainfde O(E). Sifest dansO+(E) alors (u?,v?)??(u,v). Sinon, en notantsla r´eflexion ´echangeantuetv,f◦s? O+(E) etf◦s(u) =v?etf◦s(v) =u?donc (u?,v?)??(v,u). L"inclusion r´eciproque
se montre de mˆeme.?? Proposition et D´efinition 3.17On d´efinit une application deAdans[0,π]en associant `a un angle g´eom´etrique ?{u,v}, le r´eelmde[0,π]tel quemsoit une mesure de?(u,v)ou de?(v,u). Ce r´eelms"appelle la mesure de l"angle g´eom´etrique?{v,u}.D´emonstration:Soit?{u,v}un ´el´ement deA. L"angle orient´e?(u,v) a une unique mesuremdans
]-π,π] (mesure principale). Une mesure de?(v,u) est alors-met seul un des deux r´eelsmet -mest dans l"intervalle [0,π].??Exercice 3.4D´eterminer la somme des mesures des angles g´eom´etriques d"un triangle non aplati.
Proposition et D´efinition 3.18On d´efinit une application deAdans[-1,1]en associant `a un angle g´eom´etrique ?{u,v}, le r´eel Cos(?{u,v}) =?{u,v}). Cette application est bijective et un angle g´eom´etrique est donc caract´eris´e par son
Cosinus.
D´emonstration:Si (u,v) et (u?,v?) sont deux couples de vecteurs unitaires tels que?{u,v}= ?{u?,v?}alors il existe un ´el´ementfdeO(E) tel queu?=f(u) etv?=f(v) et donc3.2. AUTRES NOTIONS D"ANGLES25
=Soientθetθ?deux angles g´eom´etriques tels que Cos(θ) = Cos(θ?). Il existe donc des vecteurs
unitairesu,vetv?tels queθ=?{u,v}etθ?=?{u,v?}. L"hypoth`esela droiteRu(´ecrire les composantes devetv?dans une b.o.n. (u,w)), et dans les deux cas,θ=θ?.
3.2.2 Angles de vecteurs dans l"espace
SoitEun espace vectoriel euclidien de dimension 3. On noteCl"ensemble des vecteurs deEde norme 1. Proposition et D´efinition 3.19Sur l"ensembleC×Con consid`ere la relation≂d´efinie par (u,v)≂(u?,v?)si et seulement si il existe un ´el´ementfdeO+(E)tel que :f(u) =u? etf(v) =v?ainsi que la relation≈d´efinie par(u?,v?)≈(u,v)si et seulement si il existe un ´el´ementfdeO(E)tel quef(u) =u?etf(v) =v?. Ces deux relations sont des relations d"´equivalence qui sont ´egales. L"ensemble quotient deC×Cpar cette relation est par d´efinition l"ensemble des angles de vecteurs de l"espace. Il est not´eA. L"image de(u,v)dansAest par d´efinition l"angle de vecteurs (de l"espace) deuetvet est not´e ?{u,v}. D´emonstration:Comme dans le cas du plan, le groupeO(E) (respO+(E)) op`ere surC×C. On en d´eduit que≂et≈sont des relations d"´equivalence. Soient doncx,y,x?ety?des vecteurs de norme 1. Il est clair que (x?,y?)≂(x,y) implique (x?,y?)≈(x,y).R´eciproquement, supposons (x?,y?)≈(x,y) c"est `a dire qu"il existe une isom´etrieftelle que
x ?=f(x) ety?=f(y). Il s"agit de montrer qu"il existe une isom´etrie pairegtelle quex?=g(x) ety?=g(y). Sifest paire, il n"y a rien `a d´emontrer. Sifest impaire, soientFun plan contenantx?ety?etsla r´eflexion d"axeF, de sorte ques(x?) =x?ets(y?) =y?. Soitg=s◦f. Il est clair quex?=g(x) ety?=g(y) et de plus, det(g) = det(s◦f) =-1×det(f) = +1.3.2.3 Angles et droites
On peut ´egalement d´efinir les notions d"angles orient´e de droites, d"angle non orient´e de droites