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CorrectionCorrectionDS n°3A - Troisième - Novembre2018Devoir Surveillé n°3ACorrectionTroisièmeThalès et homothétieDurée 1 heure - Coeff. 5Noté sur 20 pointsExercice 1. Application directe du cours3 pointsDans la figuresuivante, lesdroites(BM) et (PC)sont sécantesen A .On sait que :B=7 cm ;AM=4cm ;AP=6 cm ;AC=8 cm. Les droites(BC)et (PM) sont-ellesparallèles?•Données.Les points B, A, M et P, A, C sont alignés dans cet ordresur deux droites sé-cantes en A.•Le test, avecmise au même dénominateur.D"unepart :AMAB=47=1628D"autrepartpart :APAC=68=34=2128•Conclusion.On n"a donc pas égalité,AMAB?=APAC. De ce fait, d"après lacontraposée duthéorème de Thalès, Les droites (BC) et (MP) ne sont pas parallèles.×A×P×M×C×B748615Exercice 2. Une construction7 pointsLa figure ci-contre n"est pas en vraie grandeur. On donne lesinformations suivantes :• Le triangle ADE a pour dimensions :AD = 7 cm, AE = 4,2 cm et DE = 5,6 cm.• F est le point de [AD] tel que AF = 2,5 cm.• B est le point de [AD) et C est le point de [AE) telsque : AB = AC = 9 cm.• La droite (FG) est parallèle à la droite (DE).BDFAGEC1. Réaliserune figureenvraie grandeur.2. Prouverque ADE est un trianglerectangleen E.Si le triangleADEest rectangle, c"est forcément enEcarADest le plus grand côté. On a:D"une part :AD2=72AD2=49etD"autre part :AE2+DE2=4,22+5,62AE2+DE2=17,64+31,36AE2+DE2=491/4

CorrectionCorrectionDS n°3A - Troisième - Novembre2018Conclusion:AD2=AE2+DE2,d"aprèsslaréciproqueduthéorèmedePythagore,le triangleADEest rectangle enE.3. Calculerla longueurFG.•Données??Les pointsA, F, D etA, G, E sont alignés sur deux droites sécantes enA;?Les droites (FG) et (DE) sont parallèles.•LethéorèmeDonc d"après lethéorème de Thalèson a :AFAD=AGAE=FGDEPuis en remplaçant par les valeurs2,57=AG4,2=FG5,6•CalculdeFG.On a donc2,57=FG5,6PuisFG=2,5×5,67=2 cmExercice 3. Homothéties3 pointsAvec un logiciel de géométrie dynamique, on a construit la figure A. En appliquant à la figure A des homothéties decentre O et de rapports différents, on a ensuite obtenu les autres figures.figure Afigure Bfigure Cfigure Dfigure EOABCDE+++++1. Quelest le rapportde l"homothétie de centreO qui permetd"obtenir la figure C à partir de la figure A?Le rapport de l"homothétie de centre O qui permet d"obtenir la figure C à partir de la figure A estk=3 puisqueon a :OC=3×OA=?k=OCOA=32. On appliquel"homothétie de centreO et de rapport35à la figureE. Quellefigure obtient-on?Si on applique l"homothétie de centre O et de rapport35à la figure E, alors le point E se transforme en le pointE" tel que :OE?=35×OE=OCDonclafigureEsetransformeenlafigureC.2/4

CorrectionCorrectionDS n°3A - Troisième - Novembre20183. Quellefigurea une aire4 fois plus grandeque la figureA?Quand on multiplie les distances par un réel strictement positifk, les aires le sont park2et les volumes park3.Agrandissement/réductionDonc ici, si une figure a une aire 4 fois plus grande que la figureA, ses dimensions ont été multipliées park?=2, carainsi, les aires le sont park?2=4. De ce fait c"est la figure B qui a une aire 4 fois plus grande que la figure A puisque lerapport d"homothétie permettant de passer de la figure A à la figure B est :k?=OBOA=2Exercice 4. Une piste cyclable7 pointsLa ville BONVIVRE possède une plaine de jeux bordée d"une piste cyclable. La piste cyclable a la forme d"un rectangleABCD dont on a "enlevé trois des coins». Le chemin de G à H est unarc de cercle; les chemins de E à F et de I à J sont dessegments. Les droites (EF) et (AC) sont parallèles.ABCDEFGHIJRugbyRugbyFoot312 m48 m288 m52 m29 m72 mQuelle est la longueur de la piste cyclable?Justifier la réponse.La piste cyclable est composée de plusieurs partiesdont certaines ont des longueurs déjà connues. NotonsLla longueur totale on a :L=AE+EF+FG+5.0ptGH?+HI+IF+JAOn suppose ici queEB=HC=48 m•LongueurAE: puisque le point E appartient au segment [AB] on aAE=AB-EB=288-48=240 m•CalculdeEF.Dans le triangle ABC rectangle en B, les droites (EF) et (AC) sont parallèles, les points B, E, A d"une part, B, F, Cde l"autre sont alignés; d"après le théorème de Thalès :BEBA=EFACsoit48288=EF312d"oùEF=48×312288=52 m•LongueurFG: on aFG=52 m•Calculdel"arc?GH.On suppose queEB=HC=48 m. On pourra le redémontrer à la fin.L"arc?GHest un quart de cercle de rayon 48; sa longueur est donc :2×48×π4=24π•LongueurHI: on aHI=288-29-48=211 m3/4

CorrectionCorrectionDS n°3A - Troisième - Novembre2018•CalculdeIJ.Dans le triangleDIJrectangle enD, d"après le théorème de Pythagore on a :IJ2=DI2+DJ2IJ2=722+292IJ2=5184+841IJ2=6025Or IJ est positif puisque c"est une longueur, l"unique solution possible est donc :IJ=?6025IJ≈77,621 m•LongueurAJ:-il nous faut calculerAD(ouBC) en appliquant par exemple Pythagore dans le triangle rectangle ADC.Dans le triangleDACrectangle enD, d"après le théorème de Pythagore on a :AC2=DA2+DC23122=DA2+2882DA2=3122-2882DA2=97344-82944DA2=14400Or DA est positif puisque c"est une longueur, l"unique solution possible est donc :DA=?14400DA=120 m-et puisque le pointJappartient au segment [AD] on a :AJ=120-72=48 m•Conclusion : La longueur de la piste cyclable est donc égale à:L=AE+EF+FG+?GH+HI+IF+JA=240+52+52+24π+211+?6025+48L=603+24π+?6025 (c"est la valeur exacte)L≈756 m?Fin du devoir?4/4

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