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QUESTION : comment placer les bouées A et B pour que l'aire de baignade soit de la bouée A à la rive est de 25 m, quelle est la longueur de la zone de baignade ? Dans la suite de l'exercice, on utilisera l'expression précédente de )

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SecondeOptimisation d"une aire - correction

Aire de Baignade

Le responsable d"un parc municipal, situ´e au bord d"une large rivi`ere, veut am´enager une aire de baignade surveill´ee de forme rectangu- laire. Il dispose d"un cordon flottant de160m de longueur et de deux bou´eesAetB. Probl`eme:on se propose de d´eterminer comment placer les bou´eesAetBpour que l"aire de baignade soit maximale. 1

◦) Si la distanceADde la bou´eeA`a la rive est de25m, la longueurABest110m. En effet, la longueur totale

de la bou´ee est160m et deux cˆot´es du rectangle mesure25m. D"o`u la longueurAB= 160-2×25 = 110

(il n"y a pas de bou´ee sur la plage). L"aire de la zone de baignade est alorsAD×AB= 25×110soit une aire de2750m2. 2

◦) a)AD?0carADest une distance. De plus, la longueur totale de la bou´ee est160m et on aAD=BC

donc la distance maximale deADest 160

2= 80. Ainsi, la distanceADvarie entre0m et80m.

b) SiAD=a, alors la longueurABde la zone de baignade est ´egale `a160-2×AD= 160-2am`etres. `A l"aide d"un logiciel de g´eom´etrie dynamique

4◦) D"apr`es la formule tap´ee dans la barre de saisie, on at=AD×AB.trepr´esente donc l"aire de la zone de

baignade. 6

◦) L"aire de la zone de baignade est ´egale `a2400m2lorsquet= 2400. Cette valeur est atteinte lorsquea= 20

oua= 60. Ainsi, dans ces cas on aAD= 20m ouAD= 60m. 7 ◦) Par lecture graphique, on rep`ere la valeur detpour chaque valeur dex=a. a=AD(en m)01020304050607080

Aire de la zone de baignade

(en m2)014002400300032003000240014000

1/223 janvier 2017

http://mathematiques.ac.free.fr

SecondeOptimisation d"une aire - correction

8◦) La fonction d´efinie par l"aire de la zone de baignade en fonction deaest croissante sur[0 ; 40]puis

d´ecroissante sur[40 ; 80]. AD=a

Aire de la zone de

baignade0 40 80 3200
0 0

D"apr`es le tableau de variation pr´ec´edent, on peut dire quele maximum de l"aire de la zone de baignade

est atteint pourAD= 40m. R´epondre au probl`eme analytiquement(par le calcul)

Dans la suite, on notex=a=AD.

9 ◦) On d´esigne parA(x)l"aire de la zone de baignade en m2. On aA(x) =AD×AB=x(160-2x). En effet, d"apr`es la question 2 ◦)b),AB= 160-2x. 10 ◦) Soitx?[0 ; 80]:

3200-2(x-40)

2= 3200-2(x2-80x+ 1600)il suffit de d´evelopper

= 3200-2x2+ 160x-3200 = 160x-2x 2 =x(160-2x) =A(x)

Ainsi,A(x) = 3200-2(x-40)

2, pour toutx?[0 ; 80].

11 ◦) Il est clair que pour toutx?[0 ; 80],-2(x-40)2?0et donc,3200-2(x-40)2?3200(on additionne de chaque cˆot´e de l"in´egalit´e) On vient donc de montrer que pour toutx?[0 ; 80],A(x)?3200et on a l"´egalit´e lorsquex= 40 (´evident). Cela nous permet de dire que le maximum deAsur[0 ; 80]est3200, atteint pourx= 40. Ainsi, l"aire maximale de la zone de baignade est 3200 m

2et le pointAest situ´e alors `a40m de la rive.

2/223 janvier 2017

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