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CHAPITRE VI.
THÉORÈME DU CHANGEMENT DE VARIABLE.
____ 1. - Intégration par changement de variable.1.1. Introduction. - Soient nU,VÌ? deux ouverts de n? et
:U Vφ® un homéomorphisme de U sur V. Notons x (resp. y) la variable de U (resp. de V) et dyλ= la mesure de Lebesgue sur V. Le changement de variable y (x)φ= transforme la mesure λ sur V en une mesure borélienne ( )( )1μ φ λ- *= sur U, appelée image de λ par 1φ-, et qui est définie par (B) ( (B))μ λ φ= pour tout borélien B UÌ. En particulier, on a (A) ( (A))1λ μ φ-= pour tout borélienA VÌ, soit
A AV U(y)dy ( (x))d (x)φ μ=∫ ∫1 1. De cette relation, on déduit facilement que, pour toute fonction λ-mesurable []f :V ,0® +¥, la fonction []f :U ,φ0® +¥? estμ-mesurable et vérifie :
( )1 V Uf(y)dy f( (x))d (x)φ μ=∫ ∫. Cette dernière formule n"a de réel intérêt que si l"on connaît la mesure ( )( )1μ φ λ- *=. Nous nous proposons ici d"identifier cette mesure lorsque :U Vφ® est un difféomorphisme de classe C1 de U sur V. Plus précisément, si D( )φ désigne le déterminant jaco- bien de n n n nx xx x(x) (x)D( )(x) det
(x) (x) 1 1 1 1 on montre ci-dessous que d (x) D (x)dxμ φ=. La relation ( )1 four- nit alors la formule de changement de variable : ( )2 V Uf(y)dy f( (x))D( )(x)dxφ φ=∫ ∫.Cette formule implique que, si
B UÌ est négligeable pour la
mesure de Lebesgue, alors (B) VφÌ est négligeable pour la mesure CHAPITRE VI. THÉORÈME DU CHANGEMENT DE VARIABLE 2 de Lebesgue. Cette propriété n"est pas vraie pour tout homéomor- phisme, et c"est pourquoi nous supposerons ici queφ est un difféo-
morphisme de classe C1 (cette hypothèse est un peu forte ; il suffi- rait de supposer queφ est un homéomorphisme de classe C1).
1.2. Le théorème du changement de variable. -
Le résultat prin-
cipal concerne l"intégration des fonctions Lebesgue-mesurables po- sitives par changement de variable : T HÉORÈME 1. - Soient U,V deux ouverts de n? et :U Vφ® un difféomorphisme de classeC1 de U sur V. Pour toute fonction Lebesgue-mesurable positive []f :V ,0® +¥, la fonction (f )D( )φ φ? est Lebesgue-mesurable sur U et on a :
V Uf(y)dy f( (x))D( )(x)dxφ φ=∫ ∫, où D( )(x)φ est le déterminant de la matrice jacobienne au point x UÎ. Ce théorème sera démontré au paragraphe suivant. Il implique : T HÉORÈME 2. - Soient U,V deux ouverts de n? et :U Vφ® un difféomorphisme de classe C1 de U sur V. Une fonction f :V®? est intégrable sur V pour la mesure de Lebesgue si et seulement si la fonction (f )D( )φ φ? est intégrable sur U pour la mesure de Lebesgue, et on a : V Uf(y)dy f( (x))D( )(x)dxφ φ=∫ ∫, où D( )(x)φ est le déterminant de la matrice jacobienne au point x UÎ.Démonstration.
- Le difféomorphisme :U Vφ® échange les boréliens de U et de V et le théorème 1 prouve qu"il échange aussi les ensembles négligeables. Il s"ensuit que :U Vφ® échange les ensembles Lebesgue-mesurables, de sorte que f :V®? est Lebes- gue-mesurable si et seulement si f :Uφ®? ? est Lebesgue- mesurable. Comme l"application x D( )(x)φ® est continue et inversible, l"application f :V®? est Lebesgue-mesurable si et seulement si la fonction (f )D( ) :Uφ φ®? ? est Lebesgue- mesurable. Pour une fonction positive, le théorème 2 résulte alors du théorème 1. On en déduit, en considérant le module de f, que f est Lebesgue-intégrable si et seulement si la fonction (f )D( )φ φ? est Lebesgue-intégrable. En décomposant une fonc- tion f :V®? en parties positive et négative, on montre alors la formule du changement de variable pour les fonctions à valeurs réelles. Le cas des fonctions à valeurs complexes s"obtient enfin en décomposant f :V®? en parties réelle et imaginaire.■Du théorème 2, on déduit :
T. FACK. THÉORIE ÉLÉMENTAIRE DE L"INTÉGRATION. 3 THÉORÈME 3. - Une applicationf :2®? ? est intégrable pour la mesure de Lebesgue sur2? si et seulement si l"application ( , ) f( cos , sin )ρ θ ρ θ ρ θ® est intégrable sur [[[], ,0 0 2π+¥ ´ pour la mesure d dρ ρ θ, et alors :
[ [ [ ], ,f(x,y)dxdy f( cos , sin ) d d20 0 2πρ θ ρ θ ρ ρ θ+¥ ´=∫∫ ∫∫?.
Démonstration. - L"application ( , ) (x,y)ρ θ® définie par x cosρ θ=, y sinρ θ= est un difféomorphisme de classe C¥ de l"ouvert ][][, ,0 0 2π+¥ ´ sur 2? privé du demi axe des réels positifs ou nuls {}D (x,y) x, y20 0= Î £ =?. Comme le Jacobien de cette application est égal à ρ, le théorème 2 implique le résultat si l"on remplace2? par D2-? et [[[], ,0 0 2π+¥ ´ par ][][, ,0 0 2π+¥ ´.
CommeD est négligeable pour la mesure de Lebesgue et que [[[]][[[, , , ,0 0 2π0 0 2π+¥ ´ - +¥ ´ est négligeable pour la mesure
d dρ ρ θ, le théorème 3 s"ensuit. ■ E XEMPLE. - Soit à déterminer, en fonction du réel α, la valeur de l"intégrale : x y R dxdyI(x y )2 2 2α2 2α+ £=+∫∫.
Solution.
- Par passage en coordonnées polaires, la fonction (x,y)(x y )2 2α1®+ est intégrable sur {}RD (x,y) x y R2 2 2 20= Î £ + £? si et seule- ment si la fonction ( , )2α1 2α1
ρρ θ ρ ρ-® = est intégrable sur [][],R ,0 0 2π´, c"est à dire si et seulement si α1<. Dans ce cas, on
a : R ( )x y R dxdyI d(x y ) ( )R 2 2 21 2α
2 2α2α10
π2π ρ ρ1α
Dans les autres cas, on a
Iα= +¥. ■
APPLICATION. - Soit à montrer que xe dx
2π20+¥
Solution.
- Posons xI e dx 20+¥
-=∫. On a, en vertu du théorème de Fubini : x y (x y )DI e dx e dy e dxdy
2 2 2 22
0 0+¥ +¥
où {}D (x,y) x , y20 0= Î ³ ³?. En utilisant les coordonnées po- laires, on obtient alors : CHAPITRE VI. THÉORÈME DU CHANGEMENT DE VARIABLE 4 (x y ) D u duI e dxdy e d d e d e ,π2 222
22ρ
0 02 2 2 40 0ρ ρ θ
d"où l"on déduit que Iπ2=. ■
2. - Démonstration du théorème 1.
Établissons tout d"abord que la démonstration du théorème 1 se réduit à prouver que l"on a, pour tout cube compactQ UÌ :
Q( (Q)) D( )(x)dxλ φ φ£∫.
L EMME 1. - Supposons que l"on ait, pour tout difféomorphisme :U Vφ® de classe C1 entre deux ouvertsU,V de n? et tout cube compact Q UÌ:
Q( (Q)) D( )(x)dxλ φ φ£∫.
Alors, pour tout difféomorphisme
:U Vφ® de classe C1 et toute fonction Lebesgue- mesurable positive []f :V ,0® +¥, la fonction (f )D( )φ φ? est Lebesgue-mesurable surU et on a :
V Uf(y)dy f( (x))D( )(x)dxφ φ=∫ ∫.Démonstration.
- PREMIÈRE ÉTAPE. Montrons, sous les hypothè- ses du lemme 1, que l"on a pour tout ouvertUΩÌ :
( )1 ( ( )) D( )(x)dxΩλ φ Ω φ£∫.A cet effet, notons que tout ouvert
UΩÌ est réunion d"une
suite croissante de parties nA qui sont chacune réunion d"un nom- bre fini de cubes compacts n,kQ dont les intérieurs sont deux à deux disjoints. De la relation n,kn,kQ( (Q )) D( )(x)dxλ φ φ£∫ on déduit alors : n,k nn k n,k n,kk kQA( (A )) ( (Q )) ( (Q )) D( )(x)dx
D( )(x)dx,λ φ λ φ λ φ φ
et donc : T. FACK. THÉORIE ÉLÉMENTAIRE DE L"INTÉGRATION. 5 nn n nAn n( ( )) ( (A )) lim ( (A )) lim D( )(x)dxD( )(x)dx.Ω
S ECONDE ÉTAPE. Montrons ensuite que l"on a, pour tout borélienB UÌ :
( )2 B( (B)) D( )(x)dxλ φ φ£∫. Si BD( )(x)dxφ= +¥∫, il n"y a rien à démontrer. Sinon, en ver- tu de la régularité de la mesure borélienneD( )(x)dxφ, il existe
pour tout ε0> un ouvert Ω vérifiant B UΩÌ Ìet : BD( )(x)dx ( ) D( )(x)dxΩφ1ε φ£ +∫ ∫.On en déduit, compte tenu de l"inégalité
( )1 :B( (B)) ( ( )) D( )(x)dx ( ) D( )(x)dxΩλ φ λ φ Ω φ1ε φ£ £ £ +∫ ∫,
d"où l"inégalité ( )2 en faisant tendre ε vers 0. T ROISIÈME ÉTAPE. Montrons que l"image (E)φ de tout ensembleLebesgue-mesurable
E UÌ est Lebesgue-mesurable et vérifie :
( )3 E( (E)) D( )(x)dxλ φ φ£∫.Puisque tout ensemble Lebesgue-mesurable
E UÌ est réunion
d"un borélien B UÌ et d"un ensemble négligeable N UÌ, il suffit de montrer que l"image parφ d"un ensemble négligeable est négli-
geable. Mais tout ensemble négligeable est inclus dans un borélien négligeable, de sorte qu"il suffit de montrer que l"image parφ d"un
borélien négligeable est négligeable, ce qui résulte immédiatement de ( )2. Q UATRIÈME ÉTAPE. Montrons que, pour toute fonction Lebesgue- mesurable positive []f :V ,0® +¥, la fonction (f )D( )φ φ? est Le- besgue-mesurable surU et vérifie :
( )4 V Uf(y)dy f( (x))D( )(x)dxφ φ£∫ ∫.Supposons que
[]f :V ,0® +¥ soit Lebesgue-mesurable. Pour tout réel α, l"ensemble {}E y V f(y)αα= Î ³ est alors Lebesgue- mesurable, ainsi donc que {}(E ) x U f( (x))1αφ φ α-= Î ³ en vertu
de la troisième étape appliquée à1φ-. La fonction fφ? est donc
Lebesgue-mesurable et, puisque
D( )φ est continue, (f )D( )φ φ?
CHAPITRE VI. THÉORÈME DU CHANGEMENT DE VARIABLE 6 est Lebesgue mesurable sur U. De l"inégalité ( )3, on déduit alors que : V Uf(y)dy f( (x))D( )(x)dxφ φ£∫ ∫ pour toute fonction Lebesgue-mesurable positive étagée[]f :V ,0® +¥. L"inégalité ( )4 pour toute fonction []f :V ,0® +¥ Lebesgue-mesurable positive résulte alors du théo-
rème de convergence monotone pour les intégrales supérieures, puisque f est limite d"une suite croissante de fonctions Lebesgue- mesurables positives étagées. F IN DE LA DÉMONSTRATION DU LEMME 1. Pour terminer, il suf- fit de montrer l"inégalité : V Uf(y)dy f( (x))D( )(x)dxφ φ³∫ ∫. Or, compte tenu de la relation D( )( (y)) D( )(y)1 1φ φ φ1- -´ =, cette dernière inégalité résulte de la quatrième étape appliquée à :V U1φ-® et à la fonction Lebesgue-mesurable positive x f( (x))D( )(x)φ φ®. ■ Ainsi, pour démontrer le théorème 1, il suffit de prouver que l"on a, pour tout cube compact