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Changement de variable

Marcel Deleze

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3 Exemples

Exemple 3.1

Z x

2p1xdx

Eectuons le changement de variable

x= 1t dx= (1)dt t= 1x Z x

2p1xdx=Z

(1t)2pt(1)dt=Z t52 + 2t32 t12 dt =27 t72 +45
t52 23
t32 +ct=1x =27 (1x)7=2+45 (1x)5=223 (1x)3=2+c= ...

Exemple 3.2

Z1(xu)2+k2dx

Eectuons le changement de variable

x=t+u dx= dt t=xu Z

1(xu)2+k2dx=Z1t

2+k2dt=1k

arctantk +ct=xu=1k arctanxuk +cChangement de variable1

Exemple 3.3

Z1p1x2dx

Eectuons le changement de variable

x= cos(t) dx=sin(t)dt t= arccos(x)

Pour la bijectivite, nous supposons1x1 et 0t

Z Z

1dt=t+ct=arccos(x)=arccos(x) +c

Exemple 3.4

Z b a1x

2+k2dx

Rappelons-nous d'abord que

R1x

2+1dx= arctan(x) +c. Dans le but de mettrek2

en evidence au denominateur, eectuons le changement de variable x=kt dx=kdt x=a$t=ak x=b$t=bk Z b a1x

2+k2dx=Z

bk ak

1(kt)2+k2kdt=1k

Z bk ak 1t

2+ 1dt

1k arctan(t)bk ak =1k arctanbk arctanak

Exemple 3.5

Z b a1(xu)2+k2dx

Eectuons le changement de variable

x=t+u dx= dt x=a$t=au x=b$t=bu Z b a1(xu)2+k2dx=Z bu au1t

2+k2dt=1k

arctantk bu au 1k arctanbuk arctanauk

Changement de variable2

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