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Résistance des Matériaux Torseur de cohésion
Torseur de cohésion
1. Hypothèses de la Rdm
1.1. Notion de poutre
Les notions abordées dans ce cours ne sont valables que pour des solides ayant une forme de poutre ;
c'est-à-dire un solide pour lequel : D A xxx G BPlan de symétrie de la
poutreLSection
droite Ligne moyenne Lm d il existe une ligne moyenne, continue, passant par les barycentres des sections du solide ; la longueur L est au moins 4 à 5 fois supérieure au diamètre D ; il n'y a pas de brusque variation de section (trous, épaulements) ; le solide admet un seul et même plan de symétrie pour les charges et la géométrie.Exemples de poutres :
Exemples de poutres ne satisfaisant pas l'hypothèse de symétrie :1.2. Hypothèses fondamentales Les hypothèses simplificatrices de la résistance des matériaux sont les suivantes :
Les matériaux sont homogènes et isotropes ;
homogènes : On admet que les matériaux ont la même composition, en tout point.isotropes : on admet que les matériaux ont, en un même point, les mêmes propriétés mécaniques
dans toutes les directions. L'isotropie est vérifiée pour les aciers non fibrés (Les aciers laminés et
forgés ne sont pas isotropes). Cette hypothèse n'est pas vérifiée pour le bois, les matériaux
composites, etc. Il n'y a pas de gauchissement des sections droites : les sections droites planes et perpendiculairesà la ligne moyenne (fibre neutre), restent planes et perpendiculaires à la ligne moyenne après
déformation ;Toutes les forces extérieures exercées sur la poutre sont contenues dans un plan de symétrie ;
On suppose que les déformations restent faibles par rapport aux dimensions de la poutre.Version du 5/12/2003 page 1/4
Résistance des Matériaux Torseur de cohésion2. Efforts intérieurs ou Torseur de cohésion
2.1. Définitions
Considérons une poutre P, en équilibre
sous l'effet d'actions mécaniques extérieures.Pour mettre en évidence les efforts
transmis par la matière au niveau de la sectionS, nous effectuons une coupure imaginaire
dans un plan perpendiculaire à la ligne moyenne. Elle sépare la poutre en deux tronçonsE1 et E2, tel que E=E1+E2.
A xxx G B SE1E2Coupure
fictive x y zIsolons le tronçon E1.
Les actions mécaniques que le tronçon E2 exerce sur le tronçon E1 à travers la section droite S sont
des actions mécaniques intérieures à la poutre P.Nous en ignorons à priori la nature, cependant la liaison entre E1 et E2 peut être modélisée par une
liaison complète. On peut donc modéliser l'action mécanique E2 sur E1 par un torseur appelé :
torseur de cohésion : Coh GR(E2E1)
M G (E2E1) GR(E1E2)
M G (E1E2) avec G sur la ligne moyenne.2.2. Détermination du torseur de cohésion
Pour ce faire, deux méthodes sont envisageables.2.2.1. Isolement du tronçon Gauche E1
Appliquons le PFS au tronçon E1 :
(E1E1) (EE1) (E2E1) 0D'où
Coh (EE1) GR(EE1)
M G (EE1)2.2.2. Isolement du tronçon Droit E2
Appliquons le PFS au tronçon E2 :
(E2E2) (EE2) (E1E2) 0 Soit (E1E2) (EE2)D'où
Coh (EE2) GR(EE2)
M G (EE2)2.3. Composantes du torseur de cohésion
Coh G N T y T z M t M fy M fzN: Effort Normal sur (G,x)
T y : Effort Tranchant sur (G,y) T z : Effort Tranchant sur (G,z) M t : Moment de Torsion sur (G,x) M fy : Moment de Flexion sur (G,y) M fz : Moment de Flexion sur (G,z)Version du 5/12/2003 page 2/4
Résistance des Matériaux Torseur de cohésion3. Nature des Sollicitations
En fonction de " l'allure » du torseur de cohésion, une typologie des sollicitations est établie.
On appelle sollicitation simple l'état de contrainte d'une poutre dont le torseur de cohésion ne
comporte qu'un élément.