[PDF] [PDF] Intégrale : méthode des trapèzes Algorithme - Lycée dAdultes

[PDF] Intégrale : méthode des trapèzes Algorithme - Lycée dAdultes

22 jan 2016 · Nous avons vu l'approche de l'aire sous une courbe à l'aide de la On fait ensuite un décalage de p pour calculer les aires des trapèzes 

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Le but de ce chapitre est de donner des méthodes permettant de calculer des valeurs approchées d'intégrales On remplace la courbe représentative de f, sur chaque segment de la sub Démonstration : l'aire du trapèze de base [Xi, Xi +1] 

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sous la courbe en un grand nombre de petits rectangles d'aire eIk et de les sommer En particulier, le temps de calcul des méthodes de quadrature est Intégrer cette même fonction avec les méthodes des trapèzes et de Simpson (on  

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au plus, compte tenu de la longueur), et la méthode des rectangles fait un peu graphique : la moyenne des aires des rectangles est aussi l'aire du trap`eze 

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La méthode la plus simple est la méthode des trapèzes : Elle consiste à assimiler l'aire sous la courbe à la somme des aires sous une succession de Utiliser la méthode de SIMPSON pour calculer la valeur de Γ(z) avec z = 2 ; 3,5 et 5,5

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contrôler), il est possible de mettre en place des méthodes de calculs de rectangles approchant l'aire sous la courbe (voir le cours pour la définition précise)

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dérivable et de dérivée seconde continue sur [a, b]) dont on cherche l'aire sur [a, b] Soit n > 0 un méthode des trapèzes consiste à remplacer f sur chaque intervalle [xi, xi+1] par Cette dernière intégrale peut se calculer à l'aide du changement de variable affine que l'aire des trapèzes tend vers l'aire de la courbe

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La méthode des rectangles Sur chacun des intervalles (pour ) on remplace l' aire sous la courbe par l'aire du rectangle dont les dimensions sont et , on a donc

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On découpe l'intervalle en 10 subdivisions de même longueur On approche l' aire sous la courbe par la somme des aires des rectangles a) Quelle est la largeur 

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DERNIÈRE IMPRESSION LE22 janvier 2016 à 15:28

Intégrale : méthode des trapèzes

Algorithme

1 Intégrale : méthode des trapèzes

1.1 La méthode

Nous avons vu l"approche de l"aire sous une courbe à l"aide de la méthode de Riemann qui consiste à découper l"aire sous la courbe en deux sériesde rectangles (l"une minorante et l"autre majorante). Les deux séries de rectangles tendent vers l"intégrale lorsque le découpage tend vers l"infini. On peut alorsprendre l"une des deux séries pour donner une approximation de cette aire. L"approximation sera d"autant meilleure que le découpage est important. On peut améliorer la vitesse de convergence de cette approximation en rempla- çant les rectangles par des trapèzes comme le montre la figure ci-dessous. aa+pa+2pb Cf

On= nbre de trapèzes

p= pas du découpage p=b-a n f(a)f(a+p) T1

Pour calculer l"aire du premier trapèze

T

1=(Grande base+Petite base)×hauteur

2=[f(a) +f(a+p)]×p2

On fait ensuite un décalage deppour calculer les aires des trapèzes suivants. L"approximation de l"aire sous la courbe est alors : b af(x)dx≈n∑ i=1T isomme des aires des trapèzes

PAUL MILAN1TERMINALE S

POUR EN SAVOIR PLUS

1.2 Algorithme

On initialiseSà zéro.

•À chaque boucle, on rajoute d"aire du trapèze :[f(A) +f(A+P)]P2 •On afficheS •On rentre dansY1la fonctionf.

Variables:I,NentiersA,B,Préels

ffonction

Entrées et initialisation

LireA,B,N

B-A

N→P

0→S

Traitement

pourIde 1 àNfaire

S+[f(A) +f(A+P)]P2→S

A+P→A

fin

Sorties: AfficherS

On teste le programme avec la fonctionY1définie parY1=?1-(x-1)2entre

0 et 2 représentant un demi-cercle de centre (1;0) et de rayon 1. Àcomparer avec

l"aire d"un demi-cercleπ

2=≈1,571.

n51020100

Sn1,4241,5191,5521,569

Vitesse de convergence: la méthode des trapèzes converge bien plus vite que la méthode des rectangles, comme on peut le constater sur le tableau suivant qui calcule l"aire sous la parabole d"équationY1=X2entre les abscisses 0 et 1 (valeur exacte 1 3). nTrapèzeRectangles

50,340,24

200,33380,3088

1000,33330,3384

Avec 20 itérations, la méthode des trapèzes approche la valeur exacte à 10-3,

PAUL MILAN2TERMINALE S

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