[PDF] [PDF] Méthodes dintégration numérique

sous la courbe en un grand nombre de petits rectangles d'aire eIk et de les sommer En particulier, le temps de calcul des méthodes de quadrature est Intégrer cette même fonction avec les méthodes des trapèzes et de Simpson (on  



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[PDF] Intégrale : méthode des trapèzes Algorithme - Lycée dAdultes

22 jan 2016 · Nous avons vu l'approche de l'aire sous une courbe à l'aide de la On fait ensuite un décalage de p pour calculer les aires des trapèzes 



[PDF] Fichier pdf

Le but de ce chapitre est de donner des méthodes permettant de calculer des valeurs approchées d'intégrales On remplace la courbe représentative de f, sur chaque segment de la sub Démonstration : l'aire du trapèze de base [Xi, Xi +1] 



[PDF] Méthodes dintégration numérique

sous la courbe en un grand nombre de petits rectangles d'aire eIk et de les sommer En particulier, le temps de calcul des méthodes de quadrature est Intégrer cette même fonction avec les méthodes des trapèzes et de Simpson (on  



[PDF] Leçon 84 : Calcul approché dintégrales

au plus, compte tenu de la longueur), et la méthode des rectangles fait un peu graphique : la moyenne des aires des rectangles est aussi l'aire du trap`eze 



[PDF] INTEGRATION NUMERIQUE - AC Nancy Metz

La méthode la plus simple est la méthode des trapèzes : Elle consiste à assimiler l'aire sous la courbe à la somme des aires sous une succession de Utiliser la méthode de SIMPSON pour calculer la valeur de Γ(z) avec z = 2 ; 3,5 et 5,5



[PDF] TP : Intégration numérique - Institut de Mathématiques de Toulouse

contrôler), il est possible de mettre en place des méthodes de calculs de rectangles approchant l'aire sous la courbe (voir le cours pour la définition précise)



[PDF] Méthode des trapèzes — Estimation de lerreur - Blogdemaths

dérivable et de dérivée seconde continue sur [a, b]) dont on cherche l'aire sur [a, b] Soit n > 0 un méthode des trapèzes consiste à remplacer f sur chaque intervalle [xi, xi+1] par Cette dernière intégrale peut se calculer à l'aide du changement de variable affine que l'aire des trapèzes tend vers l'aire de la courbe



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La méthode des rectangles Sur chacun des intervalles (pour ) on remplace l' aire sous la courbe par l'aire du rectangle dont les dimensions sont et , on a donc



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On découpe l'intervalle en 10 subdivisions de même longueur On approche l' aire sous la courbe par la somme des aires des rectangles a) Quelle est la largeur 

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Chapitre5

Méthodesd'intégrationnumérique

Lebut

Lebu tdecechapitre estd'abord erlecalc ulgénéraldel'intégraled 'unefonctionf(x)surundomai ne

finidéli mitépardesbornesfiniesaetb(lescasd esbornes infiniesn'est doncpascouvertic i): I= b a f(x)dx.(5.1)

Lesm otivations

Danscertain scastrèslimités,unetell eintégral epeutêtrecal culéeanalytiquement(àla main).Cep en-

dant,cen'estquetrès rar ementpossibl e,etlepl ussouventundes cassuivantsseprésente: longuesàévaluer -Cet teintégralen 'apasd'expressionanalytiqu e(parexem plelafon ctionerreur:Erf(x)= 2 x 0 e "x !2 dx Danstousce scas,on préfèreracalcu lernumériqu emen tlavaleurdel'intégraleI.

Lepri ncipe

L'idéeprincipalee stdetrouverdesmétho desquipermette ntdecalc ulerrapidementune valeurapproc hée

Idel' intégraleàcalculer:

I!I(5.2)

Commetoujour s,unprogrammenumériquen'in venter ien,etnefaitqueprocédertrè srapidementàuncalcul

quel'onpourrait enp rincipefaireàlamain .Uneméth odebienconnueconsis teparexem ple àdivis erl'aire

sousla courbeenu ngrandnombredepet its rectanglesd'ai re I k etdel essommer .Lerésult at I= k I k

estalor suneapproximati ondel 'intégraleI.Ce tteapproxima tionestd'autantmeilleurequelalargeurhdes

rectanglestendvers0,c'es tàdire:lim h$0 I=I.Ce tteméthodedi tedesrect anglesestunex emple parmi

d'autres.Nouslereverr ons,maisnousver ronsaussid' autresméthodes,plusgénéralesetpl usperformantes .

Pourpresqu etouteslesméthodes(s auflaméthodedeMonte -Carlo), l'intégralenumériqueestca lculéeà

partirdel'évaluatio ndel afonctionf(x)enunnom brede pointn+1distincts:f k =f(x k ),k"[0,n].Elle s'écritalors:

I=(b#a)

n k=0 w k f k (5.3) 33
UniversitéPaulSabatier2014-2 015CHAPITRE5.MÉ THODESD'INTÉGRATIONNUMÉRIQUE

Danscecas ,onparled eméthodesde quadrature.

Nousallonsvoir 4typesd eméthode sdi

érentes:

1.1-Lesmétho desdeNewto n-Cotessimples

1.2-Lesméth odesdeNewt on-Cotescomposites

1.3-Lesméth odes deGauss-Legendre

1.4-Lesmétho desdeMont e-Carlo

Performances

Lape rformanced'uneméthodesejuge encomparant

•lapré cisiondurésultat:Celle-cisecaractérise enesti mantl'erreur!entrel'approximati onetlavaleur

réelledel'intégrale : !=I#

I(5.4)

Lav aleurdel'erreurnep eutpasê trecalculéeexactemen tpuisqu'e ngénéral,onneconn aîtpasl'inté-

graleIquel'onche rch eàcalculer.Cependant,une majoratio npeutsouventêtree stiméeenétudiant

ledé veloppementensériedeTaylordelafonctionf(x).

•Larapid itéd'exécutionnécessairepouratteindr ecerésultat.D emanièregénérale,toutesles méthode s

peuventatteindredetrè sgrandesprécisions.Cependan t,let empsdecalcul augmenteaveclapréci- sion.Cetempsn'a ugm entepasdelamêm emanièrepourtouteslesméthodes sibienque certai nes s'avèrentpluse cacesque d'autres.Enpar ticulier,letempsde cal culdesméthodesdequadratureest proportionnelaunombredepointsoùlafo nctionf(x)estév aluée.

5.1LoisdeN ewton-Cotessi mples

Commenousall onslevoir,le sméthodesdeNewton- Cotessimplesneper mettentpas,àelles-seules, d'atteindredesprécisionssu santessurdesinterv all es[a,b]finisetneson tdonc jama isutiliséesda nsce

cas.Enr evanc he,ellesdeviennentprécisesl orsque|b#a|$0,etellesconstituentalorslabaseélémentaire

desmétho descompositesprésentéesdanslasectio nsuivant e.

5.1.1Princ ipe

Leprin cipegénéraledesméthodes deNewton-Cotessimplesestd 'approxim erlafonctionf(x)àinté-

grerpar unpolynômeP(x)!f(x).Sicetteapproximationestsu"sammentbonnealors,l'intégraledece polynôme I= b a

P(x)dx(5.5)

seraunebonneappr oxi mationdeI= b a valeurexactede I.Danscesméthodes,onchoisitdespolynômesdedegrépquicoïnc identavecf(x)enp+1

pointsdistincts ,espacésrégulièremententreles bornesaetb.Ces point ssontsituésauxposi tions:

{x k =a+kh,k"[0,p]}avech= b#a p (5.6)

Onaalors %k"[0,p]P(x

k )=f k =f(x k

Despolynôme sdedegrésdi

érentsdéfinisse ntdesméthodesdi

érentesauxperformances di

érentes.

Nousallonsvoir lesplusc ourantes,c 'estàd irelesméthodes d'ordreslesplusbas. 34
CHAPITRE5.MÉTHODES D'INTÉGR ATIONNUMÉRIQUEUniversit éPaulSabatier2014-2015

5.1.2Méth odedurectangle(p=0)

Cetteméthodeu tiliselepolynômedede gréleplusbas,àsavoir lepolyn ômeconstant: P 0 (x)=f(a)=f 0 .(5.7)

L'intégraleapproché e

I 0 b a P 0 (x)dxsecalc ulealorstrivial e- mentetdonne: I 0 =(b#a)f 0 (5.8)

Ils' agitdel'airedurec tangle .

Cetteintégral enumériquenécessiteuneuniq ueévaluationdelafonctionf(enx 0 =a)etreprésentedonc cequ' onpeutfairedepl usrapide.

L'erreurpeutêtrees timéeenutilisantlesd éveloppe mentsensériedeTa yloroulethéorè medesaccrois-

sementsfinisontrouv ealorspour h=b#a: &""[a,b]! 0 h 2 2 f (")c.a.d.|! 0 h 2 2 Sup [a,b] (|f |)(5.9)

Démonstration:Pourcalcul erl'erreur,onpeututilis erlethéorèmedesaccroisseme ntsfini s:!x"[a,b],#!"[a,b]

telque : f(x)=f(a)+(x$a)f Enremplaça ntdansl'expressiondel'intégrale etdel'erreur,ontrouve: "=I$ I b a (f(x)$P0(x))dx= b a (f(x)$f(a))dx b a (x$a)f (!)dx=f b"a 0 xdx (b$a) 2 2 f h 2 2 f L'erreur!n'estpasco nnuecarla valeurde""[a,b]resteindétermin ée.Cependant,onpeutlamajorer

parlaplusg randeval eurde ladérivéesurledoma ineconsidéré.Quelquesremar quessur cetteerreur :

-Cet teméthoded'i ntégrationestexactep ourtouteslesfonctionsfconstantes(danscecas! 0 =0 puisquequ'ellesv érifientf =0).Dans lecasplu sgén éralcettemé thodeestd'autant pluspréciseque lesvariationsd efsontfaibles( f petit). -Plusledomaine[a,b]estpetit ,plusl'erreurestfa ible.Cetteer reurdécroitenh 2 35
UniversitéPaulSabatier2014-2 015CHAPITRE5.MÉ THODESD'INTÉGRATIONNUMÉRIQUE

5.1.3Méth odedupointmilieu(p=0)

Cetteméthode utiliseégalementlepol ynômeconstantpour approximerlafonctionf.Cep endant,elleexploitemieuxle s symétriesduproblèmeenchoisissant lav aleurmilieu: P 0 !(x)=f a+b 2 =f 0 .(5.10)

L'intégraleapproch ée

I 0 b a P 0 (x)dxsecalcul ealorstrivi a- lementetdonne: I 0 !=(b#a)f 0 (5.11) Ils' agitdel'airedurect angle .Cetteméthodenécess iteun euniqueévaluationdelafonction f(enx 0

L'erreurpeutêtrees timéeenutilisantlesd éveloppe mentsensériedeT aylor,ouleth éorèmedesaccrois-

sementsfinis.Ontr ouvealorsp ourh=b#a: &""[a,b]! 0 h 3quotesdbs_dbs35.pdfusesText_40