sous la courbe en un grand nombre de petits rectangles d'aire eIk et de les sommer En particulier, le temps de calcul des méthodes de quadrature est Intégrer cette même fonction avec les méthodes des trapèzes et de Simpson (on
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[PDF] Intégrale : méthode des trapèzes Algorithme - Lycée dAdultes
22 jan 2016 · Nous avons vu l'approche de l'aire sous une courbe à l'aide de la On fait ensuite un décalage de p pour calculer les aires des trapèzes
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Le but de ce chapitre est de donner des méthodes permettant de calculer des valeurs approchées d'intégrales On remplace la courbe représentative de f, sur chaque segment de la sub Démonstration : l'aire du trapèze de base [Xi, Xi +1]
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sous la courbe en un grand nombre de petits rectangles d'aire eIk et de les sommer En particulier, le temps de calcul des méthodes de quadrature est Intégrer cette même fonction avec les méthodes des trapèzes et de Simpson (on
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au plus, compte tenu de la longueur), et la méthode des rectangles fait un peu graphique : la moyenne des aires des rectangles est aussi l'aire du trap`eze
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La méthode la plus simple est la méthode des trapèzes : Elle consiste à assimiler l'aire sous la courbe à la somme des aires sous une succession de Utiliser la méthode de SIMPSON pour calculer la valeur de Γ(z) avec z = 2 ; 3,5 et 5,5
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contrôler), il est possible de mettre en place des méthodes de calculs de rectangles approchant l'aire sous la courbe (voir le cours pour la définition précise)
[PDF] Méthode des trapèzes — Estimation de lerreur - Blogdemaths
dérivable et de dérivée seconde continue sur [a, b]) dont on cherche l'aire sur [a, b] Soit n > 0 un méthode des trapèzes consiste à remplacer f sur chaque intervalle [xi, xi+1] par Cette dernière intégrale peut se calculer à l'aide du changement de variable affine que l'aire des trapèzes tend vers l'aire de la courbe
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La méthode des rectangles Sur chacun des intervalles (pour ) on remplace l' aire sous la courbe par l'aire du rectangle dont les dimensions sont et , on a donc
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On découpe l'intervalle en 10 subdivisions de même longueur On approche l' aire sous la courbe par la somme des aires des rectangles a) Quelle est la largeur
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Chapitre5
Méthodesd'intégrationnumérique
LebutLebu tdecechapitre estd'abord erlecalc ulgénéraldel'intégraled 'unefonctionf(x)surundomai ne
finidéli mitépardesbornesfiniesaetb(lescasd esbornes infiniesn'est doncpascouvertic i): I= b a f(x)dx.(5.1)Lesm otivations
Danscertain scastrèslimités,unetell eintégral epeutêtrecal culéeanalytiquement(àla main).Cep en-
dant,cen'estquetrès rar ementpossibl e,etlepl ussouventundes cassuivantsseprésente: longuesàévaluer -Cet teintégralen 'apasd'expressionanalytiqu e(parexem plelafon ctionerreur:Erf(x)= 2 x 0 e "x !2 dx Danstousce scas,on préfèreracalcu lernumériqu emen tlavaleurdel'intégraleI.Lepri ncipe
L'idéeprincipalee stdetrouverdesmétho desquipermette ntdecalc ulerrapidementune valeurapproc hée
Idel' intégraleàcalculer:
I!I(5.2)
Commetoujour s,unprogrammenumériquen'in venter ien,etnefaitqueprocédertrè srapidementàuncalcul
quel'onpourrait enp rincipefaireàlamain .Uneméth odebienconnueconsis teparexem ple àdivis erl'aire
sousla courbeenu ngrandnombredepet its rectanglesd'ai re I k etdel essommer .Lerésult at I= k I kestalor suneapproximati ondel 'intégraleI.Ce tteapproxima tionestd'autantmeilleurequelalargeurhdes
rectanglestendvers0,c'es tàdire:lim h$0 I=I.Ce tteméthodedi tedesrect anglesestunex emple parmid'autres.Nouslereverr ons,maisnousver ronsaussid' autresméthodes,plusgénéralesetpl usperformantes .
Pourpresqu etouteslesméthodes(s auflaméthodedeMonte -Carlo), l'intégralenumériqueestca lculéeà
partirdel'évaluatio ndel afonctionf(x)enunnom brede pointn+1distincts:f k =f(x k ),k"[0,n].Elle s'écritalors:I=(b#a)
n k=0 w k f k (5.3) 33UniversitéPaulSabatier2014-2 015CHAPITRE5.MÉ THODESD'INTÉGRATIONNUMÉRIQUE
Danscecas ,onparled eméthodesde quadrature.
Nousallonsvoir 4typesd eméthode sdi
érentes:
1.1-Lesmétho desdeNewto n-Cotessimples
1.2-Lesméth odesdeNewt on-Cotescomposites
1.3-Lesméth odes deGauss-Legendre
1.4-Lesmétho desdeMont e-Carlo
Performances
Lape rformanced'uneméthodesejuge encomparant
•lapré cisiondurésultat:Celle-cisecaractérise enesti mantl'erreur!entrel'approximati onetlavaleur
réelledel'intégrale : !=I#I(5.4)
Lav aleurdel'erreurnep eutpasê trecalculéeexactemen tpuisqu'e ngénéral,onneconn aîtpasl'inté-
graleIquel'onche rch eàcalculer.Cependant,une majoratio npeutsouventêtree stiméeenétudiant
ledé veloppementensériedeTaylordelafonctionf(x).•Larapid itéd'exécutionnécessairepouratteindr ecerésultat.D emanièregénérale,toutesles méthode s
peuventatteindredetrè sgrandesprécisions.Cependan t,let empsdecalcul augmenteaveclapréci- sion.Cetempsn'a ugm entepasdelamêm emanièrepourtouteslesméthodes sibienque certai nes s'avèrentpluse cacesque d'autres.Enpar ticulier,letempsde cal culdesméthodesdequadratureest proportionnelaunombredepointsoùlafo nctionf(x)estév aluée.5.1LoisdeN ewton-Cotessi mples
Commenousall onslevoir,le sméthodesdeNewton- Cotessimplesneper mettentpas,àelles-seules, d'atteindredesprécisionssu santessurdesinterv all es[a,b]finisetneson tdonc jama isutiliséesda nscecas.Enr evanc he,ellesdeviennentprécisesl orsque|b#a|$0,etellesconstituentalorslabaseélémentaire
desmétho descompositesprésentéesdanslasectio nsuivant e.5.1.1Princ ipe
Leprin cipegénéraledesméthodes deNewton-Cotessimplesestd 'approxim erlafonctionf(x)àinté-
grerpar unpolynômeP(x)!f(x).Sicetteapproximationestsu"sammentbonnealors,l'intégraledece polynôme I= b aP(x)dx(5.5)
seraunebonneappr oxi mationdeI= b a valeurexactede I.Danscesméthodes,onchoisitdespolynômesdedegrépquicoïnc identavecf(x)enp+1pointsdistincts ,espacésrégulièremententreles bornesaetb.Ces point ssontsituésauxposi tions:
{x k =a+kh,k"[0,p]}avech= b#a p (5.6)Onaalors %k"[0,p]P(x
k )=f k =f(x kDespolynôme sdedegrésdi
érentsdéfinisse ntdesméthodesdi
érentesauxperformances di
érentes.
Nousallonsvoir lesplusc ourantes,c 'estàd irelesméthodes d'ordreslesplusbas. 34CHAPITRE5.MÉTHODES D'INTÉGR ATIONNUMÉRIQUEUniversit éPaulSabatier2014-2015
5.1.2Méth odedurectangle(p=0)
Cetteméthodeu tiliselepolynômedede gréleplusbas,àsavoir lepolyn ômeconstant: P 0 (x)=f(a)=f 0 .(5.7)L'intégraleapproché e
I 0 b a P 0 (x)dxsecalc ulealorstrivial e- mentetdonne: I 0 =(b#a)f 0 (5.8)Ils' agitdel'airedurec tangle .
Cetteintégral enumériquenécessiteuneuniq ueévaluationdelafonctionf(enx 0 =a)etreprésentedonc cequ' onpeutfairedepl usrapide.L'erreurpeutêtrees timéeenutilisantlesd éveloppe mentsensériedeTa yloroulethéorè medesaccrois-
sementsfinisontrouv ealorspour h=b#a: &""[a,b]! 0 h 2 2 f (")c.a.d.|! 0 h 2 2 Sup [a,b] (|f |)(5.9)Démonstration:Pourcalcul erl'erreur,onpeututilis erlethéorèmedesaccroisseme ntsfini s:!x"[a,b],#!"[a,b]
telque : f(x)=f(a)+(x$a)f Enremplaça ntdansl'expressiondel'intégrale etdel'erreur,ontrouve: "=I$ I b a (f(x)$P0(x))dx= b a (f(x)$f(a))dx b a (x$a)f (!)dx=f b"a 0 xdx (b$a) 2 2 f h 2 2 f L'erreur!n'estpasco nnuecarla valeurde""[a,b]resteindétermin ée.Cependant,onpeutlamajorerparlaplusg randeval eurde ladérivéesurledoma ineconsidéré.Quelquesremar quessur cetteerreur :
-Cet teméthoded'i ntégrationestexactep ourtouteslesfonctionsfconstantes(danscecas! 0 =0 puisquequ'ellesv érifientf =0).Dans lecasplu sgén éralcettemé thodeestd'autant pluspréciseque lesvariationsd efsontfaibles( f petit). -Plusledomaine[a,b]estpetit ,plusl'erreurestfa ible.Cetteer reurdécroitenh 2 35UniversitéPaulSabatier2014-2 015CHAPITRE5.MÉ THODESD'INTÉGRATIONNUMÉRIQUE
5.1.3Méth odedupointmilieu(p=0)
Cetteméthode utiliseégalementlepol ynômeconstantpour approximerlafonctionf.Cep endant,elleexploitemieuxle s symétriesduproblèmeenchoisissant lav aleurmilieu: P 0 !(x)=f a+b 2 =f 0 .(5.10)L'intégraleapproch ée
I 0 b a P 0 (x)dxsecalcul ealorstrivi a- lementetdonne: I 0 !=(b#a)f 0 (5.11) Ils' agitdel'airedurect angle .Cetteméthodenécess iteun euniqueévaluationdelafonction f(enx 0L'erreurpeutêtrees timéeenutilisantlesd éveloppe mentsensériedeT aylor,ouleth éorèmedesaccrois-
sementsfinis.Ontr ouvealorsp ourh=b#a: &""[a,b]! 0 h 3quotesdbs_dbs35.pdfusesText_40