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Tle ES Calcul intégral – Collège de Juilly – H Kerneïs 1 CALCUL unités correspond à l'aire sous la courbe sur l'intervalle [0 ; 1200] La fonction coût

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14 oct 2015 · Intégration L'aire sous la courbe L'intégrale de Riemann Propriétés de l' intégrale de Riemann MAT 1720 A : Calcul différentiel et intégral I

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Calcul d'aire et Calcul intégral : fonctions continues 1 Intégrale et calcul d'aire 1 1 Unité d'aire Soit Cf sa courbe sa courbe représentative dans un repère orthogonal f admet une infinité de primitives sous la forme F(x) + k, k ∈ R;

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Avant 2002, on y définissait l'intégrale comme différence entre deux valeurs d' une primitive On préf`ere ici une sorte de compromis, inspiré par mon texte [ AIP] Aires, intégrales et primitives, voir http l'intégrale c'est l'aire sous la courbe

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conforme si l'énergie consommée est inférieure à 20 J Cette énergie (en Joules) correspond à l'aire (en cm² dans ce repère) de la surface sous la courbe

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Interprétation géométrique d'une intégrale L'intégrale est égale à l'aire sous la courbe On travaille sur un intervalle I = [a ; b], a < b f est une fonction continue,

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1 1 Intégrale d'une fonction continue positive sur un intervalle [a ; b] l'une (Sn) égale à la somme des aires des rectangles situés sous la courbe et l'autre (Sn)

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CALCUL INTEGRAL

1. Aire sous une courbe

1.1. Unité d'aire dans un repère orthogonal

On considère

O;OI,OJ

un repère orthogonal. K est le point de coordonnées 1;1 dans ce repère. L'unité d'aire est l'aire du rectangle OIKJ.

Exemples :

i. L'aire du rectangle ABCD ci-dessus est de 2 unités d'aires.

OI = 2 cm et OJ = 3 cm, donc l'aire de ABCD est

2 2 3 = 12 cm

2 ii. Dans une entreprise de fabrication d'objets, le coût marginal varie par paliers. Le graphique ci-dessous représente ces variations en fonction du nombre d'unités déjà produites. Tle ES Calcul intégral - Collège de Juilly - H. Kerneïs 2 On admet que le coût total (en Euros) pour la fabrication de 1200 unités correspond à l'aire sous la courbe sur l'intervalle [0 ; 1200]. La fonction coût marginal est positive sur [0 ; 1200]. L'aire du domaine cherché (en gris) est, en unités d'aire :

4 2000

+3 500200 +2 1000500 +5 12001000 =3700. Donc le coût total de fabrication de 1200 unités est de 3700 .

1.2. Notion d'intégrale

Définition 1 : f est une fonction continue sur un intervalle ouvert I, a et b sont deux réels de I. De plus F est l'une des primitives de f. On appelle intégrale de f entre a et b le nombre Fb Fa

On note ce réel

fx dx ab

Remarques :

i. Ce nombre se lit " somme de a à b de fx dx » ou " intégrale de a à b de fx dx ». ii. Ce nombre ne dépend pas de la primitive choisie. En effet, avec les notations précédentes, les autres primitives de f sont de la forme Gx =Fx +k avec k un nombre réel. Et l'on remarque que Gb Ga =Fb Fa iii. Dans la pratique, pour calculer fx dx ab , on détermine une primitive F de f sur un intervalle contenant a et b, puis on écrit : fx dx ab =Fx ab =Fb Fa

Exemple :

x 2 dx 12 =x 3 3 12 =2 3 3 1 3 3 =7 3.

Propriété 1 :

i. fx dx aa =0. ii. fx dx ba =fx dx ab

Preuve : avec les notations précédentes...

i. fx dx aa =Fa Fa =0. ii. fx dx ba =Fa Fb =Fb Fa =fx dx ab Tle ES Calcul intégral - Collège de Juilly - H. Kerneïs 3

1.3. Intégrale et aire sous une courbe

Propriété 2 : admise...

f est une fonction continue et positive sur un intervalle I. a et b sont deux réels de I tels que a b. C est la courbe représentative de f dans un repère orthogonal. fx dx ab est l'aire, en unités d'aire, du domaine compris entre la courbe C, l'axe des abscisses et les droites d'équations x = a et x = b.

Remarques :

i. On dit aussi de manière moins rigoureuse que c'est l'aire sous la courbe C entre a et b. ii. On pourrait approcher l'aire sous la courbe en ajoutant les aire fx dx de tous les rectangles de dimensions dx (aussi petit que l'on veut) et fx Exemple : C est la courbe représentative de la fonction x1 x sur l'intervalle

0;+. On désigne par

st l'aire, en unités d'aire, sous cette courbe entre 1 et t. On a :

Si t 1,

st =dx x 1t =lnx 1t =lnt.

Si 0 < t 1,

st =dx x t1 =lnx t1 =lnt.

2. Valeur moyenne d'une fonction sur un intervalle

Définition 2 :

f est une fonction continue sur un intervalle I. a et b sont deux réels de I tels que a < b. La valeur moyenne de f sur l'intervalle [a ; b] est le réel : 1 ba fx dx ab Tle ES Calcul intégral - Collège de Juilly - H. Kerneïs 4 Interprétation géométrique : cas où f est positive sur [a ; b]. C est la courbe représentative de f dans un repère orthogonal. En unités d'aire : fx dx ab est l'aire sous cette courbe entre a et b ; et mba est l'aire du rectangle ABCD (en gris sur le dessin). Donc m, valeur moyenne de f sur [a ; b], est la " hauteur » du rectangle de base ba ayant la même aire que le domaine sous la courbe C entre a et b. Remarque : m a la même unité que la fonction f.

Exemples :

i. Le débit en m 3 /h d'une pompe à arrosage qui fonctionne en été de 6 heures à 20 heures, est modélisé par fx =5e

0,002x

où x est l'heure considérée (6 x 20). Une primitive F de f est : Fx =51

0,002e

0,002x

=2500e

0,002x

Le volume d'eau débité par cette pompe entre 6 heures et 20 heures est fx dx 620
=F20 F6

71,85 m

3 Le débit moyen de cette pompe entre 6 et 20 heures est égal à : 1 206
fx dx 620

5,13 m

3 /h. Ce nombre est la valeur moyenne de la fonction f, il est donc exprimé dans la même unité. ii. Dans une région où une épidémie commence à se propager, on constate que le nombre de malades contaminés t jours après le début de l'épidémie est M(t). Le nombre total de malades sur une période de 30 jours est Mt dt 030
Le nombre moyen de personnes contaminées par jour est 1 30
Mt dt 030
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3. Propriétés de l'intégrale

f et g sont des fonctions continues sur un intervalle I, a et b sont deux réels quelconques.

3.1. Linéarité

Théorème 1 :

i. fx +gx dx ab =fx dx ab +gx dx ab ii. kf x dx ab =kfx dx ab pour tout réel k.

Preuve :

i. Soient F et G des primitives respectives de f et g sur I. Alors F + G est une primitive de f + g sur I. (Voir chapitre sur les primitives.) Ainsi : fx +gx dx ab =Fx +Gx ab =Fb +Gb Fa +Ga =Fb Fa +Gb Ga =fx dx ab +gx dx ab ii. De manière analogue car kF est une primitive de kf sur I.

Exemple : Calculer

4t 2 +3e t dt 01

3.2. Positivité et ordre

Théorème 2 : a et b sont deux réels de I tels que a b.

Si pour tout x de [a ; b],

0, alors

fx dx ab 0. Preuve : F est une primitive de f sur I, alors pour tout x de I, F'x =fx . Or fx

0 sur [a ; b], donc F est une

fonction croissante sur [a ; b]. Ce qui implique que Fa Fb c'est à dire Fb Fa

0 et donc

fx dx ab 0. Théorème 3 : a et b sont deux réels de I tels que a b.

Si pour tout x de I,

fx gx , alors fx dx ab gx dx ab Tle ES Calcul intégral - Collège de Juilly - H. Kerneïs 6

Preuve : Pour tout x de I,

gx fx

0, donc

gx fx dx ab

0 c'est à dire

gx dx ab fx dx ab 0 et donc fx dx ab gx dx ab Exemple : La courbe représentative de la fonction xlnx est située en dessous de sa tagente au point d'abscisse 1 d'équation y = x - 1 ; cela signifie que pour tout x de 0;+, lnxx1. On a alors : lnxdx 12 x1 dx 12 avec x1 dx 12 =x 2 2 x 12 =...=1 2. On obtient doncquotesdbs_dbs35.pdfusesText_40

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