Calcul d'aire et Calcul intégral : fonctions continues 1 Intégrale et calcul d'aire 1 1 Unité d'aire Soit Cf sa courbe sa courbe représentative dans un repère orthogonal f admet une infinité de primitives sous la forme F(x) + k, k ∈ R;
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Calcul d'aire et Calcul intégral : fonctions continues 1 Intégrale et calcul d'aire 1 1 Unité d'aire Soit Cf sa courbe sa courbe représentative dans un repère orthogonal f admet une infinité de primitives sous la forme F(x) + k, k ∈ R;
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Avant 2002, on y définissait l'intégrale comme différence entre deux valeurs d' une primitive On préf`ere ici une sorte de compromis, inspiré par mon texte [ AIP] Aires, intégrales et primitives, voir http l'intégrale c'est l'aire sous la courbe
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conforme si l'énergie consommée est inférieure à 20 J Cette énergie (en Joules) correspond à l'aire (en cm² dans ce repère) de la surface sous la courbe
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Interprétation géométrique d'une intégrale L'intégrale est égale à l'aire sous la courbe On travaille sur un intervalle I = [a ; b], a < b f est une fonction continue,
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1 1 Intégrale d'une fonction continue positive sur un intervalle [a ; b] l'une (Sn) égale à la somme des aires des rectangles situés sous la courbe et l'autre (Sn)
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INH - ENIHP1 2006-2007Mathématiques
Calcul d"aire et Calcul intégral : fonctions continues1 Intégrale et calcul d"aire
1.1 Unité d"aire
Définition 1Soit un repère orthogonal(O,I,J). On appelle unité d"aire, UA, l"aire du rectangle
dont O, I et J forment 3 sommets.1.2 Calcul d"aire et intégrale
1.2.1 Fonction positive
Définition 2Soitfune fonction continue positive sur un intervalle[a,b] (a < b). SoitCfsa courbe représentative dans un repère orthogonal. L"intégrale deaàbde la fonctionf, notée?b af(x)dx, est définie par l"aire exprimée en unité d"aire du domaineDdélimité par : - les droites d"équationx=aetx=b, - l"axe des abscisses et, - la courbeCfOn note :?b
af(x)dx= aire (D) Exemple 1Calculer l"intégrale de -1 à 1 de la fonctionf(x) =⎷ 1-x2:0 1-1010 1-101
1.2.2 Fonction négative et de signe quelconque
Définition 3Soitfune fonction continue négative sur un intervalle[a,b],(a < b). SoitCfsa courbe représentative dans un repère orthogonal. L"intégrale deaàbde la fonctionf, notée?b
af(x)dx, est définie par l"opposé de l"aire exprimée en unité d"aire du domaineDdélimité par :
- les droites d"équationx=aetx=b, - l"axe des abscisses et, - la courbeCfOn note :?b
af(x)dx= - aire (D) (aire algébrique) cours intégration page 1 Exemple 2Calculer l"intégrale de 0 à 3 de la fonctionf(x) =x-4:0 1 2 3-101
-1 -2 -3 -4 -50 1 2 3-101
-1 -2 -3 -4 -5 Définition 4Soitfune fonction continue de signe quelconque sur un intervalle[a,b] (a < b).SoitCfsa courbe représentative dans un repère orthogonal. L"intégrale deaàbde la fonctionf,
notée?baf(x)dx, est définie comme la somme des aires algébriques des domaines définis à partir des
intervalles sur lesquelsf(x)garde un signe constant.On note :?b
af(x)dx= aire(D1)-aire(D2)+aire(D3)Remarque 1La notion d"intégrale se généralise à des fonctions continues par morceaux comme
l"aire algébrique. Exemple 3Calculer l"intégrale de 0 à 5 de la fonction en escalierfdéfinie par : -f(x) = 2si0≤x <2, -f(x) =-1si2≤x <4, -f(x) = 1si4≤x≤5