14 oct 2015 · Intégration L'aire sous la courbe L'intégrale de Riemann Propriétés de l' intégrale de Riemann MAT 1720 A : Calcul différentiel et intégral I
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[PDF] CALCUL INTEGRAL 1 Aire sous une courbe
Tle ES Calcul intégral – Collège de Juilly – H Kerneïs 1 CALCUL unités correspond à l'aire sous la courbe sur l'intervalle [0 ; 1200] La fonction coût
[PDF] MAT 1720 A : Calcul différentiel et intégral I
14 oct 2015 · Intégration L'aire sous la courbe L'intégrale de Riemann Propriétés de l' intégrale de Riemann MAT 1720 A : Calcul différentiel et intégral I
[PDF] Calcul daire et Calcul intégral - Mathématiques à Angers
Calcul d'aire et Calcul intégral : fonctions continues 1 Intégrale et calcul d'aire 1 1 Unité d'aire Soit Cf sa courbe sa courbe représentative dans un repère orthogonal f admet une infinité de primitives sous la forme F(x) + k, k ∈ R;
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Avant 2002, on y définissait l'intégrale comme différence entre deux valeurs d' une primitive On préf`ere ici une sorte de compromis, inspiré par mon texte [ AIP] Aires, intégrales et primitives, voir http l'intégrale c'est l'aire sous la courbe
[PDF] Intégrales, primitives, calculs daires - MSLP-Dijon
conforme si l'énergie consommée est inférieure à 20 J Cette énergie (en Joules) correspond à l'aire (en cm² dans ce repère) de la surface sous la courbe
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Interprétation géométrique d'une intégrale L'intégrale est égale à l'aire sous la courbe On travaille sur un intervalle I = [a ; b], a < b f est une fonction continue,
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1 1 Intégrale d'une fonction continue positive sur un intervalle [a ; b] l'une (Sn) égale à la somme des aires des rectangles situés sous la courbe et l'autre (Sn)
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033
=13 :Nous sommes sur la bonne voie!!
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MAT 1720 A :
Calcul différentiel
et intégral IIntégration
L"aire sous la
courbeL"intégrale de
Riemann
Propriétés de
l"intégrale deRiemannMAT 1720 A : Calcul différentiel et
intégral IPaul-Eugène Parent
Département de mathématiques et de statistiqueUniversité d"Ottawa
le 14 octobre 2015MAT 1720 A :
Calcul différentiel
et intégral IIntégration
L"aire sous la
courbeL"intégrale de
Riemann
Propriétés de
l"intégrale deRiemannAu menu aujourd"hui1Intégration
2L"aire sous la courbe
3L"intégrale de Riemann
4Propriétés de l"intégrale de Riemann
MAT 1720 A :
Calcul différentiel
et intégral IIntégration
L"aire sous la
courbeL"intégrale de
Riemann
Propriétés de
l"intégrale deRiemannLe théorème de Stokes
Voici le contenu d"un peu plus de deux cours de
mathématiques (beaucoup plus si vous comptez vos cours de physique et de génie) résumé en une ligne ...Théorème Z @Of=Z O df:La prochaine année sera consacrée à la compréhension de la notation et de la signification de cette ligne.MAT 1720 A :
Calcul différentiel
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courbeL"intégrale de
Riemann
Propriétés de
l"intégrale deRiemannMAT 1720 : notre cas particulier
Dans notre cas on étudiera le cas particulier suivant : f:DR!Rdifferentiable; df=f0;O= [a;b]D;
@O=fag [ fbg;et Z @Of=fjba=f(b)f(a).MAT 1720 A :
Calcul différentiel
et intégral IIntégration
L"aire sous la
courbeL"intégrale de
Riemann
Propriétés de
l"intégrale de RiemannThe théorème fundamental du calcul intégralDonc nous tenterons de comprendreThéorème
f(b)f(a) =Z [a;b]f0:L"objet d"étude devient donc Z [a;b]f0;qui devrait être un nombre! si l"on croit le théorème...MAT 1720 A :
Calcul différentiel
et intégral IIntégration
L"aire sous la
courbeL"intégrale de
Riemann
Propriétés de
l"intégrale de RiemannDans la littérature, ce nombre est noté classiquement Z b a f0(x)dx;Peut-on donner une interprétation à ce nombre?!? Réécrivons celui-ci d"une façon plus classique ...MAT 1720 A :
Calcul différentiel
et intégral IIntégration
L"aire sous la
courbeL"intégrale de
Riemann
Propriétés de
l"intégrale deRiemannPrimitives
Supposons qu"ils existent deux fonctionsF;f: [a;b]!R telles que1Fsoit continue sur[a;b]et différentiable sur]a;b[;et 2F0(x) =f(x)sur]a;b[.Définition
On dit alors queFest une primitivedef.On peut donc réécrire le théorème fondamental de la façon
suivanteMAT 1720 A :
Calcul différentiel
et intégral IIntégration
L"aire sous la
courbeL"intégrale de
Riemann
Propriétés de
l"intégrale deRiemannThéorème
SoientF;f: [a;b]!Rdeux fonctions telles queFsoit une primitive def.AlorsF(b)F(a) =Z
b aF0(x)dx=
Z b a f(x)dx:Deux questions naturelles surgissent à ce moment-ci : la première, qu"est-ce que signifie le nombre Z b a f(x)dx?MAT 1720 A :
Calcul différentiel
et intégral IIntégration
L"aire sous la
courbeL"intégrale de
Riemann
Propriétés de
l"intégrale deRiemannExemples élémentaires
... et la deuxième, sous quelles conditions une fonctionf admet-elle une primitive?Voici quelques exemples de primitives :1) Siy=xn,n=0;1;2;:::alors une primitive nous est donnée par F(x) =1n+1xn+1:2) Siy=sin(x)alors une primitive estG(x) =cos(x).3) Siy=1x2alors une primitive estH(x) =1x
.On reviendra au calcul de primitive un peu plus tard.MAT 1720 A :
Calcul différentiel
et intégral IIntégration
L"aire sous la
courbeL"intégrale de
Riemann
Propriétés de
l"intégrale deRiemannZ
b a f(x)dx Ce nombre est lié intimement à un très vieux problème :comment estimer l"aire d"une surface?Pour de simples objets géométriques tels les rectangles ou les
trapèzes, il est aisé de définir l"aire de leur surface.Par exempleA rec=bh:MAT 1720 A :
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L"aire sous la
courbeL"intégrale de
Riemann
Propriétés de
l"intégrale deRiemannA
Trap=(L+l)b2
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L"aire sous la
courbeL"intégrale de
Riemann
Propriétés de
l"intégrale deRiemannL"aire sous la courbe
Mais que faire dans la situation suivante?
MAT 1720 A :
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L"aire sous la
courbeL"intégrale de
Riemann
Propriétés de
l"intégrale deRiemannL"idée
Tentons d"approximer la surface à l"aide de rectangles de la façon suivante :On considère la fonctiony=x2sur l"intervalle[0;1].Puis on subdivise l"intervalle en quatre sous-intervalles de longueur x=1=4et on trace les rectangles suivants tel qu"indiqué sur la figure ci-dessousMAT 1720 A :
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L"aire sous la
courbeL"intégrale de
Riemann
Propriétés de
l"intégrale deRiemannUne sous-estimation
SoitAl"aire de la surface sous la courbe du graphe de la fonctiony=x2lorsquex2[0;1].Nous avons alors AR1+AR2+AR3A;où
AR1= x(14
)2;AR2= x(24
)2;AR3= x(34
)2.Alors x14 2 (12+22+32)A;c"est-à-dire 14 3 (12+22+32)est une sous-estimation deA.MAT 1720 A :
Calcul différentiel
et intégral IIntégration
L"aire sous la
courbeL"intégrale de
Riemann
Propriétés de
l"intégrale deRiemannUne surestimation
On peut maintenant procéder de la-même façon à l"aide d"une surestimationAAR1+AR2+AR3+AR4,oùAR1= x(14
)2;AR2= x(24
)2;AR3= x(34
)2;AR4= x(44
)2.MAT 1720 A :
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et intégral IIntégration
L"aire sous la
courbeL"intégrale de
Riemann
Propriétés de
l"intégrale deRiemannNous avons donc
Ax14 2 (12+22+32+42);c"est-à-dire, 14 3 (12+22+32)A14 3 (12+22+32+42):Intuitivement si l"on augmente le nombre de rectangles les deux approximations s"approchent de plus en plus deA.Donc au lieu de diviser[0;1]en quatre sous-intervalles, on divise [0;1]ennsous-intervalles de longueurx=1n . Alors ...MAT 1720 A :
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L"aire sous la
courbeL"intégrale de
Riemann
Propriétés de
l"intégrale deRiemannOn obtient la sous-estimationx1n
2 (12+22+32:::+ (n1)2)A;et la surestimation Ax1n 2 (12+22+32:::+n2):MAT 1720 A :
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et intégral IIntégration
L"aire sous la
courbeL"intégrale de
Riemann
Propriétés de
l"intégrale deRiemannEn prenant la limiten! 1
On se rappelle de la formule
12+22+:::+n2=n(n+1)(2n+1)6
:Alors 1n 3 (n1)n(2n1)6 A1n 3 n(n+1)(2n+1)6 :En prenant la limiten! 1nous obtenons d"une partlim n!113n+2n26n2=limn!11312n+16n2=1
3MAT 1720 A :
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L"aire sous la
courbeL"intégrale de
Riemann
Propriétés de
l"intégrale deRiemann...et d"autre partlim
n!11+3n+2n26n2=limn!113 +12n+16n2=1 3 :Conclusion: On a réussit à mettre en "sandwich" la valeur A,c"est-à-dire, les deux approximations tendant vers la-même valeur, forcentAvers cette valeur : A=13 :Le nombreAest notre candidat pour représenterZ 1 0 x2dx!MAT 1720 A :
Calcul différentiel
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L"aire sous la
courbeL"intégrale de
Riemann
Propriétés de
l"intégrale deRiemannTFCI
Si ce nombre est la bonne interprétation alors the ThéorèmeFondamental du Calcul Intégral devrait prédire ce nombre.Vérifions :Une primitive de la fonctionsy=x2estF(x) =x33
.Selon le TFCI nous avons Z 1 0 x2dx=F(1)F(0) =1 33033
=13 :Nous sommes sur la bonne voie!!