L'aire du rectangle ABCD ci-dessus est de 2 unités d'aires OI = 2 cm et OJ unités correspond à l'aire sous la courbe sur l'intervalle [0 ; 1200] La fonction coût
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L'aire du rectangle ABCD ci-dessus est de 2 unités d'aires OI = 2 cm et OJ unités correspond à l'aire sous la courbe sur l'intervalle [0 ; 1200] La fonction coût
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Dans un plan muni d'un repère orthonormal (unité graphique : 1 cm), on donne les c) En déduire l'aire de la partie d plan limité par la courbe (C), l'axe des
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Soit Cf sa courbe représentative dans un repère orthogonal L'intégrale de a à b de la fonction f, notée ∫ b a f(x)dx, est définie par l'aire exprimée en unité d'aire
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On veut déterminer l'aire de la surface hachurée sous la courbe a Donner une L'aire (en unité d'aire) de la surface ci-dessous est : Notation : Pour procéder
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Exercice 4 est la fonction définie sur [–1 ; 1] par et représentée par la courbe dans un repère orthonormal (unité graphique : 2 cm) Calculer l'aire sous la courbe
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AIRE SOUS UNE COURBE 1 Unité d'aire dans un repère orthogonal (O, L' aire du rectangle ABCD est de 4 unités d'aire, soit Aire de ABCD = 4 x 8 = 32 cm²
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soit P la courbe qui représente la fonction f définie sur Soit D le domaine situé sous la courbe C On choisit pour unité d'aire l'aire du carré OIKJ Le
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On appelle unité d'aire (notée en abrégé u a) l'unité de mesures des aires telle l'une (Sn) égale à la somme des aires des rectangles situés sous la courbe et
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Tle ES Calcul intégral - Collège de Juilly - H. Kerneïs 1
CALCUL INTEGRAL
1. Aire sous une courbe
1.1. Unité d'aire dans un repère orthogonal
On considère
O;OI,OJ
un repère orthogonal. K est le point de coordonnées 1;1 dans ce repère. L'unité d'aire est l'aire du rectangle OIKJ.Exemples :
i. L'aire du rectangle ABCD ci-dessus est de 2 unités d'aires.OI = 2 cm et OJ = 3 cm, donc l'aire de ABCD est
2 2 3 = 12 cm
2 ii. Dans une entreprise de fabrication d'objets, le coût marginal varie par paliers. Le graphique ci-dessous représente ces variations en fonction du nombre d'unités déjà produites. Tle ES Calcul intégral - Collège de Juilly - H. Kerneïs 2 On admet que le coût total (en Euros) pour la fabrication de 1200 unités correspond à l'aire sous la courbe sur l'intervalle [0 ; 1200]. La fonction coût marginal est positive sur [0 ; 1200]. L'aire du domaine cherché (en gris) est, en unités d'aire :4 2000
+3 500200 +2 1000500 +5 12001000 =3700. Donc le coût total de fabrication de 1200 unités est de 3700 .1.2. Notion d'intégrale
Définition 1 : f est une fonction continue sur un intervalle ouvert I, a et b sont deux réels de I. De plus F est l'une des primitives de f. On appelle intégrale de f entre a et b le nombre Fb FaOn note ce réel
fx dx abRemarques :
i. Ce nombre se lit " somme de a à b de fx dx » ou " intégrale de a à b de fx dx ». ii. Ce nombre ne dépend pas de la primitive choisie. En effet, avec les notations précédentes, les autres primitives de f sont de la forme Gx =Fx +k avec k un nombre réel. Et l'on remarque que Gb Ga =Fb Fa iii. Dans la pratique, pour calculer fx dx ab , on détermine une primitive F de f sur un intervalle contenant a et b, puis on écrit : fx dx ab =Fx ab =Fb FaExemple :
x 2 dx 12 =x 3 3 12 =2 3 3 1 3 3 =7 3.Propriété 1 :
i. fx dx aa =0. ii. fx dx ba =fx dx abPreuve : avec les notations précédentes...
i. fx dx aa =Fa Fa =0. ii. fx dx ba =Fa Fb =Fb Fa =fx dx ab Tle ES Calcul intégral - Collège de Juilly - H. Kerneïs 31.3. Intégrale et aire sous une courbe
Propriété 2 : admise...
f est une fonction continue et positive sur un intervalle I. a et b sont deux réels de I tels que a b. C est la courbe représentative de f dans un repère orthogonal. fx dx ab est l'aire, en unités d'aire, du domaine compris entre la courbe C, l'axe des abscisses et les droites d'équations x = a et x = b.Remarques :
i. On dit aussi de manière moins rigoureuse que c'est l'aire sous la courbe C entre a et b. ii. On pourrait approcher l'aire sous la courbe en ajoutant les aire fx dx de tous les rectangles de dimensions dx (aussi petit que l'on veut) et fx Exemple : C est la courbe représentative de la fonction x1 x sur l'intervalle0;+. On désigne par
st l'aire, en unités d'aire, sous cette courbe entre 1 et t. On a :Si t 1,
st =dx x 1t =lnx 1t =lnt.Si 0 < t 1,
st =dx x t1 =lnx t1 =lnt.2. Valeur moyenne d'une fonction sur un intervalle
Définition 2 :
f est une fonction continue sur un intervalle I. a et b sont deux réels de I tels que a < b. La valeur moyenne de f sur l'intervalle [a ; b] est le réel : 1 ba fx dx ab Tle ES Calcul intégral - Collège de Juilly - H. Kerneïs 4 Interprétation géométrique : cas où f est positive sur [a ; b]. C est la courbe représentative de f dans un repère orthogonal. En unités d'aire : fx dx ab est l'aire sous cette courbe entre a et b ; et mba est l'aire du rectangle ABCD (en gris sur le dessin). Donc m, valeur moyenne de f sur [a ; b], est la " hauteur » du rectangle de base ba ayant la même aire que le domaine sous la courbe C entre a et b. Remarque : m a la même unité que la fonction f.Exemples :
i. Le débit en m 3 /h d'une pompe à arrosage qui fonctionne en été de 6 heures à 20 heures, est modélisé par fx =5e0,002x
où x est l'heure considérée (6 x 20). Une primitive F de f est : Fx =510,002e
0,002x
=2500e0,002x
Le volume d'eau débité par cette pompe entre 6 heures et 20 heures est fx dx 620=F20 F6
71,85 m
3 Le débit moyen de cette pompe entre 6 et 20 heures est égal à : 1 206fx dx 620