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Chapitre 6Calcul intégral

1 Intégrale et aire

1.1 Intégrale d"une fonction continue positive sur un intervalle[a;b]

Définition:L"unité d"aire

SoitPun plan muni d"un repère orthogonal(O;~{; ~|).

SoientI,J, etKles points définis par :

¡!OI=~i;¡!OJ=~jet¡¡!OK=~i+~j

On appelleunité d"aire(notée en abrégé u.a) l"unité de mesures des aires telle que :

Aire(rectangleOIKJ)= 1 u.a.~~j

IJ K xy O

1 u.a.

Remarques :

²OIKJpeut-être un carré lorsque le repère(O;~{; ~|)est orthonormé.

²Si l"on a, par exemple,OI= 3cm etOJ=2 cm, alors une unité d"aire correspond à 6 cm2(1u:a:= 6cm2).

Dans tout le chapitre, le plan est muni d"un repère orthogonal(O;~{; ~|).

Définition:

Soient :

²aetbdeux réels aveca6b.

²fune fonction continue et positive sur l"intervalle[a;b]. On appelleintégrale deaàbdef, l"aire, exprimée en u.a., du domaineDsuivant :

D=fM(x;y)2Ptels quea6x6bet06y6f(x)g

(Dest le domaine délimité par la courbe def, l"axe des abscisses et les deux droites verticales d"équationsx=aetx=b)

On note cette quantité :

Z b a f(x)dx -1123456 -1 1 2 abC f D

Remarques :

²Dans l"écritureZ

b a

f(x)dx, la variablex(outou autre) est "muette"; elle peut-être remplacée par toute autre lettre.

On a aussi bien :

Z b a f(x)dx=Z b a f(t)dt=Z b a f(u)du. ²Le symboledxne joue aucun rôle pour le moment, si ce de préciser quelle est la variable.

1.2 Premiers exemples

On considère un repère orthonormal(O;~{; ~|)aveck~ik=k~jk= 1cm. Ainsi,1.u.a. = 1 cm2. a.

Cas d"une fonction constante et positive.-1123456

-1 1 2 abC f y=kk Sifest constante et positive égale àksur[a;b], alorsZ b a f(x)dx=k(b¡a). On a simplement appliqué la formule pour calculer l"aire du rectangle). b.

Cas d"une fonction affine positive-1123456

-1 1 2 abC f y=mx+p

Sifest affine positive sur[a;b], alorsZ

b a f(x)dxest l"aire du trapèze. c.

Cas d"une parabole

On a vu dans l"activité "aire sous une parabole" que cette aire est la limite commune de deux suites adjacentes :

l"une(Sn)égale à la somme des aires des rectangles situés sous la courbe et l"autre(S0n)égale à la somme des aires

des rectangles situés au dessus de la courbe. 1 1 y=x2 O

Dans l"activité, on a montré que :

8n>2,Sn=123n2

n¡1X k=0k

2=16(2

n¡1)(2n+1¡1)22net queS0n=123n2 nX k=1k

2=16(2

n+ 1)(2n+1+ 1)22n.

Or,8n>2,1

6 (2 n¡1)(2n+1¡1) 2 2n=1 6 2 nµ

1¡1

2

£2nµ

2¡1

2 2 2n=1 6

1¡µ1

2 n¸·

2¡µ1

2 n¸

Comme,limn!+1µ

1 2 n = 0,limn!+1Sn=2 6 =1 3

Alors,

Z 1 0 x2dx= =1 3 d. Cas d"une fonction en escalier (toujours supposée positive)a=a0a1a2a3a4a5=bl 0 l 1l 2 l 3 l 4 fest une fonction en escalier et positive sur[a;b].

Il s"agit d"une fonction constante égale à¸isur chaque intervalle]ai;ai+1[oùa=a0< a1< a2< ::: < an¡1<

a n=bet prenant n"importe quelle valeur enai.

Alors,Z

b a f(x)dx=n¡1X i=0¸ i(ai+1¡ai): c"est la somme des aires des rectangles de largeurai+1¡aiet de hauteur¸i. e.

On montre que l"on peut toujours calculer l"intégrale d"une fonction continue et positive sur[a;b]comme la limite

de deux suites adjacentes construites de la façon suivante : On subdivise l"intervalle[a;b]en2nintervalles tous de largeurb¡a 2 n. On définit alors deux suites de fonc- tions en escalier(sn)et(s0n)telles que,8x2[a;b],sn(x)6f(x)6s0n(x).

Les fonctionssnsont les fonctions en escalier dont les courbes sont situées sous celle defet les fonctionss0nsont

les fonctions en escalier dont les courbes sont situées au dessus de celle def. S

nest alors l"aire sous la courbe desn: c"est la somme des aires des rectangles situés sous la courbe def.

S

0nest alors l"aire sous la courbe des0n: c"est la somme des aires des rectangles situés au dessus de la courbe def.

Les suites(Sn)etS0n)sont alors adjacente et de limite communesZ b a f(x)dx. -5-4-3-2-11234 -1 1 2 3

1.3 Extension aux fonctions de signe quelconque sur un intervalle[a;b]

Définition:Cas d"une fonction négative

Soitfune fonction continue négative sur un intervalle[a;b]. L"intégrale deaàbdefest l"opposé de l"aire, exprimée en u.a., du domaineDsuivant :

D=fM(x;y)2Ptels quea6x6betf(x)6y60g

Cette quantité est notée

Z b a f(x)dx. Autrement dit, lorsquefest négative sur[a;b], on a : Z b a f(x)dx=¡Z b a jf(x)jdx

Exercice :

Montrer queZ

1 0 (¡2x¡2)dx=¡3. Définition:Cas d"une fonction de signe quelconque Soitfune fonction continue sur un intervalle[a;b]. SoitCsa courbe représentative.

SoitA1(resp.A2) l"aire de la partie du plan délimité parC, l"axe des abscisses et les deux droites verticales

d"équationx=aetx=bet située au dessus (resp. au dessous) de l"axe des abscisses.

L"intégrale deaàbdefest alorsZ

b a f(x)dx=A1¡A2

En d"autres termes,

Z b a f(x)dxse calcule en comptant positivement l"aire des domaines oùfest positive et négative- ment l"aire des domaines oùfest négative.

Exemples :

-1123456 -2 -1 1 Cf a bOA 1 A2

Exercice :

1.CalculerI=Z

5 2 (x¡3)dx, puis calculer l"aire du domaine hachuré.

2.CalculerZ

1 0p

1¡x2dx-112345

-4 -3 -2 -1 1 2 Cf O+

1.4 Valeur moyenne d"une fonction continue sur un intervalle[a;b]

Définition:

Soitfune fonction continue sur[a;b].

On appellevaleur moyennedefsur[a;b], le nombre réel¹défini par :

¹=1

b¡aZ b a f(x)dx

Interprétation graphique :

La valeur moyenne defcorrespond à la valeur de¹qu"il faut donner à la hauteur du rectangle de largeurb¡apour

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