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SecondeFonction inverse. Fonctions homographiquesAnnée scolaire

2012/2013

I)La fonction inverse :

1) Définition :

La fonction f qui à x associe 1x est définie sur ℝ* = ]-∞ ; 0[∪]0 ; +∞[. f est appelée la fonction inverse.

2) Variations :

Propriété :

La fonction inverse est strictement décroissante sur ]-∞ ; 0[ puis

également sur ]0 ; +∞[.

Tableau de variations :

x- ∞ 0+ ∞

Variations de

la fonction f Démonstration sur ]- ∞ ; 0[ :

Soient x et y dans ]-∞ ; 0[ tels que x < y

alors : 1 x > 1y Donc f est bien décroissante sur ]- ∞ ; 0[

On raisonne de même sur ]0 ; +∞[.

REMARQUE : (Attention !)

Il ne faut pas dire " f est strictement décroissante sur ]-∞ ; 0[∪]0 ; +∞[»

En effet : si on prend x = - 2 et y = 1

On a : x < y et comme

x = 1-2 et 1y = 1 d'où : 1x < 1y Le travail sur les variations se décompose en deux parties : sur]-∞ ; 0[ et sur ]0 ; +∞[

3) Représentation graphique :

La fonction inverse se représente graphiquement sous la forme d'une hyperbole. Cette courbe est constituée de deux " parties » : on dit deux arcs d'hyperbole.

Tableau de valeurs :

x-6-5-4-3-2-1123456 1 Cette hyperbole présente un centre de symétrie : le point O, origine du repère.

4) Application à la comparaison d'inverses :

Il est possible de démontrer certaines inégalités en utilisant la décroissance de la fonction inverse.

Exemple :

Soit A = 3 - √10 et B = 3 - √11Ranger par ordre croissant et sans calcul, les inverses des nombres A et B.

Solution : Comme √9 = 3, 3 - √10 < 0 et 3 - √11 < 0

De manière évidente, 3 -

√10 > 3 - √11 Or, la fonction inverse est strictement décroissante sur ]-∞ ; 0[, d'où :

1 A < 1 B

II) Fonctions homographiques :

1) Définition :

Soient a,b,c et d , quatre nombres réels tels que c≠ 0. On considère la fonction f définie par f(x) = ax+b cx+d pour x ≠ - d c

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