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26 jui 2015 · 4 Fonctions homographiques 6 4 1 Exemple 4 2 Représentation graphique d 'une fonction homographique n'a aucune valeur interdite

Autrement dit, l'abscisse du point de la courbe de f d'ordonnée nulle b) Résoudre l'équation suivante : 5x – 1 2x +7 = 1 Valeur interdite :

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(cette "symétrie" est visible dans le tableau de valeurs) On dit que la fonction a une valeur interdite : 0 Tableau de variations : On considère deux réels a et b

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La forme réduite d'une fonction homographique fait apparaitre au dénominateur l' expression x−k où k est la "valeur interdite" Elle permet de connaître le signe

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FONCTIONS DU SECOND DEGRÉ ET

HOMOGRAPHIQUES

Ph DEPRESLE

26 juin 2015

Table des matières

1 Fonction carré2

1.1 Fonctionx?→x2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.2 Fonctionx?→ax2, a?= 0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

2 Fonctions polynôme de degré 23

2.1 Définition. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

2.2 Variations. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

2.3 Exemple. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

2.4 Représentation graphique d"une fonction trinôme. . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

3 Fonction inverse5

3.1 Fonctionx?→1x. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

3.2 Fonctionx?→ax. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

4 Fonctions homographiques6

4.1 Exemple. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

4.2 Représentation graphique d"une fonction homographique. . . . . . . . . . . . . . 8

5 Les exercices9

6 Les exercices corrigés11

1 Chapitre : Fonctions du second degré et homographiques Seconde

1 Fonction carré

1.1 Fonctionx?→x2

Définition 1.La fonction carré est définie surRpar :f(x) =x2. Sa courbe représentative dans

un repère orthogonal est appelée parabole d"équationy=x2, de sommet le centreOdu repère. x-∞0 +∞ x2????0?? 123

1 2-1-2

Propriétés 1.La fonction carré est strictement décroissante sur]- ∞,0]et strictement crois-

sante sur[0,+∞[

Démonstration

Soientx1< x2?0

12-x22= (x1-x2)(x1+x2)

orx1+x2<0carx1etx2sont négatifs. etx1-x2<0carx1< x2 doncx12-x22est positif comme produit de deux négatifs doncx12?x22et la fonction carrée est décroissante sur]- ∞,0]. Même démonstration pour montrer que la fonction carrée est croissante sur[0,+∞[.

1.2 Fonctionx?→ax2, a?= 0

Sia >0

x-∞0 +∞ ax2? ???0?? O

Sia <0

x-∞0 +∞ ax2????0 O Définition 2.La courbe représentative defdans un repère orthogonal est appelée parabole d"équationy=ax2, de sommet le centreOdu repère. Sia >0on dit que la parabole est tournée vers le haut. Sia <0on dit que la parabole est tournée vers le bas.

Notes de cours: Ph DEPRESLEPage 2 sur

14 Chapitre : Fonctions du second degré et homographiques Seconde

2 Fonctions polynôme de degré 2

2.1 Définition

Définition 3.Une fonction polynôme du second degré (ou trinôme) est une fonction définie sur

Rparf:x?→ax2+bx+c,oùa,b,csont trois nombres réels tels quea?= 0.

Exemple :

f:x?→2x2+x

3+ 2etg:x?→ -x2+ 5 +⎷2sont des fonctions polynôme du second degré.

2.2 Variations

Propriétés 2.

Soitfune fonction polynôme du second degré définie surRparx?→ax2+bx+c,oùa?= 0. ?Sia >0, alors la fonctionfest d"abord décroissante puis croissante. ?Sia <0, alors la fonctionfest d"abord croissante puis décroissante.

Démonstration

Soitfune fonction polynôme du second degré définie surRparf:x?→ax2+bx+c,oùa?= 0.

Considérons les intervalles]- ∞;-b

2a]et[-b2a;+∞[.

Soientx1etx2deux nombres distincts de[-b

2a;+∞[avecx2> x1

?On ax1?-b

2aetx2?-b2adoncx1+x2?-ba

Ce qui prouve quex1+x2+b

a?0(1) ?Calculonsf(x2)-f(x1) f(x2)-f(x1) = (ax22+bx2+c)-(ax12+bx1+c) =a(x22-x12) +b(x2-x1) =a(x2+x1)(x2-x1) +b(x2-x1) = (x2-x1)(a(x2+x1) +b) =a(x2-x1)(x1+x2+b a)

On a :

-a >0car on est dans ce cas. -x2-x1>0car on a choisix2> x1 -x1+x2+b a>0d"après (1) Le produit de trois nombres positifs est positif doncf(x2)-f(x1)>0. On a supposéx2> x1et on af(x2)> f(x1)doncfest croissante sur[-b

2a;+∞[.

On démontre de la même manière quefest décroissante sur[∞;-b 2a[.

Étudions le cas oua <0:

Le raisonnement est le même.

Notes de cours: Ph DEPRESLEPage 3 sur14

Chapitre : Fonctions du second degré et homographiques Seconde

2.3 Exemple

Soitf:x?→2x2+ 4x-2. C"est une fonction polynôme du second degré. On peut écriref(x)sous la formef(x) = 2(x+ 1)2-4. fa pour minimum -4, atteint en -1. SoitPsa représentation graphique dans le repère orthogonal (O,#»i ,#»j).

M(x,y)?P??y=f(x)

??y= 2x2+ 4x-2 ??y= 2(x+ 1)2-4 ??y+ 4 = 2(x+ 1)2 ??Y= 2X2

On a posé

?X=x+ 1 et Y=y+ 4ce qui revient à changer de repère et à prendre pour nouveau repère (Ω,#»i ,#»j)avecΩ(-1,-4). Yy X x ?i i? j j ?O ?M

Dans(O,#»i ,#»j),Ma pour coordonnées(x,y)et dans(Ω,#»i ,#»j),Ma pour coordonnées(X,Y).

Pa pour équationY= 2X2dans(Ω,#»i ,#»j), c"est donc une parabole de sommetΩ(-1,-4)et tournée vers le haut.

Les variations defsont :

x-∞ -1 +∞ f(x)????-4?? et sa courbe est 12 -1 -2 -3 -41-1-2-3

Notes de cours: Ph DEPRESLEPage 4 sur14

Chapitre : Fonctions du second degré et homographiques Seconde

2.4 Représentation graphique d"une fonction trinôme

Soitf:x?→ax2+bx+c(a?= 0)une fonction trinôme.

Théorème 1.(admis)

Il existe deux réelsαetβtels que, pour toutxréel,f(x) =a(x-α)2+β.

Cette expression s"appelle forme canonique def.

Soitfune fonction polynôme du second degré dont forme canonique est :f(x) =a(x-α)2+β.

Sia >0f(x)?βpour toutx?R, etβest le minimum defatteint pourx=α. Sia <0f(x)?βpour toutx?R, etβest le maximum defatteint pourx=α. SoitPla représentation graphique defdans(O,#»i ,#»j).

M(x,y)?P??y=a(x-α)2+β

??y-β=a(x-α)2 ??Y=aX2 en posant ?X=x-α

Y=y-β

(X,Y)sont alors les coordonnées deMdans le nouveau repère(Ω,#»i ,#»j)oùΩest le point

de coordonnées(α,β)dans(O,#»i ,#»j).

Y=aX2est une équation de parabole, donc :

Pest une parabole de sommetΩ(α,β)et tournée vers le haut sia >0 Pest une parabole de sommetΩ(α,β)et tournée vers le bas sia <0

Les variations defsont alors :

Sia >0

x-∞α+∞ ax2+bx+c????β??

Sia <0

x-∞α+∞ ax2+bx+c????β Propriétés 3.La représentation graphique d"une fonction trinôme est uneparabole.

3 Fonction inverse

3.1 Fonctionx?→1

x Définition 4.La fonction inverse est définie surR\{0}par :f(x) =1 x. Sa courbe représentative dans un repère orthogonal est appelée hyperbole. Elle admetl"origineOdu repère comme centre de symétrie.

Notes de cours: Ph DEPRESLEPage 5 sur

14 Chapitre : Fonctions du second degré et homographiques Seconde x-∞0 +∞ 1 x O Propriétés 4.La fonction inverse est strictement décroissante sur]- ∞,0[et strictement décroissante sur]0,+∞[.

Démonstration

Soientx1< x2<0

1 x1-1x2=x2-x1x1x2>0carx2> x1etx1x2produit de deux négatifs est positif donc1x1>1x2. et la fonction inverse est décroissante sur]- ∞,0[. Même démonstration pour montrer que la fonction inverse estdécroissante sur]0,+∞[.

3.2 Fonctionx?→ax

Sia >0

x-∞0 +∞ a x O

Sia <0

x-∞0 +∞ a x O

4 Fonctions homographiques

Définition 5.Une fonction homographique est de la formex?→ax+b cx+d, c?= 0.

Notes de cours: Ph DEPRESLEPage 6 sur

14 Chapitre : Fonctions du second degré et homographiques Seconde

4.1 Exemple

Soitf:x?→2x+ 1

x-1surR\ {1}. C"est une fonction homographique. Sa forme réduite est f(x) = 2 +3 x-1. Ses variations ont été étudiées au chapitre précédent. x-∞ -1 +∞

2 +3x+ 1

SoitHsa représentation graphique dans le repère(O,#»i ,#»j).

M(x,y)?H??y=f(x)

??y=2x+ 1 x-1 ??y= 2 +3 x-1 ??y-2 =3 x-1 ??Y=3

XOn a posé

?X=x-1 et Y=y-2

Ce qui est revenu à changer de repère et à prendre pour nouveaurepère(Ω,#»i ,#»j)avecΩ(1,2).

YyX x ?i? i j? j O ?M

Dans ce dessin les coordonnées deMdans

(O,#»i ,#»j)sont (3,1) et les coordonnées de

Mdans(Ω,#»i ,#»j)sont (2,-1).

M(x,y)dans(O,#»i ,#»j)

M(X,Y)dans(Ω,#»i ,#»j)

Ha pour équationY=3

Xdans(Ω,#»i ,#»j), c"est donc une hyperbole dont le centre de symétrie

estΩ, et dont les asymptotes sont les axes du nouveau repère, c"est à dire les droites d"équation

x= 1ety= 2.

Notes de cours: Ph DEPRESLEPage 7 sur

14 Chapitre : Fonctions du second degré et homographiques Seconde 24
-2 -42 4 6-2-4-6Ω?

4.2 Représentation graphique d"une fonction homographique

Propriétés 5.toute fonction homographique se met sous forme réduitex?→A+B x-α, avec

B?= 0.

Dans les deux cas la représentation graphique est une hyperbole de centreΩ(α,A)et d"asymptotes

les droites d"équationx=αety=A x?→1 x-αest de la forme1uavecu:x?→x-αcroissante surR.

Ses variations sont donc :

SiB >0SiB <0

123456

-1 -2 -31 2 3 4 5 6 7-1-2-3-4123456 -1 -2 -31 2 3 4 5 6 7-1-2-3-4

Notes de cours: Ph DEPRESLEPage 8 sur14

Chapitre : Fonctions du second degré et homographiques Seconde

5 Les exercices

1. Donner le domaine de définition des fonctions suivantes :

a.f:x?→3x+ 1 x+ 2b.f:x?→5-⎷2-x2c.f:x?→3x+ 15x2+ 7

2. Soitxun nombre réel.

(a) L"affirmation " Six2?9alorsx?3» est-elle vraie? (b) Écrire une proposition équivalente à :x2?9.

3. Utiliser le graphique et seulement le graphique pour résoudre les équations et inéquations

suivantes : a.x2= 2x+ 3b.x2+x-2 = 0c.x2?2x+ 3d. x?x2?2x+ 3

123456789

-11 2 3-1-2-3

4. On considère la fonctionfdéfinie sur[-4;2]parf(x) =x2+x-2.

(a) Recopier et compléter, à l"aide de la calculatrice, le tableau de valeurs suivant : x-4-3-2-1012 f(x) (b) Tracer la courbe représentative defdans un repère orthonormé. (c) i. Tracer sur le graphique la représentation graphique de la fonctiongdéfinie par g(x) =x. ii. Résoudre graphiquement l"équationf(x) =g(x). iii. Retrouver les solutions de l"équationf(x) =g(x)par le calcul.

Notes de cours: Ph DEPRESLEPage 9 sur

14 Chapitre : Fonctions du second degré et homographiques Seconde 5.QCM

QuestionsRéponses

1.la fonctionx2est décroissante sur?]- ∞;0]

?R ?[0;+∞[

2.Sif(x) =x2le nombre 2 a?deux antécédents

?un antécédent ?aucun

3.Sif(x) =1xle nombre 2 a

?deux antécédents ?un antécédent ?aucun

4.Le tableau de variations def(x) =⎷2x2?n"a aucune valeur interdite

?a une valeur interdite ?a deux valeurs interdites

5.Sur l"intervalle]0;+∞[les représentations graphiques de

f(x) =-x2etg(x) =1 xont ?un point commun ?deux points communs ?aucun point commun

Notes de cours: Ph DEPRESLEPage 10 sur14

Chapitre : Fonctions du second degré et homographiques Seconde

6 Les exercices corrigés

1. a.f:x?→3x+ 1

x+ 2On doit avoirx+ 2?= 0soitx?=-2et doncDf=R\{-2}. b.f:x?→5-⎷ 2-x2

On doit avoir2-x2?0soitDf= [-⎷

2;⎷2].

c.f:x?→3x+ 1

5x2+ 7

On a5x2+ 7?= 0quelque soitx?RdoncDf=R.

2. Soitxun nombre réel.

(a) L"affirmation " Six2?9alorsx?3» est fausse. En effet six=-10on a100?9et -10?9 (b) Une proposition équivalente à :x2?9estx2-9?0soit après avoir fait un tableau de signex?]- ∞;-3]?[3;+∞[.

3. a.x2= 2x+ 3

quotesdbs_dbs35.pdfusesText_40

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FONCTIONS DU SECOND DEGRÉ ET

HOMOGRAPHIQUES

Ph DEPRESLE

26 juin 2015

Table des matières

1 Fonction carré2

1.1 Fonctionx?→x2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.2 Fonctionx?→ax2, a?= 0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

2 Fonctions polynôme de degré 23

2.1 Définition. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

2.2 Variations. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

2.3 Exemple. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

2.4 Représentation graphique d"une fonction trinôme. . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

3 Fonction inverse5

3.1 Fonctionx?→1x. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

3.2 Fonctionx?→ax. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

4 Fonctions homographiques6

4.1 Exemple. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

4.2 Représentation graphique d"une fonction homographique. . . . . . . . . . . . . . 8

5 Les exercices9

6 Les exercices corrigés11

1 Fonction carré

1.1 Fonctionx?→x2

1 2-1-2

Démonstration

Soientx1< x2?0

12-x22= (x1-x2)(x1+x2)

1.2 Fonctionx?→ax2, a?= 0

Sia >0

Sia <0

Notes de cours: Ph DEPRESLEPage 2 sur

2 Fonctions polynôme de degré 2

2.1 Définition

Exemple :

3+ 2etg:x?→ -x2+ 5 +⎷2sont des fonctions polynôme du second degré.

2.2 Variations

Propriétés 2.

Démonstration

Considérons les intervalles]- ∞;-b

2a]et[-b2a;+∞[.

Soientx1etx2deux nombres distincts de[-b

2a;+∞[avecx2> x1

2aetx2?-b2adoncx1+x2?-ba

Ce qui prouve quex1+x2+b

On a :

2a;+∞[.

Étudions le cas oua <0:

Le raisonnement est le même.

Notes de cours: Ph DEPRESLEPage 3 sur14

2.3 Exemple

M(x,y)?P??y=f(x)

On a posé

Les variations defsont :

Notes de cours: Ph DEPRESLEPage 4 sur14

2.4 Représentation graphique d"une fonction trinôme

Théorème 1.(admis)

Cette expression s"appelle forme canonique def.

M(x,y)?P??y=a(x-α)2+β

Y=y-β

Y=aX2est une équation de parabole, donc :

Les variations defsont alors :

Sia >0

Sia <0

3 Fonction inverse

3.1 Fonctionx?→1

Notes de cours: Ph DEPRESLEPage 5 sur

Démonstration

Soientx1< x2<0

3.2 Fonctionx?→ax

Sia >0

Sia <0

4 Fonctions homographiques

Notes de cours: Ph DEPRESLEPage 6 sur

4.1 Exemple

Soitf:x?→2x+ 1

2 +3x+ 1

M(x,y)?H??y=f(x)

XOn a posé

Dans ce dessin les coordonnées deMdans

Les variations defsont alors :