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Seconde Exercices sur les vecteurs Page 1
Définition, égalité de vecteurs ----------------------------------------------------------------------------------------------------
Exercice 1 : A vue d'oeil, dire s'il existe une translation qui transforme la figure (1) en la figure (2) .
Exercice 2
1) Tracer deux parallélogrammes ݂݀݁݃ et ݂݄݁݅ tels que les points ݀ , ݁ et ݅ ne soient pas alignés.
2) Démontrer que ݀݃
3) En déduire que ݀݅
Exercice 3
: Compléter le tableau suivant ( On pourra s'aider d'une figure ) :Langage habituel Langage vectoriel
݄ est l'image de ...... par..............................݃ est l'image de ݀ par la translation de vecteur ݂݁Ճ ........................
݀ݒݓ݈ est un parallélogramme ݓ݈Ճ൩ ............................ est un parallélogramme ݁݃Ճ൩݂݀Ճ
݀ est le milieu de ቛ݂݁ቜ .............................. est le milieu de ......... ݈݉Ճ൩݉݀Ճ
Exercice 4 :
1) Construire un parallélogramme ݂݀݁݃ et le point ݄ , symétrique du point ݀ par rapport au point ݂.
2) Démontrer que ݄݂݁݃ est un parallélogramme .
Exercice 5
Soit ݂݀݁ un triangle tel que ݀݁ ൩ Δ ݜݦ , ݂݁ ൩ Ε ݜݦ et ݂݀ ൩ Β ݜݦ .
1) a) Construire le point ݃ tel que ݀݃
b) Déterminer l'image de ݂ par la translation de vecteur ݁݀2) a) Construire le point ݄ symétrique de ݃ par rapport à ݀ .
b) Montrer que ݄݀ c) En déduire que ݁ est l'image de ݄ par la translation de vecteur ݂݀Sommes de vecteurs ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Exercice 6 :
On considère le triangle ABC ci -
dessous.1) a) Construire le point D tel que ݀݃
b) Démontrer que ݂݀Ճ൩ ݁݃Ճ .
2) a) Construire le point E tel que ݂݄
b) Démontrer que ݂݀Ճ൩ ݂݄Ճ .
3) En déduire l'image du point C
par la translation de vecteurExercice 7
On considère les quatre points ݀ , B ,
1) a) Construire le point E
, image du pointb) Démontrer que ݄݀Ճ൩ ݃݁Ճ .
2) a) Construire le point F tel que
b) Démontrer que ݃݁Ճ൩ ݂݅Ճ .
3) En déduire l'image du point E
par la translation de vecteurExercice 8 :
Sur la figure ci-contre,
construire les points D,E, F, définis par les égalités 1) 2)3)AD AB BC
AE AB AC
BF BA CA CB
dessous.݂݄Ճൢ ݂݀Ճ൩ 0Ճ .
par la translation de vecteur ݁݃Ճ .݂ et ݃ suivants :
, image du point ݀ par la translation de vecteur ݃݁Ճ .
par la translation de vecteur ݂݀Ճ . les points D,E, F, définis par les égalités :Exercice 9 :
ABCD est un parallélogramme,
M et N sont les milieux respectifs des côtés [ ]AD et [ ]BC. Représenter chacun de ces vecteurs. Que constate-t-on ? 1) 2)3) 4)AD MB NA AB MD CM
CM MA MD AN CM DN AD
Exercice 10 : Associer à chaque égalité vectorielle la phrase correspondante.1) A) est un parallélogramme
2) B) est un parallélogramme
3) C) est le milieu de
4) AD DB ABCDAB CD ABDC
DC DA DB D AB
AD BC=
???? ???? D) est un pa rallélogrammeADBCExercice 11 :
Partie 1 :
On considère un segment [ ]AB de milieu I.
a)Que peut-on dire du vecteur IA IB+??? ??? ?
b) Démontrer alors que pour tout point M, on a 2MA MB MI+ =???? ???? ????Partie 2 :
Application
On considère un triangle ABC et on considère A', B' et C' les milieux respectifs des segments [ ]BC, [ ]AC et [ ]AB a) Appliquer la formule établie à la partie 1) aux vecteurs ', ', 'AA BB CC???? ???? ????? b) En déduire que ' ' ' 0AA BB CC+ + =???? ???? ????? ? c)On note G le centre de gravité du triangle ABC. Déduire de b) que 0GA GB GC+ + =???? ???? ???? ?
Produit par un réel -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Exercice 12 :
Sur le quadrillage ci - dessous , construire les
points݃ , , ݅ et ݆ tels que :
Exercice 13
Sur le quadrillage ci - dessous, placer les
points݄ , , ݆ , ݇ , ݈ et ݉ tels que :
5 7 3 6 6 4 5 5 24 3 5AE AC DF CA AG AB
CH BA BI BD DJ CD
Exercice 14 :
Sur le quadrillage ci - dessous, construire les points ݃ , , ݅ et ݆ tels que :Colinéarité ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Exercice 15 :
On considère un quadrilatère quelconque ݂݀݁݃ . 1)Construire les points ݈ , , ݊ et milieux respectifs de ቛ݀݁ቜ , ቛ݂݁ቜ , ቛ݂݃ቜ et ቛ݃݀ቜ .
2) Montrer que ݈݉Ճ൩ 3)Exprimer ݊Ճ en fonction de ݂݀Ճ .
4) En déduire la nature du quadrilatère ݈݉݊ .Exercice 16 :
1) Construire un triangle
݂݀݁ tel que ݀݁ ൩ Εݜݦ , ݂݁ ൩ Δݜݦ et ݂݀ ൩ Γݜݦ .
2) Construire les points
݈ et ݉ tels que ݈݀Ճ൩ ݀݁Ճ et ݀݉Ճ൩ Β݂݀Ճ .
3) Montrer que
4) Exprimer
݈݂Ճ en fonction de ݀݁Ճ et ݂݀Ճ .
5) En déduire la position relative des droites
݁݉ቘ et ݈݂ቘ .Exercice 17 :
1) Construire un parallélogramme ݂݀݁݃ et placer les points ݄ et ݅ tels que :1 3 et
3 2CE CD BF BC= =???? ???? ???? ????
2) Montrer que
3) Exprimer
݀݅Ճ en fonction de ݀݁Ճ et ݀݃Ճ .
4) En déduire l'alignement des points
݀ , ݄ et ݅ .
Exercice 18 : Droite d'Euler d'un triangle
Soit ABC un triangle. On note A', B', C' les milieux respectifs des côtés [BC], [AC], [AB].On note G
le centre de gravité du triangle, on a vu à l'exercice 11, que G vérifiait 0.GA GB GC+ + =???? ???? ???? ?
On note O le centre du cercle circonscrit.
1) Faire une figure dans le cas où le triangle est quelconque (ni isocèle ni rectangle). 2) Soit H le point défini par ()1OH OA OB OC= + +???? ???? ???? ????. a) Etablir que : 2 ' 2 ' 2 'AH OA BH OB CH OC= = =???? ???? ???? ????? ???? ????? b) En déduire H appartient aux trois hauteurs du triangle ABC. c)Que représente alors le point H.
3) Déduire de la relation ()1 que 3OH OG=???? ????. Que peut-on alors en conclure pour les points A, B et C ?Note : Lorsque le triangle n'est pas équilatéral, les points O, G et H sont distincts et alignés. La droite ainsi formée
est appelée la droite d'Euler du triangle.quotesdbs_dbs5.pdfusesText_10