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Fonctions affines, inverse et carrée I Fonctions affines Propriété : Variations des fonctions affines Une fonction affine est définie par f : R −→ R x − → mx +p

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Définition : On dit qu'une fonction f est décroissante sur un intervalle I lorsqu'elle inverse le sens des inégalités sur cet intervalle Cela signifie que pour tous 

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Une série de tableaux de variations à connaître pour certaines fonctions usuelles : fonctions affines, carré, racine carrée, inverse, valeur absolue A Fonctions 

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On appelle fonction carrée la fonction f définie sur R par f(x) = x² Sa courbe est appelée parabole de sommet O Sa courbe admet pour axe de symétrie l'axe des 

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On appelle fonction affine toute fonction f définie sur IR par f(x)=mx+p où m et p sont des réels donnés La représentation graphique de la fonction carré

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en fonction de x Exemple : Si on note x la mesure d'un côté d'un carré, son périmètre est de 4xx =4x On peut donc poser f :x ↦ 4x A chaque mesure du côté 

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Définition: La fonction carrée est la fonction f définie sur par f(x) = x2 Variations: Les variations de la fonction affine sont données par le nombre a : Si a > 0 

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remarquer que les fonctions carré et inverse ne sont pas linéaires ✓ I Fonctions b s'appelle le terme constant de la fonction affine ou linéaire Exemple 1

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Fonctions affines, inverse et carrée

I Fonctions affines

Propriété :Variationsdes fonctions affines

Unefonction affineest définie parf:R-→R

x?-→mx+p. oùmetpsont des réels. ?mest appelécoefficient directeur. ?pest appeléordonnée à l"origine. ?Sim>0, elle eststrictementcroissantesurR. ?Sim<0, elle eststrictementdécroissantesurR. ?Sim=0, elle estconstantesur surR x mx+p m>0 -∞+∞x mx+p m<0-∞+∞ ?Sa courbe représentativeest unedroite. -4-3-2-1123 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 0 y=-2x+2y=1,5x+3

Remarques :

?Sim=0, la fonction est constante. ?Sip=0, la fonction est ditelinéaire.

Définition :Taux devariation

On appelletaux de variationd"une fonctionfentre deux nombresx1etx2le quotientf(x2)-f(x1)x2-x1.

Pour une fonction affine, il est contant quels que soientx1etx2. Il s"agit du coefficient directeurm.

Remarque :

affine donnée graphiquement ou passant par des points particuliers.

Exemple 1 :Étude d"une fonction affine

Soitfla fonction affine dont la courbe représentativepasse par les pointsA(5;10) etB(9;-2). Donner l"expression algébriquede cette fonction puis étudier ses variations et son signe.

Correction :

La fonctionfest affine donc son expression algébriqueest de la forme :f(x)=mx+p.

Il faut trouvermetp.

Pour trouver rapidement le coefficient directeurmon utilisela formule du taux de variation : m=f(x2)-f(x1) x2-x1oùx1=5 etf(x1)=10 et de mêmex2=9 etf(x2)=-2.

Ainsi,m=-2-10

9-5=-124=-3.(Voir ce calcul sur le graphique suivant.)

1Fonctions affines, inverse et carrée

Il reste à trouverp:

L"expression algébrique defestf(x)=-3x+p.

On sait que la courbe représentative defpasse par le pointA(5;10). Cela signifie quef(5)=10.

On obtient donc une équation : 10=-3×5+p.

10=-15+p

10+15=p

25=p
Ainsi, l"expression algébriquedefest :f(x)=-3x+25. Pour les variations, lecoefficient directeur est négatif doncfest décroissantesurR: x -3x+25 Pour le signe, il faut calculer l"antécédent de 0 : f(x)=0 -3x+25=0 -3x=-25 x=-25 -3=253. -1.1.2.3.4.5.6.7.8.9.10. -5. 5. 10. 15. 20. 25.
30.
0 4 -12A B Puisquefest décroissante, on obtient le tableau de signe suivant : x signe def(x)-∞253+∞ +0-

II Fonction inverse

Propriété :Variationsde la fonction inverse

Lafonction inverseest définie parf:R?-→R

x?-→1 x. ?Elle eststrictement décroissantesur ]-∞;0[. ?Elle eststrictement décroissantesur ]0;+∞[. x 1 x -∞0+∞ ?Elle est symétrique par rapport à l"origine du repère. ?Sa courbe représentatives"appelle unehyperbole. -5-4-3-2-11234 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 0

2Fonctions affines, inverse et carrée

Remarques :

1) La fonction inverse possède une valeur dite"interdite». La division par 0 étant impossible, 0 ne fait

pas partie de l"ensemble de définitionde la fonction inverse.

2) Autre formulationde la variation de la fonction inverse :

•Deux nombres négatifs et leurs inverses sont rangés dans l"ordre contraire.

Six1 x1>1x2 •Deux nombres positifs et leurs inverses sont rangés dans l"ordre contraire.

Si 0 x1>1x2

Définition :Fonction homographique

On appellefonction homographiquetoute fonctionhqui peut s"écrire comme quotient de fonctions affines. Soita,b,c,dquatre réels tels quead-bc?=0 etc?=0 :h(x)=ax+b cx+d.

Propriété :

qui annule son dénominateur dite "valeur interdite». Sa courbe représentativeest unehyperbolequi comporte deux branches disjointes. +2 +20 Exemple 2 :Donner le domaine de définition d"une fonction homographique Quel est le domaine de définitionde la fonctionfdéfinie parf(x)=5x+43x-7?

Correction :

Pour identifier ce domaine de définition, il suffit de trouver lavaleurinterdite.

Recherche de la valeur interdite : 3x-7=0?x=7

3 Le domaine de définitionde la fonctionfdéfinie parf(x)=5x+4

3x-7estR\?73?

III La fonction carrée

Propriété :Variationsde la fonction carrée

Lafonction carréeest définie parf:R-→R

x?-→x2. ?Elle eststrictement décroissantesur ]-∞;0[. ?Elle eststrictement croissantesur ]0;+∞[. ?Elle admet, surR, un minimum en 0. x x 2 -∞0+∞ 00 ?Elle est symétriquepar rapportà l"axe des ordonnées. ?Sa courbe représentatives"appelle uneparabole. -5-4-3-2-11234 -1 1 2 3 4 5 6 7 0

3Fonctions affines, inverse et carrée

Remarques :

1) La fonction carrée est toujourspositivesurR.

2) Autre formulationde la variation de la fonction carrée :

•Deux nombres négatifs et leurs carrés sont rangés dans l"ordre contraire.

Six1x22

•Deux nombres positifs et leurs carrés sont rangés dans le même ordre.

Si 0x22

Définitions :Fonction du second degré et parabole aveca?=0 est appeléefonction polynôme du second degréou, simplement, fonction du second degré. La courbe représentatived"une fonction du second degré estappelée une parabole. -1.1.2.3.4. -3. -2. -1. 1. 2. 3. 4. 0

Exemple 3 :Étude graphique

On veut résoudre l"inéquation-2x2+2x+4?0 dansR.

Soitfla fonction définie par :f(x)=-2x2+2x+4.

Lorsque l"on dispose de la courbe représentative de la fonction fci-dessous, on peut en déduire letableau de signes. x signe def(x)-∞-1 2+∞ -0+0- L"ensemble des solutionsde l"inéquation estS=[-1 ; 2].-2-112 -2 -1 1 2 3 4 5 0

1. Quel est le maximum de cette fonction? En quelle valeur est-il atteint?

2. Dresser le tableau de variation de cette fonction.

Remarques :

1) Toute fonctionfdu second degré définie surRparf(x)=ax2+bx+cpeut s"écrire de façon unique

sous la forme :f(x)=a(x-α)2+βoù

Cette forme est appelée laforme canonique.

2) Certainesfonctions du second degré peuvent s"écrire sous une forme appeléeforme factorisée.

Il existe deux types deformes factorisées:f(x)=a(x-x1)(x-x2) ouf(x)=a(x-x0)2. Soientf(x)=x2-2x-3,g(x)=(x-3)(x+1) eth(x)=(x-1)2-4. Montrer que ces trois fonctions sont identiques puis dresser le tableau de signes et de variations.

4Fonctions affines, inverse et carrée

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