La loi de Student `a n degrés de liberté est connue par maple sous le nom de studentst[n] Pour déterminer des intervalles de confiance pour une espérance, on a besoin des nombres tα tels que P(X > tα) = α, o`u X suit soit une loi normale, soit une loi de Student
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mations : intervalle de confiance d'une proportion, d'une moyenne si la variance qui ne suit plus une loi normale mais une loi dite de Student à n − 1 degrés
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Les bornes de l'intervalle de confiance IC dépendent de l'échantillon, elles sont Remarque : quand n → ∞ , on approxime la loi de Student par la loi normale
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Il s'agit dans ce module de trouver une estimation par intervalle de confiance d' un paramètre θ, c'est-à-dire Lorsque σ est inconnu, on utilise la loi de Student
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n(X − µ)/s : est un pivot utilisé pour construire un intervalle de confiance pour µ – tn−1,α/2 : dénote le quantile supérieur d'ordre α/2 de la loi de student t avec
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2 5 2 Loi de Student 3 4 Intervalles de confiance L'intervalle de confiance de la variance σ2 se calcule `a partir de l'échantillon de taille n par IC1−α(σ2)
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6 oct 2017 · intervalle de confiance de θ ou une estimation ensembliste de θ o`u tn-1;1-(α/ 2) est le quantile d'ordre 1 − (α/2) pour la loi de Student `a
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50 49 = 40 816 D'où sc ≃ 202 3 La variance de la population étant estimée, on utilise la loi de Student
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975 sont respectivement les quantiles 2 5 et 97 5 de la loi de Student `a n − 1 degrés de liberté (cf tdr21) Prenons le cas d'un échantillon de taille n = 10 Le
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Statistiques TP 2
Intervalles de confiance avec Maple7
1 Loi de Student
La loi de Student `andegr´es de libert´e est connue par maple sous le nom destudentst[n].Remarque : pour connaˆıtre les diff´erentes lois connues par maple, aller dans l"aide du package
stats(par exemple en tapant?stats;) puis dansdistributionsou taper directement?distribution;.G´en´erer des graphesG[i] de la densit´e de la loi de Student pour des degr´es de libert´e 5iallant
de 5 `a 50 par pas de 5, (faire une boucle) et les repr´esenter sur le mˆeme graphe que la densit´e de
la loi normale centr´ee r´eduite (faites celle-ci de couleur diff´erente en utilisant l"optioncolor=...de
plot; on peut prendrecolor=bluepar exemple). Rappel : pour tracer plusieurs graphesG1,G2,G3on doit utiliser la commandeplots[display](G1,G2,G3); Lorsqu"il y en an, on peut fabriquer une suite `a l"aide deseqpuis utiliser plots[display](seq(G[i],i= 1..n));Qu"est-ce qui est ici illustr´e ?
2 Intervalles de confiance
Pour d´eterminer des intervalles de confiance pour une esp´erance, on a besoin des nombrestαtels
queP(|X|> tα) =α, o`uXsuit soit une loi normale, soit une loi de Student. Pour les d´eterminer
avec maple, on va utiliser le fait que les lois de Student et la loi normale sont sym´etriques, et donc
fonction de r´epartition : la commande t:= statevalf[icdf,normald[0,1]](0.375);1. Ecrire une proc´edure qui prendra en entr´ee un ´echantillon d"une loi normale d"esp´erance et
de variance a priori inconnues, et un seuilα, et fournit en sortie un intervalle de confiance de niveauαpour l"esp´erance sous la forme d"une liste [a,b]. Remarques ´eventuellement importantes... : la commandedescribe[count](data) fournit le nombre d"observations de l"´echantillondata.La commandedescribe[standarddeviation[1]](data) fournit l"´ecart-type de l"´echantillon bas´e
sur l"estimateur non biais´e de la variance. Si on ne met pas le [1], il est bas´e sur l"estimateur
biais´e de la variance.Pour que la proc´edure fournisse [a,b] en sortie, il suffit de terminer la proc´edure par [a,b];
2. Ecrire une proc´edure qui prendra en entr´ee d"une part un ´echantillon d"une loi normale
d"esp´erance a priori inconnue, d"autre part l"´ecart-type de la loi (suppos´e connu donc) et le
niveauα, et fournit en sortie un intervalle de confiance de niveauαpour l"esp´erance sous la
forme d"une liste [a,b].3. Utiliser ces proc´edures pour faire le premier exercice du TD sur les intervalles de confiance.
4. G´en´erer un ´echantillon de taille 20 de la loi normale d"esp´erance 2.5 et d"´ecart-type 3. Com-
parer les deux intervalles de confiance pour l"esp´erance fournis par les deux proc´edures pr´ec´edentes au mˆeme niveauα= 0.05. Est-ce qu"ils contiennent l"esp´erance ?5. Avec le mˆeme ´echantillon, obtenir deux tableaux de taille 100IminetImaxdont la i`eme
valeur donne respectivement la valeur minimale et maximale de l"intervalle de confiance de niveau i100 , l"´ecart-type ´etant suppos´e connu. Obtenir deux autres tableaux pour les intervalles de confiance avec ´ecart-type inconnu. 16. Repr´esenter sur le mˆeme graphe les valeurs extrˆemales de l"intervalle de confiance en fonction
deα, ainsi qu"une droite horizontale pour la vraie esp´erance. Jusqu"`a quel seuilαl"intervalle
de confiance contient-il l"esp´erance ? (Une r´eponse graphique suffit)7. Lorsque le nombre d"observations est grand, on peut remplacer la loi de Student par la
loi normale centr´ee r´eduite. De plus, lorsqu"on n"a pas un ´echantillon d"une loi normale,
mais qu"on peut appliquer le th´eor`eme central limite, si on connaˆıt l"´ecart-type, la deuxi`eme
proc´edure s"applique ´egalement, et si on ne connaˆıt pas l"´ecart-type, on peut utiliser la
premi`ere proc´edure, (´eventuellement en rempla¸cant la loi de Student par une loi normale).
Faire une boucle qui g´en`ere 200 300-´echantillons de loi Γ(2,1) (elle s"appellegamma[2,1]),
fournit les 200 intervalles de confiance successifs au risque 0.1 pour l"esp´erance de cette loi (Remarque : on n"aura plus besoin des ´echantillons apr`es, donc ce n"est pas la peine de les conserver, on peut les r´eeffacer au fur et `a mesure), compte le nombre de foisNo`u l"intervalle en question contient l"esp´erance (qui est 2). Combien vaut ici N200Question subsidiaire : quelle est la loi deN?
8. Tracer les 20 premiers intervalles de confiance sous forme de barres verticales `a l"abscisse
correspondant au num´ero de l"´echantillon, ainsi qu"une droite horizontale correspondant `a la vraie esp´erance (qui est 2). Indications :plot([[a,b],[c,d]]) dessine un segment entre les points [a,b] et [c,d]. On peutdonc ici g´en´erer 21 plots diff´erents avec les 20 intervalles et la droite horizontale, puis les
repr´esenter sur le mˆeme graphique.9. Tracer les deux courbes donnant les deux valeurs extr´emales de l"intervalle de confiance en
fonction du num´ero de l"´echantillon (pour les 200 ´echantillons) ainsi qu"une droite horizontale
correspondant `a l"esp´erance.10. Lorsqu"on cherche `a estimer une probabilit´e, on cherche en fait `a estimer l"esp´erance d"une loi
de Bernoulli. Donc on peut aussi obtenir un intervalle de confiance en utilisant les proc´edurespr´ec´edentes. Cependant, dans le cas d"une loi de Bernoulli de param`etrep, l"´ecart-type est?p(1-p). Donc plutˆot que de l"estimer par l"estimateurˆsigma, on pr´ef`ere souvent l"estimer
par?ˆp(1-ˆp), plus simple `a obtenir.Ecrire une proc´edure qui prend en param`etres la taillende l"´echantillon de la loi de Bernoulli,
le nombre de 1 de l"´echantillon, le niveauα, et fournit un intervalle de confiance au risqueαpour l"esp´erance de la loi de Bernoulli. Faire l"exercice 5 de la feuille de TD, ainsi que les
premi`eres questions de l"exercice 8. 2quotesdbs_dbs35.pdfusesText_40