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mations : intervalle de confiance d'une proportion, d'une moyenne si la variance qui ne suit plus une loi normale mais une loi dite de Student à n − 1 degrés

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Les bornes de l'intervalle de confiance IC dépendent de l'échantillon, elles sont Remarque : quand n → ∞ , on approxime la loi de Student par la loi normale 

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Il s'agit dans ce module de trouver une estimation par intervalle de confiance d' un paramètre θ, c'est-à-dire Lorsque σ est inconnu, on utilise la loi de Student

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n(X − µ)/s : est un pivot utilisé pour construire un intervalle de confiance pour µ – tn−1,α/2 : dénote le quantile supérieur d'ordre α/2 de la loi de student t avec 

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2 5 2 Loi de Student 3 4 Intervalles de confiance L'intervalle de confiance de la variance σ2 se calcule `a partir de l'échantillon de taille n par IC1−α(σ2) 

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6 oct 2017 · intervalle de confiance de θ ou une estimation ensembliste de θ o`u tn-1;1-(α/ 2) est le quantile d'ordre 1 − (α/2) pour la loi de Student `a

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50 49 = 40 816 D'où sc ≃ 202 3 La variance de la population étant estimée, on utilise la loi de Student

[PDF] : tdr27 ————— Intervalles de Confiance —————

975 sont respectivement les quantiles 2 5 et 97 5 de la loi de Student `a n − 1 degrés de liberté (cf tdr21) Prenons le cas d'un échantillon de taille n = 10 Le  

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Fiche TD avec le logiciel:tdr27

Intervalles de Confiance

A.B. Dufour & T. Jombart

-----L"objectif est de repr´esenter les intervalles de confiance d"une moyenne, d"une proportion.

Table des mati`eres

1 Intervalle de confiance de la moyenne 2

1.1 Cas o`u la variance de la population est connue . . . . . . . . . .2

1.2 Cas o`u la variance de la population est inconnue . . . . . . . . .3

1.3 Exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4

2 Intervalle de confiance d"une proportion 4

2.1 Rappel de la d´efinition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4

2.2 Exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5

3 Exercices 5

3.1 Taille des basketteurs am´ericains . . . . . . . . . . . . . . . . . .5

3.2 Distance entre domiciles des ´epoux . . . . . . . . . . . . . . . . .6

3.3 Pied d"impulsion au saut en hauteur . . . . . . . . . . . . . . . .6

3.4 Pr´esence d"une personne handicap´ee dans l"entourage . . . . . . .7

1

A.B. Dufour & T. Jombart

1 Intervalle de confiance de la moyenne

SoitXune variable al´eatoire continue de moyenneμet de varianceσ2. Soitn observations deX. La moyenne de cet ´echantillon ¯xest distribu´ee autour deμ.

1.1 Cas o`u la variance de la population est connue

La dispersion autour de la moyenne est appel´ee erreur standard et est d´efinie par

σ⎷n

L"intervalle de confiance `a 95% est :

¯x+σ⎷n

?0.975 o`u?0.025et?0.975sont respectivement les quantiles 2.5% et 97.5% de la loi nor- male centr´ee r´eduite. Comme la loi normale est sym´etrique,?0.025=-?0.975et l"intervalle s"´ecrit :

¯x±σ⎷n

?0.975qnorm(0.025) [1] -1.959964 qnorm(0.975) [1] 1.959964

0.975est not´ee Φ-1(0.975) o`u Φ est la fonction de r´epartition de la loi normale

(pnorm).-3-2-10123 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

Loi Normale Centrée Réduite

valeurs quantilesLogiciel R version 2.6.1 (2007-11-26) - tdr27.rnw - Page 2/7 - Compil´e le 2008-01-27 Maintenance : S. Penel, URL :http://pbil.univ-lyon1.fr/R/fichestd/tdr27.pdf

A.B. Dufour & T. Jombart

1.2 Cas o`u la variance de la population est inconnue

Comme la variance de la population est inconnue, on l"estime `a partir de l"´echan- tillon. On a alors la relation suivante : c

σ2n

=s2n-1 La dispersion autour de la moyenne est alors d´efinie par s⎷n-1et l"intervalle de confiance `a 95% devient : o`ut0.025ett0.975sont respectivement les quantiles 2.5% et 97.5% de la loi de Student `an-1 degr´es de libert´e (cf tdr21). Prenons le cas d"un ´echantillon de taillen= 10. Le degr´e de libert´e associ´e `a la loi de Student est alorsn-1 = 9. Comme la loi de Student est sym´etrique,t0.025=-t0.975et l"intervalle s"´ecrit :

¯x±s⎷n-1t0.975qt(0.025, 9)

[1] -2.262157 qt(0.975, 9) [1] 2.262157-3-2-10123 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

Loi de Student à 9 ddl

valeurs quantilesLogiciel R version 2.6.1 (2007-11-26) - tdr27.rnw - Page 3/7 - Compil´e le 2008-01-27 Maintenance : S. Penel, URL :http://pbil.univ-lyon1.fr/R/fichestd/tdr27.pdf

A.B. Dufour & T. Jombart

1.3 Exemple

Dans un centre m´edico-sportif, on a mesur´e la taille de 71 footballeurs du d´epartement du Rhˆone. La moyenne est ¯x= 177cm pour une variances2=

31.98.

Les valeurs associ´ees aux quantiles 2.5% et 97.5% pour 70 ddl sont :qt(0.025, 70) [1] -1.994437 qt(0.975, 70) [1] 1.994437 L"intervalle de confiance `a 95% a pour borne inf´erieure :

177 + qt(0.025, 70) * sqrt(31.98/70)

[1] 175.6519 et pour borne sup´erieure :

177 + qt(0.975, 70) * sqrt(31.98/70)

[1] 178.3481 Pour ´eviter de r´ealiser les calculs `a la main, une fonction peut ˆetre cr´e´ee : icmoyenne <- function(emoy, evar, eeff, nivconf) { int <- (1 - nivconf)/2binf <- emoy + qt(int, eeff - 1) * sqrt(evar/eeff) bsup <- emoy + qt(1 - int, eeff - 1) * sqrt(evar/eeff) bornes <- c(binf, bsup) return(bornes)}icmoyenne(177, 31.98 * 71/70, 71, 0.95)[1] 175.6519 178.3481

2 Intervalle de confiance d"une proportion

Soit la variableF, proportion d"individus pr´esentant le caract`ereAdans une population. La proportion th´eorique dans la population est not´eep. La proportion observ´ee dans un ´echantillon de taillenest not´eef.

2.1 Rappel de la d´efinition

L"intervalle de confiance `a 95% est :

f+rf(1-f)n ?0.975 o`u?0.025et?0.975sont respectivement les quantiles 2.5% et 97.5% de la loi nor-

male centr´ee r´eduite.Logiciel R version 2.6.1 (2007-11-26) - tdr27.rnw - Page 4/7 - Compil´e le 2008-01-27

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2.2 Exemple

A la question "Etes-vous favorable `a l"implantation d"une nouvelle piscine sur le campus de la Doua?", 340 ´etudiants sur 400 ont r´epondu OUI. Les 400 ´etudiants interrog´es ont´et´e choisis au hasard sur le campus. La proportion obser- v´ee d"´etudiants favorables `a l"implantation d"une nouvelle piscine est :f= 0.85. L"estimation ponctuelle d"´etudiants favorables `a l"implantation d"une nouvelle piscine dans la population est ˆp= 0.85. L"intervalle de confiance au niveau 95% est :0.85 + qnorm(0.025) * sqrt(0.85 * (1 - 0.85)/400) [1] 0.8150076

0.85 + qnorm(0.975) * sqrt(0.85 * (1 - 0.85)/400)

[1] 0.8849924 Comme pr´ec´edemment, on peut ´ecrire une fonction permettant de calculer

la borne inf´erieure et la borne sup´erieure de l"intervalle.icproportion <- function(eprop, eeff, nivconf) {

int <- (1 - nivconf)/2binf <- eprop + qnorm(int) * sqrt(eprop * (1 - eprop)/eeff) bsup <- eprop + qnorm(1 - int) * sqrt(eprop * (1 - eprop)/eeff) bornes <- c(binf, bsup) return(bornes)}icproportion(340/400, 400, 0.95)[1] 0.8150076 0.8849924

3 Exercices

3.1 Taille des basketteurs am´ericains

On connait la taille (en m) de 12 basketteurs am´ericains (inMondial Basket, juillet-aoˆut 1994).taibask <- c(2.08, 2.01, 2.03, 2.1, 1.98, 2.08, 1.85, 2.03, 2.16,

2.01, 1.91, 1.88)a)Donner la moyenne, la variance estim´ees de la population `a partir de l"´echan-

tillon.b)Donner les intervalles de confiance de la moyenne de la population aux ni-

veaux de confiance 0.95 et 0.99.c)On suppose que la taille suit une loi normale dont les param`etres ont ´et´e es-

tim´es dans la premi`ere question. Quelle est la probabilit´e pour un basketteur

d"avoir une taille sup´erieure `a 2.05m.Logiciel R version 2.6.1 (2007-11-26) - tdr27.rnw - Page 5/7 - Compil´e le 2008-01-27

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3.2 Distance entre domiciles des ´epoux

Une enquˆete concernant les distances (en km) entre domiciles des ´epoux au

moment du mariage a donn´e, dans le Finist`ere, les r´esultats suivants.DistancesNombre de couples

0-2138

2-4384

4-6210

6-8103

8-1063

10-1228

12-1420

14-1619

16-1812

18-209

a)Repr´esenter graphiquement les donn´ees et commenter. b)Calculer la moyenne et la variance estim´ees de la distance entre les domiciles

des ´epoux au moment du mariage.c)Donner l"intervalle de confiance de la moyenne de la population au niveau

de confiance 0.95.135791113151719 0 50
100
150
200
250
300

3503.3 Pied d"impulsion au saut en hauteur

Dans un lyc´ee, le professeur d"´education physique a not´e le pied d"impulsion au saut en hauteur. 517 lyc´eens ont le pied gauche comme pied d"impulsion;

131 lyc´eens ont le pied droit comme pied d"impulsion.

En supposant que ces lyc´eens constituent un ´echantillon de la population fran- ¸caise, donner l"intervalle de confiance (niveau 0.95) de la proportion d"individus prenant l"appel du pied droit.icproportion(eprop, eeff, 0.95) Logiciel R version 2.6.1 (2007-11-26) - tdr27.rnw - Page 6/7 - Compil´e le 2008-01-27 Maintenance : S. Penel, URL :http://pbil.univ-lyon1.fr/R/fichestd/tdr27.pdf

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3.4 Pr´esence d"une personne handicap´ee dans l"entourage

Apr`es une enquˆete sur un ´echantillon de 45 ´etudiants de licence et maˆıtrise APA, on a constat´e que 29 d"entre eux avaient, dans leur entourage, une personne pr´esentant un handicap. Estimer, par intervalle de confiance au niveau 0.95, la

proportion d"´etudiants ayant, dans leur entourage, une personne handicap´ee.Logiciel R version 2.6.1 (2007-11-26) - tdr27.rnw - Page 7/7 - Compil´e le 2008-01-27

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