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Exercice 3 Écrire sous forme d'expression algébrique sin(Arccosx), cos(Arcsinx), sin(3 Arctanx) Exercice 4 Résoudre les équation suivantes : Arcsinx = Arcsin 2

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˘ Fonctions hyperboliques : sh(x), ch(x), th(x) * sinus hyperbolique : sh(x) = e x − e − 

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28 jan 2009 · sinh x (cotangente hyperbolique) Étudier les fonctions tanh et coth et les dessiner Solution 1 C'est un cas particulier du premier exercice, 

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L'objectif de cet exercice est de déterminer l'ensemble des fonctions réelles f définies sur R, 1) Väliser la définition des fonctions hyperboliques réciproques

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et Hyperboliques 9 octobre 2007 1 Exercices sur les fonctions circulaires Exercice 1 Soit x un nombre réel qui ne soit pas de la forme π 2 +kπ 2 ,k ∈ Z 1

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Correction exercice 3 1 tan( ) √1 + tan2( ) = sin( )

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On a vu dans l'exercice no 1 que pour tout réel x, th(2x) = 1) a) La fonction sh est continue et strictement croissante sur R La fonction sh réalise donc une 

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CORRECTION Exercices Chapitre 2 - Fonctions usuelles £ ¢ ¡ Exercice 2 1 ( ch x = 0, ∀x ∈ R), on obtient grâce `a l'injectivité de la tangente hyperbolique,

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Exercice 7 Les réels x et y étant liés par x = ln ( tan (y 2 + π 4 )) , calculer chx, shx et thx en fonction de y Indication Τ Correction Τ [000764]

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Justifier que la fonction sinus hyperbolique réalise une bijection de sur b On note argsh la bijection réciproque de sh Calculer argsh(1) puis établir que : ∀x 

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PCSI2

N. Véron-LMB-sept 2014

Exercices-Chapitre 3: Fonctions usuelles

Exercice corrigé - A savoir refaire

Calculs algébriques, inégalités, égalités

3.1 Trigonométrie hyperbolique: Soit a et b deux réels

a. Justifier que ch(a+b) = ch(a)ch(b) + sh(a)sh(b) puis que sh(a+b) = ch(a)sh(b) + sh(a)ch(b). b. Donner des formules pour ch(a-b), sh(a-b), ch(2a) et sh(a). c. Linéariser ch²(a) et sh²(a). d. Transformer ch(a) + ch(b) en produit.

3.2 Montrer les inégalités suivantes:

a. x+, ex x²1 x2 b. t > -1, tln(1 t) tt 1 c. x > 0, x x 11 11 e 1x x d. x*+, ]0,1[, (1+x) < 1 + x e. x]0;1[, xx (1-x) (1-x) 1 2

3.3 Démontrer les égalités suivantes, à retenir et à savoir prouver.

a) x[-1;1], arcsin(x) + arccos(x)2 b) x*, arctan(x) + arctan si x>021 x si x<02

3.4 Montrer que x 0, 1arctan(shx) arccoschx

3.5 Soit n, étudier l'existence et donner la valeur de n

x [0,1] sup x (1 x)

3.6 Montrer que : x, x²ch(x) 12

Notion de bijection

3.7 Une fonction hyperbolique réciproque

a. Justifier que la fonction sinus hyperbolique réalise une bijection de sur . b. On note argsh la bijection réciproque de sh. Calculer argsh(1) puis établir que : x, argsh(x) = ln(x+x² 1).

c. Etudier la régularité de argsh, donner sa dérivée, son tableau de variation et sa courbe

représentative.

3.8 Reprendre l'exercice précédent avec la restriction du cosinus hyperbolique à +.

3.9 Démontrer les égalités suivantes en précisant leur domaine de validité:

a. cos(arcsinx) = 1 x² b. sin(arccosx) = 1 x² c. tan(arcsinx) = x

1 x²

d. tan(arccosx) = 1 x² x e. cos(arctanx) = 1

1 x²

f. sin(arctanx) = x

1 x²

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3.10 Valeurs exactes: Calculer:

A = cos(arccos(1/3)), B = sin(2arccos(1/3)), C = arccos(cos(/3)) D = arccos(cos(-/3)), E = arccos(cos(10/3)), F = arccos(cos(/3 + k)) avec k.

3.11 Valeurs exactes, suite : Calculer :

= 1 7sin Arcsin( )2 25 , = arctan(1/2) + arctan(1/3) , = arctan(2) + arctan(3) = 1 12arctan( ) arctan( )3 7

3.12 Représenter les fonctions définie sur par f(x) = arcos(cosx) et g(x) = arcsin(sin(2x))

Equations, inéquations

3.13 Résoudre les équations suivantes :

a. ln|x-1| + ln|x+3| = ln|3x²-4x+1| b. ex -3e-x = 4 c. 2x+4 + 3x = 2x+2+3x+2 d. x xx ( x ) e. 3x + 4x = 5x f. x y 7 logx logy 1 g.

2 yxe e a

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