Exercice 7 Les réels x et y étant liés par x = ln ( tan (y 2 + π 4 )) , calculer chx, shx et thx en fonction de y Indication Τ Correction Τ [000764]
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Exercice 3 Écrire sous forme d'expression algébrique sin(Arccosx), cos(Arcsinx), sin(3 Arctanx) Exercice 4 Résoudre les équation suivantes : Arcsinx = Arcsin 2
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Exo7
Fonctions circulaires et hyperboliques inverse
1 Fonctions circulaires inverses
Exercice 1Une statue de hauteursest placée sur un piédestal de hauteurp. À quelle distance doit se placer un observateur
(dont la taille est supposée négligeable) pour voir la statue sous un angle maximal?Écrire sous forme d"expression algébrique
sin(Arccosx);cos(Arcsinx);sin(3Arctanx):Résoudre les équation suivantes :
Arcsinx=Arcsin25
+Arcsin35 ;Arccosx=2Arccos34Arctanx=2Arctan12
Vérifier
Arcsinx+Arccosx=p2
;Arctanx+Arctan1x =sgn(x)p2Démontrer les inégalités suivantes :
Arcsina Arctana>a1+a2sia>0:
2 Fonctions hyperboliques et hyperboliques inverses
Exercice 6Calculer :
limx!+¥ex(ch3xsh3x)et limx!+¥(xln(chx)): Les réelsxetyétant liés par
x=ln tany2 +p4 calculer chx;shxet thxen fonction dey. 1. Montrer qu"il n"e xistepas de fonction f:[1;+¥[!Rvérifiant : 8x2R;f(chx) =ex:
2. Déterminer toutes les fonctions f:R+!Rtelles que : 8x2R;f(ex) =chx:
Préciser le nombre de solutions.
3. Déterminer toutes les fonctions f:R+!Rtelles que : 8x2R;f(ex) =chx:
Préciser le nombre de solutions; y a t-il des solutions continues surR+? Résoudre l"équationxy=yxoùxetysont des entiers positifs non nuls. 2 Indication pourl"exer cice1 NFaire un dessin. Remarquer que maximiser l"angle d"observationarevient à maximiser tana. Puis calculer tanaen fonction de la
distance et étudier cette fonction.Indication pourl"exer cice2 NIlfaututiliserlesidentitéstrigonométriquesclassiques.Pourladernièreexpressioncommencerparcalculersin(Arctanx),cos(Arctanx).Indication pourl"exer cice3 NOn compose les équations par la bonne fonction, par exemple sinus pour la première.
Indication pour
l"exer cice 4 NFaire une étude de fonction.
sgn(x)est lafonction signe: elle vaut+1 six>0,1 six<0 (et 0 six=0).Indication pourl"exer cice5 NOn pourra étudier les fonctions définies par la différence des deux termes de chaque inégalité.
Indication pour
l"exer cice 6 NRéponses :
1. 34
2. ln 2.Indication pourl"exer cice7 NIl faut trouver chx=1cos(y), shx=tany, thx=siny.Indication pourl"exer cice8 N1.Re garderce qui se passe en deux v aleursopposées xetx.
2. Poser X=ex.Indication pourl"exer cice9 NMontrer que l"équationxy=yxest équivalente àlnxx =lnyy , puis étudier la fonctionx7!lnxx .3 Correction del"exer cice1 NOn notexla distance de l"observateur au pied de la statue. On noteal"angle d"observation de la statue seule, etbl"angle d"observation
du piedestal seul. Nous avons le deux identités : tan(a+b) =p+sx ;tanb=px En utilisante la relation tan(a+b) =tana+tanb1tanatanbon obtient tana=sxx 2+p(p+s):
Maintenant l"anglea2[0;p2
[et la fonction tan est croissante sur cet intervalle, donc maximiseraest équivalent à maximiser tana. Étu-
dions la fonctionf(x) =sxx 2+p(p+s)définie surx2[0;+¥[. Après calculsf0ne s"annule qu"enx0=pp(p+s)qui donne le maximum
def(en 0 et+¥l"angle est nul). Donc la distance optimale de vision estx0=pp(p+s). En complément on peut calculer l"angle maximuma0correspondant : par la relation tana0=f(x0) =s2 pp(p+s), on obtienta0= Arctan
s2 pp(p+s).Correction del"exer cice2 N1.sin 2y=1cos2ydonc siny=p1cos2y. Donc sinArccosx=p1cos2Arccosx=p1x2et comme Arccosx2
[0;p]on a sinArccosx= +p1x2. 2. De la même manière on trouv ela même formule pour : cos Arcsinx= +p1x2. 3. Commençons par calculer sin (Arctanx), cos(Arctanx). On utilise 1+tan2y=1cos 2y=11sin2yavecy=Arctanx. Cela donne
cos 2y=11+x2et sin2y=x21+x2. En étudiant les signes de sin(y), cos(y)nous obtenons cosy=1p1+x2et siny=xp1+x2.
Il ne reste plus qu"à linéariser sin(3y): sin(3y) =3sinycos2ysin3y, ce qui s"écrit aussi sin(3y) =4sinycos2ysiny. Ces
formules s"obtiennent à la main en écrivant d"abord sin(3y) =sin(2y+y) =sin(2y)cos(y)+. Ou alors à l"aide des nombres
complexes et de la formule de Moivre en développant cos(3y)+isin(3y) = (cosy+isiny)3=cos3y+3icos2ysiny+puis
identifiants les parties imaginaires. Maintenant
sin(3Arctanx) =sin(3y) =4sinycos2ysiny=4x 1+x23=2xp1+x2:Correction del"exer cice3 N1.En prenantlesinusdel"équationArcsinx=Arcsin25
+Arcsin35 onobtientx=sin(Arcsin25 +Arcsin35 ),doncx=25 cosArcsin35 35
cosArcsin25 . En utilisant la formule cosArcsinx= +p1x2. On obtientx=25 45
+35
q2125 =825 +3p2125 2. En prenantlecosinusdel"équationArccosx=2Arccos34 onobtientx=cos(2Arccos34 )onutiliselaformulecos2u=2cos2u 1 et on arrive à :x=2(34
)21=18 3. En prenant la tangente et à l"aide de tan (a+b) =on obtient :x=tan(2Arctan12 ) =43 .Correction del"exer cice4 N1.Soit fla fonction sur[1;1]définie parf(x) =Arcsinx+Arccosxalorsf0(x) =1p1x2+1p1x2=0 pour chaquex2]1;1[;
doncfest une fonction constante sur l"intervalle[1;1](car continue aux extrémités). Orf(0) =p2 donc pour toutx2[1;1], f(x) =p2 2. Soit g(x) =Arctanx+Arctan1x
, la fonction est définie sur]¥;0[et sur]0;+¥[. On ag0(x) =11+x2+1x 211+1x
2=0 doncgest
constante sur chacun de ses intervalles de définition.g(x) =c1sur]¥;0[etg(x) =c2sur]0;+¥[. En calculantg(1)etg(1)
on obtientc1=p2 etc2= +p2 .Correction del"exer cice5 N1.Soit f(a) =Arcsinaap1a2sur]0;1[. Alorsf0(a) =1p1a21p1a2(1a2)=1p1a2a21a2doncf0(a)0. Ainsifest stric-
tement décroissante etf(0) =0 doncf(a)<0 pout touta2]0;1[. 2. Si g(a) =Arctanaa1+a2alorsg0(a) =11+a21a2(1+a2)2=2a2(1+a2)2>0. Doncgest strictement croissante etg(0) =0 doncgest
strictement positive sur]0;+¥[. 4 Correction del"exer cice6 N1.P arla formule du binôme de Ne wtonnous a vonsch 3x=ex+ex2
3=18quotesdbs_dbs7.pdfusesText_5
Arctana>a1+a2sia>0:
2 Fonctions hyperboliques et hyperboliques inverses
Exercice 6Calculer :
limx!+¥ex(ch3xsh3x)et limx!+¥(xln(chx)):Les réelsxetyétant liés par
x=ln tany2 +p4 calculer chx;shxet thxen fonction dey. 1. Montrer qu"il n"e xistepas de fonction f:[1;+¥[!Rvérifiant :8x2R;f(chx) =ex:
2. Déterminer toutes les fonctions f:R+!Rtelles que :8x2R;f(ex) =chx:
Préciser le nombre de solutions.
3. Déterminer toutes les fonctions f:R+!Rtelles que :8x2R;f(ex) =chx:
Préciser le nombre de solutions; y a t-il des solutions continues surR+? Résoudre l"équationxy=yxoùxetysont des entiers positifs non nuls. 2Indication pourl"exer cice1 NFaire un dessin. Remarquer que maximiser l"angle d"observationarevient à maximiser tana. Puis calculer tanaen fonction de la
distance et étudier cette fonction.Indication pourl"exer cice2 NIlfaututiliserlesidentitéstrigonométriquesclassiques.Pourladernièreexpressioncommencerparcalculersin(Arctanx),cos(Arctanx).Indication pourl"exer cice3 NOn compose les équations par la bonne fonction, par exemple sinus pour la première.
Indication pour
l"exer cice4 NFaire une étude de fonction.
sgn(x)est lafonction signe: elle vaut+1 six>0,1 six<0 (et 0 six=0).Indication pourl"exer cice5 NOn pourra étudier les fonctions définies par la différence des deux termes de chaque inégalité.
Indication pour
l"exer cice6 NRéponses :
1. 342.
ln 2.Indication pourl"exer cice7 NIl faut trouver chx=1cos(y), shx=tany, thx=siny.Indication pourl"exer cice8 N1.Re garderce qui se passe en deux v aleursopposées xetx.
2. Poser X=ex.Indication pourl"exer cice9 NMontrer que l"équationxy=yxest équivalente àlnxx =lnyy , puis étudier la fonctionx7!lnxx .3Correction del"exer cice1 NOn notexla distance de l"observateur au pied de la statue. On noteal"angle d"observation de la statue seule, etbl"angle d"observation
du piedestal seul. Nous avons le deux identités : tan(a+b) =p+sx ;tanb=px En utilisante la relation tan(a+b) =tana+tanb1tanatanbon obtient tana=sxx2+p(p+s):
Maintenant l"anglea2[0;p2
[et la fonction tan est croissante sur cet intervalle, donc maximiseraest équivalent à maximiser tana. Étu-
dions la fonctionf(x) =sxx2+p(p+s)définie surx2[0;+¥[. Après calculsf0ne s"annule qu"enx0=pp(p+s)qui donne le maximum
def(en 0 et+¥l"angle est nul). Donc la distance optimale de vision estx0=pp(p+s). En complément on peut calculer l"angle maximuma0correspondant : par la relation tana0=f(x0) =s2 pp(p+s), on obtienta0=Arctan
s2 pp(p+s).Correction del"exer cice2 N1.sin2y=1cos2ydonc siny=p1cos2y. Donc sinArccosx=p1cos2Arccosx=p1x2et comme Arccosx2
[0;p]on a sinArccosx= +p1x2. 2. De la même manière on trouv ela même formule pour : cos Arcsinx= +p1x2. 3. Commençons par calculer sin (Arctanx), cos(Arctanx). On utilise 1+tan2y=1cos2y=11sin2yavecy=Arctanx. Cela donne
cos2y=11+x2et sin2y=x21+x2. En étudiant les signes de sin(y), cos(y)nous obtenons cosy=1p1+x2et siny=xp1+x2.
Il ne reste plus qu"à linéariser sin(3y): sin(3y) =3sinycos2ysin3y, ce qui s"écrit aussi sin(3y) =4sinycos2ysiny. Ces
formules s"obtiennent à la main en écrivant d"abord sin(3y) =sin(2y+y) =sin(2y)cos(y)+. Ou alors à l"aide des nombres
complexes et de la formule de Moivre en développant cos(3y)+isin(3y) = (cosy+isiny)3=cos3y+3icos2ysiny+puis
identifiants les parties imaginaires.Maintenant
sin(3Arctanx) =sin(3y) =4sinycos2ysiny=4x1+x23=2xp1+x2:Correction del"exer cice3 N1.En prenantlesinusdel"équationArcsinx=Arcsin25
+Arcsin35 onobtientx=sin(Arcsin25 +Arcsin35 ),doncx=25 cosArcsin35 35cosArcsin25 . En utilisant la formule cosArcsinx= +p1x2. On obtientx=25 45
+35
q2125 =825 +3p2125 2. En prenantlecosinusdel"équationArccosx=2Arccos34 onobtientx=cos(2Arccos34 )onutiliselaformulecos2u=2cos2u
1 et on arrive à :x=2(34
)21=18 3. En prenant la tangente et à l"aide de tan (a+b) =on obtient :x=tan(2Arctan12 ) =43.Correction del"exer cice4 N1.Soit fla fonction sur[1;1]définie parf(x) =Arcsinx+Arccosxalorsf0(x) =1p1x2+1p1x2=0 pour chaquex2]1;1[;
doncfest une fonction constante sur l"intervalle[1;1](car continue aux extrémités). Orf(0) =p2 donc pour toutx2[1;1], f(x) =p2 2.Soit g(x) =Arctanx+Arctan1x
, la fonction est définie sur]¥;0[et sur]0;+¥[. On ag0(x) =11+x2+1x211+1x
2=0 doncgest
constante sur chacun de ses intervalles de définition.g(x) =c1sur]¥;0[etg(x) =c2sur]0;+¥[. En calculantg(1)etg(1)
on obtientc1=p2 etc2= +p2.Correction del"exer cice5 N1.Soit f(a) =Arcsinaap1a2sur]0;1[. Alorsf0(a) =1p1a21p1a2(1a2)=1p1a2a21a2doncf0(a)0. Ainsifest stric-
tement décroissante etf(0) =0 doncf(a)<0 pout touta2]0;1[. 2.Si g(a) =Arctanaa1+a2alorsg0(a) =11+a21a2(1+a2)2=2a2(1+a2)2>0. Doncgest strictement croissante etg(0) =0 doncgest
strictement positive sur]0;+¥[. 4 Correction del"exer cice6 N1.P arla formule du binôme de Ne wtonnous a vonsch