Exercice 1 Dans cet exercice on étudie deux équations différentielles du second ordre 1 + et de la fonction arctan dérivable sur R) ; sa dérivée est t ↦ → 1
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2 arctan ( 1 3 ) Correction exercice 2 1 0
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PCSI 2014-2015MathematiquesLycee Bertran de BornDevoir de Mathematiques 3 : corrige
Exercice 1.
Etude d'une fonction en notation puissance
On considere la fonctionfdenie par
f(x) =xx=exln(x)La fonction fonction est denie surR?+. Elle est derivable surR?+comme composee dex?→xln(x)(produit de
fonctions usuelles) derivable surR?+etexpderivable surR. Nous avons alors : ?x >0, f?(x) = (ln(x) + 1)exln(x)Etudions le signe def?(x).
f ?(x)>0??ln(x) + 1>0??x > e-1 Nous obtenons le tableau de variations :x0e-1+∞f ?(x)-0 +f(x)1?f(e-1)?+∞Les limites aux bornes se justient ainsi : lim x→0+xln(x) = 0par croissance comparee usuelle, donc par compositionlimx→0+exln(x)= 1 lim x→+∞exln(x)= +∞sans diculte.Nous obtenons l'allure du graphe :1
PCSI 2014-2015MathematiquesLycee Bertran de BornExercice 2. Un probleme de Cauchy La question 3 peut-^etre abordee m^eme sans avoir traite les precedentes. 1. O nv eriep aru nsi mplecal culq uep ourt outx?R\ {-1,1},11-x2=12
11 +x+11-x?
Donc :
α=12
=βOn peut en deduire une primitive de la fonctionx?→11-x2(par exemple sur l'intervalleI=]-1,1[) :
x?→12 (ln(1 +x)-ln(1-x)) = ln? ?1 +x1-x?2.P ourt outt?]-π2 ,π2 [on pose :F(t) =?
t01cos(θ)dθ
On considere le changement de variablex= sin(θ). Nous avons donc : dx= cos(θ)dθθ= 0 =?x= 0etθ=t=?x= sin(t)
Nous obtenons :
F(t) =?
t 01cos2(θ)cos(θ)dθ=?
t011-sin2(θ)cos(θ)dθ=?
sin(t)011-x2dx
Avec la question precedente on trouve donc :
F(t) =?
ln? ?1 +x1-x?? sin(t) 0 = ln? ?1 + sin(t)1-sin(t)?3.O nr esouts ur]-π2 ,π2 [le probleme suivant : ?y?=-ytan(t) + 1 y(0) = 0 Il s'agit de resoudre une equation dierentielle lineaire d'ordre 1, resolue eny?. Equation homogene.La fonctiont?→tan(t)est continue sur]-π2 ,π2 [et admet pour primitiveln(cos). D'apres un theoreme du cours l'ensemble des solutions sur]-π2 ,π2 [de l'equationy?=-ytan(t)est : t?→λeln(cos(t)),λ?R? ou encore :{t?→λcos(t),λ?R}•Solution particuliere.En cherchant une solution sous la formey(t) =?(t)cos(t)avec?derivable sur
]-π2 ,π2 [on obtient la CNS : ?(t) =1cos(t) 2PCSI 2014-2015MathematiquesLycee Bertran de BornLa question precedente nous donne une expression pour?ainsi qu'une solution particuliere :
y(t) = ln? ?1 + sin(t)1-sin(t)? cos(t) •Conclusion.L'ensemble des solutions sur]-π2 ,π2 [de l'equation dierentielle est : t?→?λ+ ln?
?1 + sin(t)1-sin(t)?? cos(t),λ?R?Avec la condition initiale il vientλ= 0ainsi que l'unique solution sur]-π2 ,π2 t?→ln? ?1 + sin(t)1-sin(t)? cos(t)Exercice 3.Equations dierentielles du second ordre
Dans cet exercice on etudie deux equations dierentielles du second ordre. 1.O nc onsiderele pr oblemesu ivant:
?y ??+ 3y=et+ 1 (E) y(0) = 0 y ?(0) = 0 (a)Resolution de l'equation homogene associee(E0)y??+ 3y= 0. L'equation(E0)admet pour equation caracteristique : X2+ 3 = 0
Les racines sontr1=i⎷3etr2=-i⎷3. Nous avons l'ensemble des solutions deRversR: S 0=?t?→λcos(⎷3t) +μsin(⎷3t),(λ,μ)?R2?(b)Determination d'une solution particuliere.On determine une solution particuliere pour les equa-
tions : (E1)y??+ 3y=etet(E2)y??+ 3y= 1 ?Pour(E1), on cherche une solution particuliere de la formey1(t) =aet. Nous avons alors pour toutt?R,y?1(t) =y??1(t) =aet; ainsi (a+ 3a)et=etdonca=14 ?Pour(E2), on cherche une solution particuliere de la formey2(t) =b. Nous avons alors pour toutt?R,y?2(t) =y??2(t) = 0; ainsi3b= 1doncb=13
Parprincipe de superpositiony=y1+y2est une solution de(E). (c)Ensemble de toutes les solutions de(E).Nous avons l'ensemble des solutions deRversR: S=? t?→λcos(⎷3t) +μsin(⎷3t) +et4 +13 ,(λ,μ)?R2? .3PCSI 2014-2015MathematiquesLycee Bertran de Born•Conditions initiales.Soity?Stelle quey(0) = 0ety?(0) = 0.
Pour toutt?R:
y(t) =λcos(⎷3t) +μsin(⎷3t) +et4 +13 y ?(t) =-λ⎷3sin( ⎷3t) +μ⎷3cos( ⎷3t) +et4Commey(0) = 0, nous avons
λ+14
+13 = 0.Commey?(0) = 0, nous avons
μ⎷3 +
14 = 0Il vient donc l'unique solution :
R-→R
t?-→ -712 cos(⎷3t)-⎷3 12 sin(⎷3t) +et4 +13 2. D eterminonsl 'ensembled essol utionsy:R→Rde l'equation dierentielle : y ??+ 2y?+y= 2e-t Nous procedons de la m^eme maniere que dans la question precedente. (a)Resolution de l'equation homogene associee(E0)y??+ 2y?+y= 0. L'equation(E0)admet pour equation caracteristique : X2+ 2X+ 1 = 0
Il y a une racine doubler0=-1. Nous avons l'ensemble des solutions deRversR: S0=?t?→(λt+μ)e-t,(λ,μ)?R2?(b)Determination d'une solution particuliere.Vu le second membre on cherche une solution particu-
liere de la formey(t) =a2t2e-t. Nous avons alors pour toutt?R,y?(t) =a2(2t-t2)e-tety??(t) =a2(2-4t+t2)e-t; ainsi en identiant on obtient : a2= 1et la solution particulieret?→t2e-t
(c)Ensemble de toutes les solutions de(E).Nous avons l'ensemble des solutions deRversR: S=?t?→(t2+λt+μ)e-t,(λ,μ)?R2?Probleme 1. Variations autour d'une fonctionPartie A.Etude de la fonction
1.Questions de cours.Vu en cours.
On considere la fonctionfdenie par
f(t) = arccos?1-t1 +t? 2.Le p lussi mplees td' etudierla f onctiong:t?→1-t1 +t. La fonction est denie et derivable surR\ {-1}et
g ?(t) =-2(1 +t)2. Son tableau de variations est : 4PCSI 2014-2015MathematiquesLycee Bertran de Bornx-∞ -1 +∞g-1HHHj- ∞+∞HHHj-1Commef(0) = 1on voit d'apres le tableau de variations que
1-t1 +t?[-1,1]si et seulement sit?R+
La fonctionarccosest denie sur[-1,1]. Donc d'apres la question precedentefest denie surR+. 3.Etude de la derivabilite et reecriture def.
(a) La f onctionarccosest derivable sur]-1,1[. Lorsquet?R+nous avons1-t1 +t=±1si et seulement si t= 0. En conclusionfest derivable surR?+.Pour toutt?R?+on a :
f ?(t) =-2(1 +t)2-1?1-?1-t1 +t?
21(1 +t)21?t
(1 +t)2 f ?(t) =1(1 +t)⎷t (b)La f onctionh:t?→2arctan(⎷t)est derivable surR?+(comme composee de la fonction racine carree
derivable surR?+et de la fonctionarctanderivable surR); sa derivee est t?→1⎷t(1 +⎷t2)=1⎷t(1 +t)
(c)La d eriveed el af onctionp recedentec o
ncide donc avecf?. Sur l'intervalle]0,+∞[les deux fonctions co ncident a une constante pres. En remarquant quef(1) =π4 =h(1)nous obtenons bien l'egalite deces deux fonctions sur]0,+∞[. En veriant qu'elles sont egales en0: nous obtenons l'egalite surR+.
4. Nous a vonsf(0) = arccos(1) = 0. Ensuitelimt→+∞1-t1 +t=-1etarccos(-1) =πdonc limt→+∞f(t) =π5.La d eriveed efetant strictement positive surR?+nous avons le tableau de variations :t0 +∞f(t)0?π5
PCSI 2014-2015MathematiquesLycee Bertran de BornEt le graphe :