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Corrig´e du Devoir Surveill´e n°2

Exercice 1:Autour de la fonction Arc cosinus

Repr´esentons la fonction d´efinie parf(x) = Arccos(cosx) +12Arccos(cos2x). fest d´efinie surR, fest paire, fest 2πp´eriodique Nous ´etudionsfsur [0,π], puis compl´etons par sym´etries : .

Etude deg(x) = Arccos(cosx) sur [0,π].

Soitx[0,π], alors Arccos(cosx) =x.

Etude deh(x) =1

2Arccos(cos2x) sur [0,π].

six[0,π/2], alors 2x[0,π] donc Arccos(cos2x) = 2xet par suite h(x) =x. six[π/2,π], alors 2x[π,2π], d"o`u cos(2x) = cos(2π?2x). Comme

2π?2x[0,π], nous avonsh(x) =1

2Arccos(cos(2π?2x)) =π?x.

Ainsi,f=g+hest d´efinie sur [0,π] parf(x) =?2xsix[0,π/2]

πsix[π/2,π].

En compl´etant par parit´e puis par p´eriodicit´e, nous obtenons le graphe sui- vant :

π-2-ππ2ππ

Exercice 2:Autour de la fonction Arc tangente

1. SoitxR. On poset= Arctan(x) de sorte quex= tan(t) et?2< t <2.

Il s"ensuit que

a. tan(t) =x? b. cos(t) =? cos2(t) =1?1 + tan2(t)=11 +x2.? c. finalement sin(t) = tan(t)cos(t) =x1

1 +x2.?

2. SoitxR.

1 a. D"apr`es la formule d"addition pour les cosinus, il vient cos ?Arctan(x) + Arctan(1/x)? = cos(Arctan(x))cos(Arctan(1/x))?sin(Arctan(x))sin(Arctan(1/x)) 1

1 +x21?1 + 1/x2?x1 +x21x1?1 + 1/x2

x

1 +x2?x1 +x2= 0

Posonst= Arctan(x)+Arctan(1/x). On a donc ´etabli que cos(t) = 0.

En outre

six >0, alors 02et 0 cas, on a 0< t < πet cos(t) = 0, d"o`u l"on tire quet= 2. six <0, alors?

2 En ce cas, on a?π < t <0 et cos(t) = 0, d"o`u l"on tire que t=? 2.

Finalement

pour toutxR+,Arctanx+ Arctan1 x=π2 pour toutxR,Arctanx+ Arctan1 x=?π2 b. Soith:RRla fonction d´efinie par pour toutxR, h(x) = Arctan(x) + Arctan(1/x) La fonctionhest d´erivable surR(comme somme de telles fonctions) et pour tout r´eelxR, h (x) =1

1 +x2?1x211 + (1/x)2=11 +x2?11 +x2= 0.

Comme sa d´eriv´ee est nulle sur chacun des intervallesRetR+,hest constante sur chacun de ces intervalles. Pour calculer cette contante, ´evaluonshen 1 et?1. Il vientf(1) = Arctan(1) + Arctan(1) =π

4+π4=π2etf(?1) = 2Arctan(?1) =?π2.?

3. R´esolvons l"´equation Arctan(x?1) + Arctan(x) + Arctan(x+ 1) =π/2.on peut proc´eder par

Analyse-synth`ese, mais ici

comme on peut directe- ment appliquer le th de la bijection, cette m´ethode

sera plus rapide!a.Existence et unicit´e de la solutionLa fonctionf:xArctan(x?1) + Arctan(x) + Arctan(x+ 1) est

continue et strictement croissante comme somme de telles fonctions. D"apr`es leTh´eor`eme de la bijectionelle r´ealise une bijection de ]? ,+[ sur??3

2,32?. En particulierπ2admet un unique ant´ec´edent

par cette fonction.ce qui revient pr´ecis´ement `a dire que l"´equation propos´ee admet une unique solution,

n"est-ce pas?b.Calcul de la solutionSoitxRla solution de l"´equation propos´ee. Remarquons tout d"abord

quexest n´ecessairement strictement positif carf(0) = 0< f(x) = 2. En ce cas,d"apr`es la question pr´ec´edente, on a on va appliquertan aux deux membres de l"´equation, mais avant tout il est pr´ef´erable d"´equilibrer2

Arctan(x?1) + Arctan(x+ 1) =π2?Arctan(x)

= Arctan(1/x) Appliquons tan aux deux membres de cette derni`ere ´egalit´e, il vient 2x

1?(x2?1)=1x

d"o`u l"on tire successivement quex2=2

3, puis=?

2 3? ?commexest strictement positif

Exercice 3:Autour de la fonction Arc sinus

On posef(x) = Arcsin?xx2+ 1?

1. Tout d"abord, la fonctionu:x

2+1est d´efinie surR. On chercheArcsinest d´efinie sur

[?1,1].maintenant les valeurs dexpour lesquellesu(x) appartient `a [?1,1]. Pour toutxR, on ax< x2+ 1, donc ?12. On sait que la fonction Arcsin est d´erivable sur ]?1,1[. La fonctionuest

d´erivable surRet `a valeurs dans ]?1,1[. Commef= Arcsinu, on en d´eduit, par composition, quefest d´erivable surR. PourxR, on a :(Arcsinu)=u 1u2 f (x) =?x x2+ 1? 1? 1?? 2+1? 2= x2+ 1?22+1 x2+ 11?

1?22+1

1 (1 +x2)32x2+ 1 =11 +x2.

3. On vient de voir quefa la mˆeme d´eriv´ee que la fonction Arctan. Par

cons´equent, ces deux fonctions sont ´egales `a une constanteCpr`es : xR, f(x) = Arctanx+C. Commef(0) = Arcsin0 = 0 etf(0) = Arctan0 = 0, on en d´eduit que la constanteCest nulle. Ainsi,fest la fonction arc tangente.

4. SoitxR. Poset= Arctan(x) dsq?

2< t <2etx= tan(t). On a alors

cos(t) =1 x2+ 1et par cons´equent sin(t) =x x2+ 1avec?π2< t <π2, ce qui revient pr´ecis´ement `a dire quet= Arcsin? 2+1? 3

Exercice 4:Etude d"une bijection r´eciproque

Soitfla fonction d´efinie parf(x) = Arccos(1?2x).

Partie I.Etude d"une fonctionf

1. SoitxR,f(x) est d´efinie pourvu que 1?2x[?1,1], d"o`u l"on tire que

= [0,1].

2.fest continue surcomme compos´ee de telles fonctions, et d´erivable dans

]0,1[ comme compos´ee de telles fonctions. De plus, pour toutx]0,1[Arccosest continue sur[?1,1]et d´erivable sur l"ouvert]?1,1[f(x) =2

4x?4x2

3.

En particulier,fest strictement positive

dans ]0,1[. D"apr`es lacaract´erisation des fonctions monotones d´erivables, Il s"ensuit quefest strictement croissante comme l"in- dique le tableau ci-contre : 0 1 f(x)+ f(x) 0

4. Au point d"abscisse12, la tangente admet pour ´equationy= 2x?1.?l"´equation de la tan-

gente enaesty=f(a) + f (a)(x?a)Partie II.Etude de sa bijection r´eciproque

1. La fonctionf: [0,1]Rest une fonction continue et strictement crois-

sante. D"apr`es leTh´eor`eme de la bijection,fr´ealise une bijection de [0,1] surf([0,1]) =?f(0);f(1)?= [0,π].?

2. Pour d´eterminer la bijection r´eciproque def, on adopte lepoint de vue

´equationSoit doncy[0,π] etx[0,1]. On a alors les ´equivalences : y= Arccos(1?2x)cos(y) = 1?2xx=1?cos(y) 2 Ainsi,f1: [0,π][0,1] est d´efinie pour touty[0,π] ,parf1(y) =1?cosy 2.?

3.f1est d´erivable sur [0,π] par OPA et pour touty[0,π], on a (f1)(y) =

siny y.?

4.Laisse parler le talent!trobo!!

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3y=acos(1-2*x)

y=x y=0.5*(1-cos(x)) 4

PROBLEME 1:Autour de Argth,mines de sup 00

On notera respectivement ch, sh et th les fonctions cosinus hyperbolique, sinus hyperbolique et tangente hyperbolique d´efinies pourxRpar : ch(x) =e+e

2,sh(x) =e?e2,th(x) =sh(x)ch(x)=e?ee+e.

Partie I.Cours : ´etude de la fonction Argth

1. Par opa, la fonction th est d´erivable dansRet pour toutxR, th(x) =4

(e+e)2>0. Par cons´equent, th :RRest strictement croissante. Le tableau suivant r´esume ses propri´et´es : x?0 + thx+ +1 thx ?1

PourxR, on a th(x) =e2?1e2+ 1=

1?e2

1 +e2.On en d´eduit ais´ement par

OPA que lim

+th = 1 et limth =?1. D"apr`es leTh´eor`eme de la bijection, th ´etant strictement croissante et continue, elle r´ealise une bijection deRsur son intervalle image :

J=?limth,lim+th?=]?1,1[

Comme d"habitude, on note Argth :]?1,1[Rsa bijection r´eciproque.?

2. SoitxR. En utilisant les relations ch(x) = sh(x) et sh(x) = ch(x), on

obtient ais´ement th (x) = 1?th2(x).?

3. SoitxR, posonst=?Argth(x). Comme la fonction th est impaire, il

vient est impaire. th(t) =?th(Argth(x)) =?x. Par d´efinition, ceci revient `a dire quet= Argth(?x). Autrement dit,?Argth(x) = Argth(?x). Ceci ´etant vrai pour tout r´eelx, on a bien prouv´e que la fonction Argth est impaire.?

4. D"apr`es la question1., th est d´erivable dansRet sa d´eriv´ee ne s"annule pars

dansR. D"apr`es le th´eor`eme de d´erivablilit´e des applications r´eciproques, il s"ensuit que Argth est d´erivable dans ]?1,1[ et que pour toutx]?1,1[, on aquotesdbs_dbs35.pdfusesText_40