2 π π Α Exercice 2 : Autour de la fonction Arc tangente 1 Soit x ∈ R On pose t = Arctan (x) de sorte que x = tan(t) et −π 2
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2 arctan ( 1 3 ) Correction exercice 2 1 0
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Dans ce cas, Arctan(tan x) = Arctan(tan(x − kπ)) = x − kπ avec k = E ( x π + 1 2 ) Exercice no 2 1) 1ère solution Posons f(x) = Arccosx + Arcsinx pour x dans [−
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CORRECTION Exercices Chapitre 2 - Fonctions usuelles £ ¢ ¡ Exercice 2 1 2 Arctan 2 3 On pose { a = Arccos 5 13 b = Arctan 2 3 ⇒ { cos a = 5 13
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Exercice 1 Dans cet exercice on étudie deux équations différentielles du second ordre 1 + et de la fonction arctan dérivable sur R) ; sa dérivée est t ↦ → 1
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petite Les exercices non corrigés en classe sont soulignés 1 Exercice Déterminer une valeur possible de x écrite en fonction de arcsin,arccos,arctan
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Corrig´e du Devoir Surveill´e n°2
Exercice 1:Autour de la fonction Arc cosinus
Repr´esentons la fonction d´efinie parf(x) = Arccos(cosx) +12Arccos(cos2x). fest d´efinie surR, fest paire, fest 2πp´eriodique Nous ´etudionsfsur [0,π], puis compl´etons par sym´etries : .Etude deg(x) = Arccos(cosx) sur [0,π].
Soitx[0,π], alors Arccos(cosx) =x.
Etude deh(x) =1
2Arccos(cos2x) sur [0,π].
six[0,π/2], alors 2x[0,π] donc Arccos(cos2x) = 2xet par suite h(x) =x. six[π/2,π], alors 2x[π,2π], d"o`u cos(2x) = cos(2π?2x). Comme2π?2x[0,π], nous avonsh(x) =1
2Arccos(cos(2π?2x)) =π?x.
Ainsi,f=g+hest d´efinie sur [0,π] parf(x) =?2xsix[0,π/2]πsix[π/2,π].
En compl´etant par parit´e puis par p´eriodicit´e, nous obtenons le graphe sui- vant :π-2-ππ2ππ
Exercice 2:Autour de la fonction Arc tangente
1. SoitxR. On poset= Arctan(x) de sorte quex= tan(t) et?2< t <2.
Il s"ensuit que
a. tan(t) =x? b. cos(t) =? cos2(t) =1?1 + tan2(t)=11 +x2.? c. finalement sin(t) = tan(t)cos(t) =x11 +x2.?
2. SoitxR.
1 a. D"apr`es la formule d"addition pour les cosinus, il vient cos ?Arctan(x) + Arctan(1/x)? = cos(Arctan(x))cos(Arctan(1/x))?sin(Arctan(x))sin(Arctan(1/x)) 11 +x21?1 + 1/x2?x1 +x21x1?1 + 1/x2
x1 +x2?x1 +x2= 0
Posonst= Arctan(x)+Arctan(1/x). On a donc ´etabli que cos(t) = 0.En outre
six >0, alors 02 En ce cas, on a?π < t <0 et cos(t) = 0, d"o`u l"on tire que t=? 2. Finalement
pour toutxR+,Arctanx+ Arctan1 x=π2 pour toutxR,Arctanx+ Arctan1 x=?π2 b. Soith:RRla fonction d´efinie par pour toutxR, h(x) = Arctan(x) + Arctan(1/x) La fonctionhest d´erivable surR(comme somme de telles fonctions) et pour tout r´eelxR, h (x) =1 1 +x2?1x211 + (1/x)2=11 +x2?11 +x2= 0.
Comme sa d´eriv´ee est nulle sur chacun des intervallesRetR+,hest constante sur chacun de ces intervalles. Pour calculer cette contante, ´evaluonshen 1 et?1. Il vientf(1) = Arctan(1) + Arctan(1) =π 4+π4=π2etf(?1) = 2Arctan(?1) =?π2.?
3. R´esolvons l"´equation Arctan(x?1) + Arctan(x) + Arctan(x+ 1) =π/2.on peut proc´eder par
Analyse-synth`ese, mais ici
comme on peut directe- ment appliquer le th de la bijection, cette m´ethode sera plus rapide!a.Existence et unicit´e de la solutionLa fonctionf:xArctan(x?1) + Arctan(x) + Arctan(x+ 1) est
continue et strictement croissante comme somme de telles fonctions. D"apr`es leTh´eor`eme de la bijectionelle r´ealise une bijection de ]? ,+[ sur??3 2,32?. En particulierπ2admet un unique ant´ec´edent
par cette fonction.ce qui revient pr´ecis´ement `a dire que l"´equation propos´ee admet une unique solution, n"est-ce pas?b.Calcul de la solutionSoitxRla solution de l"´equation propos´ee. Remarquons tout d"abord
quexest n´ecessairement strictement positif carf(0) = 0< f(x) = 2. En ce cas,d"apr`es la question pr´ec´edente, on a on va appliquertan aux deux membres de l"´equation, mais avant tout il est pr´ef´erable d"´equilibrer2 Arctan(x?1) + Arctan(x+ 1) =π2?Arctan(x)
= Arctan(1/x) Appliquons tan aux deux membres de cette derni`ere ´egalit´e, il vient 2x 1?(x2?1)=1x
d"o`u l"on tire successivement quex2=2 3, puis=?
2 3? ?commexest strictement positif Exercice 3:Autour de la fonction Arc sinus
On posef(x) = Arcsin?xx2+ 1?
1. Tout d"abord, la fonctionu:x
2+1est d´efinie surR. On chercheArcsinest d´efinie sur
[?1,1].maintenant les valeurs dexpour lesquellesu(x) appartient `a [?1,1]. Pour toutxR, on ax< x2+ 1, donc ?12. On sait que la fonction Arcsin est d´erivable sur ]?1,1[. La fonctionuest
d´erivable surRet `a valeurs dans ]?1,1[. Commef= Arcsinu, on en d´eduit, par composition, quefest d´erivable surR. PourxR, on a :(Arcsinu)=u 1u2 f (x) =?x x2+ 1? 1? 1?? 2+1? 2= x2+ 1?22+1 x2+ 11? Finalement
pour toutxR+,Arctanx+ Arctan1 x=π2 pour toutxR,Arctanx+ Arctan1 x=?π2 b. Soith:RRla fonction d´efinie par pour toutxR, h(x) = Arctan(x) + Arctan(1/x) La fonctionhest d´erivable surR(comme somme de telles fonctions) et pour tout r´eelxR, h (x) =11 +x2?1x211 + (1/x)2=11 +x2?11 +x2= 0.
Comme sa d´eriv´ee est nulle sur chacun des intervallesRetR+,hest constante sur chacun de ces intervalles. Pour calculer cette contante, ´evaluonshen 1 et?1. Il vientf(1) = Arctan(1) + Arctan(1) =π4+π4=π2etf(?1) = 2Arctan(?1) =?π2.?
3. R´esolvons l"´equation Arctan(x?1) + Arctan(x) + Arctan(x+ 1) =π/2.on peut proc´eder par
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comme on peut directe- ment appliquer le th de la bijection, cette m´ethodesera plus rapide!a.Existence et unicit´e de la solutionLa fonctionf:xArctan(x?1) + Arctan(x) + Arctan(x+ 1) est
continue et strictement croissante comme somme de telles fonctions. D"apr`es leTh´eor`eme de la bijectionelle r´ealise une bijection de ]? ,+[ sur??32,32?. En particulierπ2admet un unique ant´ec´edent
par cette fonction.ce qui revient pr´ecis´ement `a dire que l"´equation propos´ee admet une unique solution,n"est-ce pas?b.Calcul de la solutionSoitxRla solution de l"´equation propos´ee. Remarquons tout d"abord
quexest n´ecessairement strictement positif carf(0) = 0< f(x) = 2. En ce cas,d"apr`es la question pr´ec´edente, on a on va appliquertan aux deux membres de l"´equation, mais avant tout il est pr´ef´erable d"´equilibrer2