Exercice 4 10 Résoudre l'équation arccos(x) + arcsin(x2 − x + 1) = π 2 Exercice 4 11 Montrer que arctan 2√2 + 2 arctan√2 = π Exercice 4 12 Calculer la
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Chapitre 4
FONCTIONS USUELLES
Enoncé des exercices
1Les basiques
Exercice 4.1Résoudre
(E1) :x-1 =√x+ 2 (E2) :x-1≤√x+ 2
Exercice 4.2Déterminer le signe surRdef(x) =e
πx-1
1 +x2-πarctanx.
Exercice 4.3Résoudre49
x8 271-x =23
Exercice 4.4Résoudre l'équationx
√x=√xxExercice 4.5Résoudre2x3= 3x2
Exercice 4.6Résoudrexx=
√2 2Exercice 4.7Soita >0un réel, exprimer uniquement à l'aide de√a+ 1le réelchln√a+√a+ 1.
Exercice 4.8Résoudre5chx-4shx= 3
Exercice 4.9Calculer la dérivée dechxcosx+ shxsinx. Exercice 4.10Résoudre l'équationarccos(x) + arcsin(x2-x+ 1) =π2 Exercice 4.11Montrer quearctan2√2+ 2arctan√2=π Exercice 4.12Calculer la valeur exacte desin12arcsin34Exercice 4.13Calculer la valeur exacte desin1
2arcsin7
25Exercice 4.14Simplifier la fonctionargsh2x√1 +x2 Exercice 4.15Simplifier la fonctionf(x) = arccosthx+ 2arctanex Exercice 4.16Que pensez vous de la fonctionf(x) = argthx-argth1x?
1. LES BASIQUESCHAPITRE 4. FONCTIONS USUELLES
Exercice 4.17Résoudreargthx= argch1x.
Exercice 4.18Déterminer le domaine de définition, la dérivée et les pointsoù la fonction s'annule pourf(x) =x
1x etg(x) =xn nxoùn∈N∗.Exercice 4.19Simplifiera
ln(lna) lnapoura >1.Exercice 4.20Résoudre
arctan(3-x) + arctan 4-1 x =3π4Exercice 4.21Montrer que∀(a,b)∈R2,on ae
a+b2≤12e
a+ebExercice 4.22Résoudrearcsin(x) = arcsin45
+ arcsin513Exercice 4.23Simplifier la fonctionf(x) = 2arctan√1 +x2-x+ arctanx.En déduire la valeur detanπ8et
tan 12Exercice 4.24Montrer que
arctan2√
2 + 2arctan√2 Montrer que ce résultat est équivalent à la formule de Wetherfield2arctan
1 √2+ arctan12√2=π2 Exercice 4.25Résoudreargsh(x-1) = argch√x. Exercice 4.26On veut déterminer les réelsxtels que arctan(x-1) = arctan1 x+ arctan1981. Soitf(x) = arctan(x-1)-arctan1
x. Etudier rapidement la fonctionf,en déduire que l'équation admet une unique solution plus grande que1.2. Résoudre l'équation.
Exercice 4.27Simpifier la fonction
f(x) = 2argth(tanx)-argth(sin2x)(on commencera par préciser le domaine de définition def, sa périodicité, sa parité afin de réduire le domaine d'étude).
Exercice 4.28On définit la fonctionfpar
f(x) = argsh 2x 1 +x2Préciser son ensemble de définition. Sur quel ensemblefest-elle dérivable? Préciser alors la dérivée def.En déduire
une expression plus simple def.Exercice 4.29Montrer l'inégalité de Huygens
2sinα+ tanα≥3αsiα∈
0,π
2 et son analogue hyperbolique2shx+ thx≥3xsix≥0
- 2/29 -G´ H
- EM -() 2009
CHAPITRE 4. FONCTIONS USUELLES2. LES TECHNIQUES
2Les techniques
Exercice 4.30Déterminer(n,p)∈(N∗)2tels quen < petnp=pnExercice 4.31Soitz=a+iboùa >0, b >0.On noteargzl'unique argument dezcompris dans l'intervalle]-π,π].
Justifier queargz= arctanb
a. En déduire la formule deH (1776)4= 2arctan13+ arctan17
Exercice 4.32Résoudre
(E) : arctan(x-1) + arctan(x) + arctan(x+ 1) =π 2 Exercice 4.33Résoudrearctan(x) + arctanx3=3π 4 Exercice 4.34On se propose de trouver les réelsxtels que2arctan
1-x x + arcsin(2x-1) =π21. Déterminer l'ensemble de définitionD
fde la fonctionfdéfinie parf(x) = 2arctan 1-x x +arcsin(2x-1)2. Soitx∈D
f, on poseθ= arcsin(√x).Justifier queθest bien défini et préciser à quel intervalle il appartient, exprimerxen fonction d'une des lignes
trigonométriques deθ.