Démonstration (pour le quatrième) : Soit R → Df La composée, quand elle est définie, de deux fonctions continues est une Soit f lipschitzienne sur D Soit
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Soit ƒ une fonction lipschitzienne sur un intervalle I (∃k ∈ +, ∀(x, y) ∈ I2 : ƒ(x) − ƒ(y) kx − y) Alors ƒ est uniformément continue sur I Démonstration
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15 fév 2013 · Une fonction Lipschitzienne sur un intervalle I est continue sur I Démonstration C'est une conséquence du théorème des gendarmes : 0 ⩽ f(x)
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Une conséquence de ce résultat est que l'image par une fonction continue Et c' est justement le point 0 qui était le point important dans la démonstration du La première qu'on va voir concerne la notion de fonction Lipschitzienne
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Montrer que toute fonction lipschitzienne sur I est uniformément continue sur I (11) En écrivant R+ = [0,1] ∪ [1,+∞[, donnez une autre démonstration de
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3 2 Fonctions lipschitziennes Soient f et g deux fonctions continues sur un intervalle I de R à valeurs dans K = R ou C 1) Pour tout (λ, µ) ∈ K2, On reprend les mêmes notations que dans la première démonstration : on se donne
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Démonstration (pour le quatrième) : Soit R → Df La composée, quand elle est définie, de deux fonctions continues est une Soit f lipschitzienne sur D Soit
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Dém : C'est la même démonstration que celle que l'on vient de faire □ L' ensemble des fonctions lipschitziennes de F(A, F) est un sous-espace vectoriel de C(A) ensemble des fonctions continues `a valeurs dans K = R ou C est une sous-
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une fonction continue sur A B , à valeurs dans R , telle ue On trouvera une démonstration très élémentaire, due à SHIFMAN, de ce lemme, dans le livre de
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D R
f:DÑR x0PD f x0ðñf x0( f(x0)) f(x)ÝÝÝÝÑxÑx0f(x0) ðñ @εą0,Dαą0,@xPD,(|x´x0| ăαùñ |f(x)´f(x0)| ăε) @x0PD,@εą0,Dαą0,@xPD,(|x´x0| ăαùñ |f(x)´f(x0)| ăε) f:DÑR D1ĂD f D1f|D1 f D D1 f Dðñ @x0PD ,@εą0,Dαą0,@xPD ,(|x´x0| ăαùñ |f(x)´f(x0)| ăε) f D1ðñ @x0PD1 ,@εą0,Dαą0,@xPD ,(|x´x0| ăαùñ |f(x)´f(x0)| ăε) f D1ðñ @x0PD1 ,@εą0,Dαą0,@xPD1 ,(|x´x0| ăαùñ |f(x)´f(x0)| ăε) 0 1 2 f |[0,1] f [0,1] f Af Bùñf AYB f [a,b] [b,c]aăbăc f [a,c]f [a,c] x0P[a,b[ f x0 [a,b] x0 f x0 f(x0)x0 f f(x0)x0 bf f b x0P]b,c] ā f:DÑR 1 f f(x)ÝÝÝÝÑxÑx0f(x0) f(x0)‰0 1 f(x)ÝÝÝÝÑxÑx01 f(x0) x0PD 1 f D f:DÑRg:EÑR f(D)ĂE g˝f Dx0PD f(x)ÝÝÝÝÑxÑx0f(x0) g(u)ÝÝÝÝÝÝÑuÑf(x0)g(f(x0)) f(x0)PEg f(x0)
f D |f| D f+f´ D f+@xPD,f+(x) =(f(x),0) =1 2 (f(x) +|f(x)|) f+ f´@xPD,f´(x) =(´f(x),0) =1 2 (´f(x) +|f(x)|) f+ xÞÑxα