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Soit ƒ une fonction lipschitzienne sur un intervalle I (∃k ∈ +, ∀(x, y) ∈ I2 : ƒ(x) − ƒ(y) kx − y) Alors ƒ est uniformément continue sur I Démonstration

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15 fév 2013 · Une fonction Lipschitzienne sur un intervalle I est continue sur I Démonstration C'est une conséquence du théorème des gendarmes : 0 ⩽ f(x) 

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Une conséquence de ce résultat est que l'image par une fonction continue Et c' est justement le point 0 qui était le point important dans la démonstration du La première qu'on va voir concerne la notion de fonction Lipschitzienne

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Montrer que toute fonction lipschitzienne sur I est uniformément continue sur I (11) En écrivant R+ = [0,1] ∪ [1,+∞[, donnez une autre démonstration de 

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3 2 Fonctions lipschitziennes Soient f et g deux fonctions continues sur un intervalle I de R à valeurs dans K = R ou C 1) Pour tout (λ, µ) ∈ K2, On reprend les mêmes notations que dans la première démonstration : on se donne

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Démonstration (pour le quatrième) : Soit R → Df La composée, quand elle est définie, de deux fonctions continues est une Soit f lipschitzienne sur D Soit

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Dém : C'est la même démonstration que celle que l'on vient de faire □ L' ensemble des fonctions lipschitziennes de F(A, F) est un sous-espace vectoriel de C(A) ensemble des fonctions continues `a valeurs dans K = R ou C est une sous-

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une fonction continue sur A B , à valeurs dans R , telle ue On trouvera une démonstration très élémentaire, due à SHIFMAN, de ce lemme, dans le livre de 

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CHAPITRE 5Suites et fonctions5.1 Espaces vectoriels norm´es r´eels ou complexesIci,Kd´esigne soitR, soitC.

5.1.1 Normes et distances

D´efinition5.1.1.Norme, espace vectoriel norm´e SoitEun e.v. surK, on appelle norme surEtoute application (not´ee?.?ouN(.)) deEdansR+v´erifiant : (i)?x?E,?x?= 0?x= 0(on a en fait ´equivalence grˆace `a(ii)), (ii)?x?E,?λ?K,?λ.x?=|λ|.?x?, (iii)?(x,y)?E2,?x+y???x?+?y?. On dit alors que(E,?.?)est un espace vectoriel norm´e. S"il y a ambigu¨ıt´e on notera aussi?.?Ela norme surE. D´em : Six= 0 (vecteur nul) alors 0.x=x(0 ´el´ement neutre deK) donc, avec (ii), ?x?=?0.x?= 0?x?= 0 ce qui prouve la r´eciproque?

Exemples: NormesN1,N2etN∞

(i) SurKn(x= (xi)) :N1(x) =n? i=1|xi|,N2(x) =? n? i=1|xi|2,N∞(x) = sup i?[[1,n]]|xi|.

D´em :

•N1est une norme :N1:Kn→R+est imm´ediat. Montrons les autres propri´et´es : -SiN1(x) = 0 alors?i?[[1,n]],xi= 0 (si une somme de termes positifs est nulle alors tous ses termes sont nuls

1) doncx= 0.

-|λxi|=|λ|.|xi|donc, en additionnant, on aN1(λx) =|λ|N1(x). -De mˆeme|xi+yi|?|xi|+|yi|doncN1(x+y)?N1(x) +N1(y)

1Pour s"en convaincre, raisonner par l"absurde

257

258CHAPITRE 5. SUITES ET FONCTIONS

•N2est une norme :N2:Kn→R+est imm´ediat. Montrons les autres propri´et´es : -SiN2(x) = 0 alors?i?[[1,n]],x2i= 0 doncx= 0. -|λxi|=|λ|.|xi|donc N

2(λx) =????

n? i=1|λ|2.|xi|2 |λ|2n? i=1|xi|2 =|λ|N2(x). -L"in´egalit´e triangulaire a ´et´e vue au chapitre 4 avec l"in´egalit´e de

Minkowski.

•N∞:Kn→R+est imm´ediat. Montrons les autres propri´et´es : -SiN∞(x) = 0 alors?i?[[1,n]],xi= 0 car le sup est nul doncx= 0. -|λxi|=|λ|.|xi|donc, en passant au sup (qui est ici un maximum), on aN∞(λx) =|λ|N∞(x). -|xi+yi|?|xi|+|yi|?sup j|xj| =N∞(x)+sup j|yj| =N∞(y)doncN∞(x)+N∞(y) est un majorant de l"ensemble des|xi+yi|ce qui entraˆıne que sup i|xi+yi|=N∞(x+y)?N∞(x) +N∞(y)? (ibis) SurK[X] (avecP=n? i=0a iXi) :N1(P) =n? i=0|ai|,N2(P) =? n? i=0|ai|2, N ∞(P) = sup i?[[0,n]]|ai|. D´em : C"est la mˆeme d´emonstration que celle que l"on vientde faire? (ii) SurC([a,b]) :N1(f) =? b a |f(t)|dt,N2(f) =? ?b a |f(t)|2dt, N ∞(f) = sup t?[a,b]|f(t)|. D´em : PourN1, voir le th´eor`eme 5.53 page 332, pourN2, voir la proposition

5.4.2 page 334 et pour la norme infinie, voir le th´eor`eme 5.1page 260?

(iii) Sur?jo`uj? {1,2,∞}N1(u) =+∞? n=0|un|(sur?1),N2(u) =? n=0|un|2(sur?2), N ∞(u) = sup n?N|un|(sur?∞) cf. d´efinition 5.3.5 page 320. D´em : PourN1, on verra ceci avec les s´eries (mˆeme d´emonstration que pour le (i), cf. th´eor`eme 5.42 page 320), pourN2, voir aussi plus loin dans ce chapitre,

2est un espace de Hilbert (cf. th´eor`eme 5.43 page 320). Enfin, pourN∞, on

reprend la premi`ere d´emonstration (cf. th´eor`eme 5.4 page 266)? D´efinition5.1.2.Distance associ´ee `a une norme On d´efinit la distance entre deux points deEpard(x,y) =?x-y?.

5.1. ESPACES VECTORIELS NORM´ES R´EELS OU COMPLEXES259

Remarque5.1.1.dv´erifie :

(i)?(x,y)?E2,d(x,y) = 0?x=ys´eparation, (ii)?(x,y)?E2,d(x,y) = d(y,x)sym´etrie, (iii)?(x,y,z)?E3:d(x,y)?d(x,z) + d(z,y)in´egalit´e triangulaire. D´em : Ces trois propri´et´es sont simples `a prouver :

•d(x,y) = 0? ?x-y?= 0?x=y,

•d(x,y) =?x-y?=?y-x?= d(y,x),

•d(x,y) =?x-y?=?(x-z)+(z-y)???x-z?+?z-y?= d(x,z)+d(z,y)

D´efinition5.1.3.Boule ouverte, ferm´ee

L"ensemble B(a,r) ={x?E,d(a,x)< r}est appel´e boule ouverte de centrea, de rayonr >0, et l"ensemble B(a,r) ={x?E,d(a,x)?r}, boule ferm´ee de centrea, de rayonr. norme 2norme infinienorme 1

D´efinition5.1.4.Distance `a un ensemble

SoitAun ensemble non vide, alors on posed(x,A) = infy?Ad(x,y). D efinition5.1.5.

Vecteur unitaire

On dit quex?Eespace vectoriel norm´e est un vecteur unitaire ssid´ef?x?= 1(cela d´epend ´evidemment de la norme choisie).

Six?E\ {0}alorsu=x

?x?est appel´e vecteur unitaire associ´e `ax. Proposition5.1.1.SiEest un espace pr´ehilbertien (r´eel ou complexe), la norme euclidienne?x?=? (x|x)v´erifie?x?= sup ?y??1|(x|y)|. D´em : Six= 0 l"´egalit´e est imm´ediate, on se place donc dans le cas o`ux?= 0. On va montrer l"´egalit´e par double in´egalit´e :

260CHAPITRE 5. SUITES ET FONCTIONS

•Soity?Etel que?y??1 alors, par Cauchy-Schwarz, on a |(x|y)|??x?.?y???x? doncA={|(x|y)|,?y??1}est born´e par?x?d"o`u sup ?y??1|(x|y)|??x?.

•Soit maintenanty=x

?x?,?y?= 1 et|(x|y)|=?x?2?x?=?x?ce qui signifie que ?x? ?Adonc?x??supA= sup ?y??1|(x|y)|.

Conclusion : on a bien montr´e que?x?= sup

?y??1|(x|y)|?

D´efinition5.1.6.Ensemble born´e, diam`etre

On dit queA?=∅est un ensemble born´e ssid´efil existe une boule ferm´ee contenant

A. Dans ce cas, on parle du diam`etre deA:

δ(A) = sup

(x,y)?A2d(x,y).

D´em : Cette d´efinition est l´egitime carA?B(a,r) par d´efinition d"o`u, par in´egalit´e

triangulaire, d(x,y)?d(x,a) + d(a,y)?2rpour tout (x,y)?A2par cons´equent {d(x,y),(x,y)?A2}est major´e donc il poss`ede une borne sup´erieure? D´efinition5.1.7.Application born´ee, EnsembleB(A,F) SoientEetFsont deux e.v.n., on dit quef? F(A,F)o`uA?Eest une application born´ee ssi d´eff(A)est born´e dansF. L"ensemble des applications born´ees est not´eB(A,F). Th´eor`eme5.1.L"ensembleB(A,F) muni de la normeN∞(f) = sup x?A?f(x)?Fest un espace vectoriel norm´e. D´em : C"est la d´emonstration classique que l"on retrouve ici, on v´erifie les axiomes de la norme (on a ´evidemmentN∞(f)?R+),?.?Fd´esigne la norme surF.

•SiN∞(f) = 0 alors?x?A,f(x) = 0 soitf= 0.

•On utilise la propri´et´e

sup

α?Aλα=λsup

α?Aα

pourA?Retλ?0 : -λα?λsup

α?Aαest imm´ediat doncλsup

α?Aαest un majorant de l"ensemble

{λα, α?A}donc sup

α?Aλα?λsup

α?Aα.

-Siλ= 0, l"´egalit´e est imm´ediate, supposonsλ >0 alors, on applique l"in´egalit´e que l"on vient de montrer `aB={λα, α?A}etμ=1

λd"o`u

sup

β?Bμβ?μsup

sup

α?Aα?1

λsupα?Aλα

5.1. ESPACES VECTORIELS NORM´ES R´EELS OU COMPLEXES261

Cette derni`ere in´egalit´e permet de conclure `a l"´egalit´e en multipliant parλ. On prend alorsA={?f(x)?F, x?A}d"o`uN∞(λf) =|λ|N∞(f) (en rem- pla¸cantλpar|λ|et en utilisant la propri´et´e?λf(x)?F=|λ|.?f(x)?F). • ?f(x)+g(x)?F??f(x)?F+?g(x)?F?N∞(f)+N∞(g) doncN∞(f)+N∞(g) est un majorant de{?f(x) +g(x)?F, x?A}et par cons´equent N ∞(f+g)?N∞(f) +N∞(g); Conclusion :N∞est bien une norme surB(A,F) doncB(A,F) muni deN∞est bien un espace vectoriel norm´e?

D´efinition5.1.8.Application lipschitzienne

Soitk?R+, on dit quef:A?E→Festk-lipschitzienne ssid´ef ?f(x)-f(y)??k?x-y?. On dit quefest lipschitzienne ssid´ef?k?R+telle quefestk-lipschitzienne.

Proposition5.1.2.

La compos´ee de deux applications lipschitziennes est lipschitzienne. L"ensemble des fonctions lipschitziennes deF(A,F)est un sous-espace vectoriel de

F(A,F)

D´em : Notons Lip(A,F) l"ensemble des applications lipschitziennes deAdansF (notation non standard, utilis´ee de fa¸con ´episodique). •Soitf?Lip(A,F),g?Lip(B,G) avecf(A)?B(pour pouvoir d´efinirg◦f), A?EetB?F. On suppose quefestk-lipschitzienne etg h-lipschitzienne.

Alors, pour tout (x,y)?A2on a

doncg◦fest lipschitzienne. •Sifetgsont dans Lip(A,F) (ensemble non vide car l"application nulle en fait partie), sifestk-lipschitzienne etg h-lipschitzienne. Alors, pour tout (x,y)?A2et tout (λ,μ)?K2on a ?(λf+μg)(x)-(λf+μg)(y)?F=?λ(f(x)-f(y)) +μ(g(x)-g(y))?F ?|λ|.?f(x)-f(y)?F+|μ|.?g(x)-g(y)?F ?|λ|k?x-y?E+|μ|h?x-y?E ?(|λ|k+|μ|h)?x-y?E doncλf+μgest bien lipschitzienne?

Exemples:

(i) Les applicationsx?→ ?x?etx?→d(x,A) sont 1-lipschitziennes.

D´em :

262CHAPITRE 5. SUITES ET FONCTIONS

•On utilise l"in´egalit´e triangulaire :?x?=?(x-y) +y???x-y?+?y? d"o`u?x?-?y???x-y?et, par sym´etrie,?y?-?x???y-x?=?x-y?.

On a ainsi

-?x-y???x? - ?y???x-y? ce qui signifie que???x? - ?y?????x-y?(in´egalit´e tr`es importante) doncx?→ ?x?est 1-lipschitzienne.

•Pour tout (x,z)?E2et touty?Aon a

d(x,A)?d(x,y)?d(x,z) + d(z,y) donc d(x,A)-d(x,z)?d(z,y) donc d(x,A)-d(x,z) est un minorant de{d(z,y), y?A}(il ne d´epend pas dey) par cons´equent il est major´e par la borne inf´erieure de cet ensemble soit d(x,A)-d(x,z)?d(z,A) d"o`u d(x,A)-d(z,A)?d(x,z) =?x-z?. Par sym´etrie, comme dans la d´emonstration pr´ec´edente, on aquotesdbs_dbs13.pdfusesText_19