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uniformément continue Définition 2 2 Soit (X, d) et (Y,D) deux espaces métriques, et f : X → Y On dit que f est uniformément continue sur X si ∀ε > 0 ∃ δ > 0 

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6 jan 2012 · Cette définition dit qu'à partir de n0, ε est un majorant de {fn(x)−f(x), Si la convergence d'une suite de fonctions continues est uniforme, 

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Maintenant qu"on sait ce qu"est une distance, on peut définir la continuité pour des fonctions entre espaces

métriques, plutôt que deRdansR; c"est essentiellement la même chose, en remplaçant|x-y|(qui n"a a priori

pas de sens dans un espace métrique) pard(x,y). Définition 2.1.Soit(X,d)et(Y,D)deux espaces métriques,f:X→Yetx?X. On dit quefestcontinue enxsi : ?ε >0?δ >0?x??X d(x,x?)< δ?D(y,y?)< ε . On dit quefestcontinue surXsi elle est continue enxpour toutx?X, autrement dit : ?x?X?ε >0?δ >0?x??X d(x,x?)< δ?D(f(x),f(x?))< ε . Ou encore (l"ordre dans lequel on écrit les deux?ne change pas le sens de l"énoncé) : ?ε >0?x?X?δ >0?x??X d(x,x?)< δ?D(f(x),f(x?))< ε .

Il faut bien comprendre que, ci-dessus,δdépend deεet du pointxoù l"on se place. Une définition plus

forte imposerait que le mêmeδfonctionne pour tous lesx?Xsimultanément; dans ce cas, on dit quefest

uniformément continue.

Définition 2.2.Soit(X,d)et(Y,D)deux espaces métriques, etf:X→Y. On dit quefestuniformément

continue surXsi ?ε >0?δ >0?x?X?x??X d(x,x?)< δ?D(f(x),f(x?))< ε .

Par rapport à la définition de la continuité, on a remplacé "?x?X?δ >0" par "?δ >0?x?X" :δdépend

toujours deε, mais ne dépend plus dex. Toute fonction uniformément continue est continue, mais la réciproque

est fausse. Exercice 2.3.Montrer que la fonctionx?→x2n"est pas uniformément continue surR.

Exercice 2.4.Pour chacun des énoncés suivants, déterminer toutes les fonctionsf:R→Rqui le satisfont :

1.?δ >0?ε >0?x?X?x??X|x-x?[< δ? |f(x)-f(x?)|< ε.

2.?ε >0?x?X?x??X?δ >0|x-x?[< δ? |f(x)-f(x?)|< ε.

Définition 2.5.Soit(X,d)et(Y,D)deux espaces métriques. On dit quef:X→Yestlipschitziennes"il

existeK >0tel que Exercice 2.6.Montrer que toute fonction lipschitzienne est uniformément continue. x?R. Montrer quefest lipschitzienne.

Théorème 2.8.Soit(X,d)et(Y,D)deux espaces métriques,f:X→Yune fonction etx?X. Les propriétés

suivantes sont équivalentes : -fest continue enx. Pour toute suit e(xn)d"éléments deXqui converge versx, la suite(f(xn))converge versf(x).

Preuve:

Supposons tout d"abord quefest continue enx, et fixons une suite(xn)qui converge versxainsi ce qui prouve que(f(xn))converge versf(x). Réciproquement, supposons quefne soit pas continue enx: ?ε >0?δ >0?y?X d(x,x?)< δetd(f(x),f(y))≥ε . Fixonsε >0comme ci-dessus, et appliquons la propriété pourδ=1n : ceci nous donne une suite(yn) telle qued(x,yn)<1n pour toutn?N?(en particulier,(yn)converge versx) maisd(f(yn),f(x))≥ε (par conséquent,f(yn)ne converge pas versf(x)).

Théorème 2.9.Soit(X,d)et(Y,D)deux espaces métriques etf:X→Yune fonction. Les propriétés

suivantes sont équivalentes :

1.fest continue.

2.

Pour tout ouvert OdeY,f-1(O)est un ouvert deX.

3. Pour tout fermé FdeY,f-1(F)est un fermé deX. On rappelle quef-1(A) ={x?X:f(x)?A}désigne l"image inversedeAparf.

Preuve:

Supposons quefest continue, et soitOun ouvert deY. Fixonsx?f-1(O), et considérons une suite (xn)qui tend versx. Alorsf(xn)tend versf(x)puisquefest continue, doncf(xn)appartient àO pournsuffisamment grand puisquef(x)?OetOest ouvert. Par conséquent,xn?f-1(O)pourn suffisamment grand, ce qui nous montre quef-1(O)est ouvert, et on a montré que (1)?(2). Si (2) est vrai etFest fermé dansY, alorsY\Fest ouvert et par hypothèse on obtient que f -1(Y\F) =X\f-1(F)est ouvert dansX, autrement ditf-1(F)est fermé dansX. Ceci éta- blit l"implication (2)?(3), et en fait le même argument de passage au complémentaire donne l"implication réciproque (3)?(2).

Il nous reste à prouver que (2)?(1); supposons donc de nouveau que (2) soit vérifié, et considérons

x?Xetε >0. PuisqueB(f(x),ε)est un ouvert contenantf(x), son image inverse est par hypothèse

un ouvert contenantx, par conséquent il existeδ >0tel queB(x,δ)?f-1(B(f(x),ε)), c"est-à-dire :

?x??X d(x,x?)< δ→D(f(x),f(x?))< ε .

On a bien montré quefest continue.

On voit dans cette preuve qu"il vaut mieux être à l"aise avec les propriétés de l"image inverse par une

fonction... Ce sera aussi très important dans la partie du cours consacrée à la théorie de la mesure!

Exercice 2.10.SoitX,Ydeux ensembles,f:X→Yune fonction. Montrer que, pour toutA,B?Yon a f -1(A?B) =f-1(A)?f-1(B)etf-1(A∩B) =f-1(A)∩f-1(B).

Exercice 2.11.Déterminer des images inverses?

Proposition 2.12.Soit(X,dX),(Y,dY)et(Z,dZ)trois espaces métriques, ainsi quef:Y→Zetg:X→Y

deux fonctions continues. Alorsf◦g:X→Zest continue.

Preuve:

10 Fixonsε >0. Commefest continue, il existeδ1>0tel que pour touty,y??Yon aitdY(y,y?)<

1?dZ(f(y),f(y?))< ε. Puis, commegest continue, il existeδ2tel que pour toutx,x??Xon ait

d X(x,x?)< δ2?dY(g(x),g(x?))< δ1. On a alors, pour toutx,x??X: d X(x,x?)< δ2?dY(g(x),g(x?))< δ1?dZ(f(g(x)),f(g(x?))< ε .

On vient de prouver quef◦gest continue.

Exercice 2.13.On munitR2de la distance induite par? · ?∞, etRde sa distance usuelle. Montrer que les

fonctions(x,y)?→x+yet(x,y)?→xysont continues.

Exercice 2.14.Soit(X,d)un espace métrique etf,g:X→Rdeux fonctions continues. Montrer que la somme

f+get le produitfgsont également des fonctions continues. Exercice 2.15.Soit(X,dX),(Y,dY)et(Z,dZ)trois espaces métriques, ainsi quef:Y→Zetg:X→Y deux fonctions uniformément continues. Montrer quef◦g:X→Zest uniformément continue.

Tout comme la continuité, les notions de convergence simple/uniforme de suites de fonctions qu"on connaît

pour des fonctions deRdansRs"étendent sans difficultés aux fonctions entre espaces métriques.

Définition 2.16.Soit(X,d),(Y,D)deux espaces métriques, et(fn)une suite de fonctions deXdansY. On

dit que(fn)convergesimplementvers une fonctionf:X→Ysi pour toutx?Xla suite(fn(x))converge versf(x); autrement dit : ?x?X?ε >0?N?N?n≥N D(fn(x),f(x))< ε .

Ci-dessus,Ndépend à la fois deεet dex; comme dans la définition de la continuité, on pourrait demander

queNne dépende que deε, et on obtient ainsi la définition de la convergenceuniforme.

Définition 2.17.Soit(X,d),(Y,D)deux espaces métriques, et(fn)une suite de fonctions deXdansY. On

dit que(fn)convergeuniformémentvers une fonctionf:X→Ysi ?ε >0?N?N?x?X?n≥N D(fn(x),f(x))< ε .

Bien entendu, la convergence uniforme entraîne la convergence simple. La réciproque est fausse, comme le

montre l"exercice suivant. Exercice 2.18.Pour toutn?N?, on définitfn: [0,1]→[0,1]en posant f n(x) =?

0six≥1n

Pourn?N?, représenter le graphe de la fonctionfn, puis montrer que(fn)converge simplement vers une

fonctionfque l"on déterminera. La convergence est-ele uniforme?fest-elle continue?

On voit donc que la convergence simple ne préserve pas la continuité (ce qui sera une bonne raison, plus

tard, pour travailler avec des fonctionsmesurablesplutôt que des fonctions continues).

Proposition 2.19.Soit(X,d)et(Y,D)deux espaces métriques, et(fn)une suite de fonctions continues de

XdansY. Si(fn)converge uniformément versf:X→Yalorsfest continue.

Preuve:

toutx?X. Fixons un telN; commefNest continue, il existeδ >0tel que pour toutx??X, d(x,x?)< δ?D(fN(x),fN(x?))< ε.

11Alors on a, pour toutx??Xtel qued(x,x?)< δ:

= 3ε . Commeεétait quelconque, ceci suffit à démontrer quefest continue enx.

Exercice 2.20.Montrer qu"une limite uniforme de fonctions uniformément continues est uniformément conti-

nue.

Exercice 2.21.Soit(X,d)un espace métrique etf:X→[0,1]une fonction uniformément continue. Montrer

quefest une limite uniforme de fonctions lipschitziennes. 12quotesdbs_dbs35.pdfusesText_40