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SMIA 1

ANALYSE1

FONCTIONS REELLES :

Limite, Continuit´e et D´erivabilit´e

Universit´e Moulay Isma¨ıl

Facult´e des sciences

D´epartement de Math´ematiques

Hamam

Abdallah Maths stackexchange.com

a.hammam@fs.umi.ac.ma 1 2

Table des mati`eres

1 Limite d"une fonction r´eelle7

1.1 Quelques d´efinitions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.1.1 Domaine de d´efinition. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.1.2 Fonction croissante. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.1.3 Fonction Strictement croissante. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.1.4 Fonction d´ecroissante. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.1.5 Fonction Strictement d´ecroissante. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.1.6 Fonction major´ee. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.1.7 Fonction minor´ee. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.1.8 Fonction born´ee. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.1.9 Fonction paire-impaire. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.1.10 Fonction p´eriodique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.2 Limite d"une fonction en un point d"accumulation. . . . . . . . . . . . . . . 10

1.2.1 Point d"accumulation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.2.2 D´efinitions de la limite. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.2.3 Unicit´e de la limite. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.2.4 Limites Usuelles Tr`es Utiles. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.2.5 Caract´erisation s´equentielle de la limite. . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.2.6 Op´erations sur les limites de fonctions. . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.3 Le Passage `a la limite. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.3.1 Le Passage `a la limite ena+. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.3.2 Le Passage `a la limite ena-. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.3.3 La R`egle de l"encadrement ou des Gendarmes. . . . . . . . . . . . . 16

1.4 Le Retour de la limite. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.4.1 Le retour de la limite `a droite. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

1.4.2 Le retour de la limite `a gauche. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

1.4.3 Le retour de la limite en +∞. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

1.4.4 Le retour de la limite en-∞. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

1.5 Crit`ere de Cauchy de la limite ena. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

1.5.1Cas o`uaest fini. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

1.5.2Cas o`ua= +∞. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

1.5.3Cas o`ua=-∞. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

3

2 La continuit´e des fonctions r´eelles21

2.1 D´efinition de la continuit´e. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.2 Caract´erisation s´equentielle de la continuit´e. . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.3 Th´eor`eme des valeurs interm´ediaires. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2.3.1 Th´eor`eme des valeurs ext´erieures. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

2.3.2 Th´eor`eme de la bijection. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

2.4 Continuit´e uniforme et Th´eor`eme de Heine. . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

2.4.1 Continuit´e uniforme et continuit´e. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

2.4.2 Caract´erisation s´equentielle de continuit´e uniforme. . . . . . . . . . 28

2.4.3 Th´eor`eme de Heine. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

2.4.4 Prolongement d"une fonction uniform´ement continue. . . . . . . . . 30

2.5 Fonctions Lipschitziennes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

2.6 Th´eor`eme de la borne. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

3 D´erivabilit´e des fonctions r´eelles33

3.1 D´efinitions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

3.1.1 D´erivabilit´e en un point non isol´e du domaine de d´efinition. . . . . 33

3.1.2 D´erivabilit´e `a droite. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

3.1.3 D´erivabilit´e `a gauche. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

3.1.4 D´eriv´ees Usuelles. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

3.2 Op´erations sur les D´eriv´ees. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

3.2.1 D´eriv´ee de la somme. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

3.2.2 D´eriv´ee du produit. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

3.2.3 D´eriv´ee de quotient. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

3.2.4 D´eriv´ee de la compos´ee. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

3.2.5 D´eriv´ee de la r´eciproque. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

3.3 Fonctions trigonom´etriques et fonctions hyperboliques. . . . . . . . . . . . 40

3.3.1 Fonctions Hyperboliques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

3.3.2 Lien entre Formules Trigonom´etriques et Formules Hyperbolique. . 42

3.3.3 Fonctions trigonom´etriques inverses. . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

3.3.4 Fonctions Hyperboliques inverses. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

3.3.5 Th´eor`eme de Rolle. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

3.3.6 Le Th´eor`eme des Accroissements Finis : TAF. . . . . . . . . . . . . 47

4 LA RESOLUTION DES EQUATIONS DIFFICILES51

4.1 Introduction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

4.2 Comment ´etudier une suite r´ecurrente. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

4.2.1 Limites possibles ou probables. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

4.2.2 Position de la courbe deget de la premi`ere bissectrice. . . . . . . . 52

4.2.3 Cas o`ufest croissante surI. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

4.2.4 Cas o`ufest d´ecroissante surI. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

4.2.5 Utilisation du th´eor`eme des accroissements finis : TAF. . . . . . . . 55

4 Toutes les remarques par e-mail, venant de votre part serontles bienvenues. 5 6

Chapitre 1

Limite d"une fonction r´eelle

1.1 Quelques d´efinitions

1.1.1 Domaine de d´efinition

Une application deRversRest une correspondance entre chaque ´el´ementxdeRavec un ´el´ement deRnot´ef(x) qui repr´esente l"image dex. Une fonction deRversRest une application d"une partie deR, appel´ee "domaine de d´efinition" not´ee en g´en´eralDfvers l"ensembleR.

En d"autres termes

D f={x?R:f(x) existe}. Dans la plupart des cas qui nous int´eressent, le domaine de d´efinitionDfest un intervalle I.L"ensemble{f(x), x?Df}est appel´e ensemble image de la fonctionf.

Exemple

La fonctionf:x?→⎷

x-1 a pour domaine de d´efinitionDf= [1,+∞[. L"ensemble image de la fonction d´efinie surRparx?→x2-3 sera alors [-3,+∞[

1.1.2 Fonction croissante

On dit qu"une fonctionfest croissante sur une partieA?Df ??(?(x,y)?A2)x?=y=?f(x)-f(y) x-y≥0

Cons´equence

Sifest croissante surA, alors

(?(x,y)?A2)?

1.1.3 Fonction Strictement croissante

On dit qu"une fonctionfest strictement croissante sur une partieA?Df 7 y1 0,8 0,6 0,4 0,2 x 0 43210
Figure1.1 - Le domaine de cette fonction est [1,3]. ??(?(x,y)?A2)x?=y=?f(x)-f(y) x-y>0

Cons´equence

Sifest strictemeent croissante surA, alors

(?(x,y)?A2)? x < y=?f(x)< f(y)?

1.1.4 Fonction d´ecroissante

On dit qu"une fonctionfest d´ecroissante sur une partieA?Df ??(?(x,y)?A2)x?=y=?f(x)-f(y)

Cons´equence

Sifest d´ecroissante surA, alors

(?(x,y)?A2)? x < y=?f(x)≥f(y)?

1.1.5 Fonction Strictement d´ecroissante

On dit qu"une fonctionfest strictement d´ecroissante sur une partieA?Df ??(?(x,y)?A2)x?=y=?f(x)-f(y) x-y<0 8

Cons´equence

Sifest strictement d´ecroissante surA, alors

(?(x,y)?A2)? x < y=?f(x)> f(y)?

1.1.6 Fonction major´ee

On dit qu"une fonctionfest major´ee sur une partieA?Dfquotesdbs_dbs7.pdfusesText_5