Soit I un intervalle de R et f une fonction numérique dérivable sur I • f est croissante sur I si et seulement si la fonction dérivée f/ est positive ou nulle sur I strictement croissante sur ]0,+∞[ car sa dérivée est donnée pour tout x > 0 par exp/(a ln(x)) × (a On peut en fait démontrer ce résultat de deux façons On le fait par
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Démontrer que la fonction f définie sur R par f (x) = x2 − 8x + 3 est strictement croissante sur l'intervalle 4;+∞⎡⎣⎡⎣ Soit a et b deux nombres réels tels que : 4
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En langage plus formel, ça donne On dit qu'une fonction f est strictement croissante ssi pour x et y dans le Exo 2 Donner un exemple de fonction décroissante non strictement On dit que I est un intervalle de stricte monotonie de f ssi
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Montrer que cette fonction est continue sur D Par conséquent, P est strictement croissante, donc, d'après le théorème intermédiaires prouve que l' image de R par la fonction P est l'intervalle ]−∞, +∞[, Réponse : On se donne un réel x
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2) Cas d'une fonction dérivable ou monotone sur un intervalle I de IR : a) Observation des fonctions de référence : x ↦ x² Tableau de variation : f est croissante
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Définition : Définir une fonction f sur un intervalle [a ; b], c'est donner un Définition : Dire que f est une fonction croissante sur l'intervalle [a ; b] signifie que pour
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Une fonction f est croissante sur un intervalle I signifie que : pour tous réels II) Variation des fonctions de référence ; traduction en inégalités Sens de variation
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Soit I un intervalle de R et f une fonction numérique dérivable sur I • f est croissante sur I si et seulement si la fonction dérivée f/ est positive ou nulle sur I strictement croissante sur ]0,+∞[ car sa dérivée est donnée pour tout x > 0 par exp/(a ln(x)) × (a On peut en fait démontrer ce résultat de deux façons On le fait par
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Étudier les variations d'une fonction sur la réunion de deux intervalles à partir et un intervalle J non vides, alors f est-elle une fonction croissante Démontrer que, pour tout réel x de I, on a : f (x) ≤ f (b) On donne la définition suivante :
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déjà assimilé le chapitre sur les suites, mais ce n'est pas indispensable Table des matières Il suffit de montrer séparément que les deux fonctions f(g−l ) et (f −l)l tendent vers 0, d'après le définitions différentes que nous devons donner Soit ]a, b[ un intervalle ouvert, et f une fonction croissante sur ]a, b[ Les limites
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"?x?I, f?(x)>0"?"?x?I,?y?I,[x < y?f(x)< f(y)]" ???? ?? ????? ???I? ???I? ???? ???? ????x >0?ln?(x) =1x exp ?(aln(x))×(aln(x))?= exp(aln(x))×ax =xa×ax =axa-1 ?????? ???R?? ????? ?? ?? ???? ??? ??????? ???R? f ?(x) =-1x 2 (g◦f)?(x) =g?(f(x))f?(x) ?- || -0 +0||+∞+∞ f? || ? ? -∞ ||1xy x?I? ???? ?? ??? ?? ??????? ??f???I????f(c)? f π2 ??3π2 π2