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+∞ variations de f(x) = x3 la fonction cube : x ↦− → x3 semble sur 3 tableau de signes de la fonction cube : valeur de x −∞ 0 +∞ signe de f(x) = x3
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Tableau de signe de f(x) en fonction de x : • a > 0 • a < 0 Remarque : La courbe représentant la fonction cube admet l'origine du repère comme centre de
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Conclusion : si deux nombres sont de même signe, la fonction cube préserve leur ordre On constate (voir tableau précédent au 1°) que 2 est l'opposé de 2
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Pour déterminer les variations de la fonction cube, on considère deux nombres réels a et b tels que 0 a < b ; alors a3 – b3 = (a – b)(a2 + ab + b2) ; le signe de a Propriété : cette propriété se déduit du tableau de variations de la fonction
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On résume les variations dans un tableau de variations NB : On peut dresser aussi le tableau de signes de la fonction qui nous donne le signe de f(x) suivant
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À la découverte de la fonction cube problème, utiliser le signe de la Il s'agit dans un premier temps de déterminer le sens de variation de la fonction f définie par On pourra demander aux élèves de compléter le tableau de valeurs
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Si f est une fonction dérivable sur un intervalle I de IR et si sa dérivée est nulle sur I Contre–exemple : La fonction cube a une dérivée qui s'annule pour x = 0
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Quand augmente, 3 augmente, la fonction cube est croissante sur ℝ Tableau de signes et 3 ont le même signe Ils sont tous les deux positifs
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Étudier le signe de la fonction polynôme f définie sur ℝ par : En appliquant la règle des signes dans le tableau suivant, on pourra en déduire le signe du
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Déterminer le signe d'une fonction f c'est déterminer l'intervalle (l'ensemble des x ) sur lequel f est positive et Tableau de variations de la fonction inverse : Preuve : Propriété : La fonction cube est strictement croissante sur ℝ par
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