Pour déterminer les variations de la fonction cube, on considère deux nombres réels a et b tels que 0 a < b ; alors a3 – b3 = (a – b)(a2 + ab + b2) ; le signe de a Propriété : cette propriété se déduit du tableau de variations de la fonction
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+∞ variations de f(x) = x3 la fonction cube : x ↦− → x3 semble sur 3 tableau de signes de la fonction cube : valeur de x −∞ 0 +∞ signe de f(x) = x3
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Tableau de signe de f(x) en fonction de x : • a > 0 • a < 0 Remarque : La courbe représentant la fonction cube admet l'origine du repère comme centre de
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Conclusion : si deux nombres sont de même signe, la fonction cube préserve leur ordre On constate (voir tableau précédent au 1°) que 2 est l'opposé de 2
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Pour déterminer les variations de la fonction cube, on considère deux nombres réels a et b tels que 0 a < b ; alors a3 – b3 = (a – b)(a2 + ab + b2) ; le signe de a Propriété : cette propriété se déduit du tableau de variations de la fonction
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On résume les variations dans un tableau de variations NB : On peut dresser aussi le tableau de signes de la fonction qui nous donne le signe de f(x) suivant
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À la découverte de la fonction cube problème, utiliser le signe de la Il s'agit dans un premier temps de déterminer le sens de variation de la fonction f définie par On pourra demander aux élèves de compléter le tableau de valeurs
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Déterminer le signe d'une fonction f c'est déterminer l'intervalle (l'ensemble des x ) sur lequel f est positive et Tableau de variations de la fonction inverse : Preuve : Propriété : La fonction cube est strictement croissante sur ℝ par
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COURS TERMINALE STD2A LES FONCTIONS DE RÉFÉRENCE
1. La fonction cube
a) Définition : C"est la fonction f définie sur ℝ par f(x) = x3 .Elle associe à un nombre réel son cube.
b) Variations : On utilise l"identité remarquable : a3 - b3 = (a - b)(a2 + ab + b2). Pour déterminer les variations de la fonction cube, on considère deux nombres réels a et b tels que 0 a < b ; alors a3 - b3 = (a - b)(a2 + ab + b2) ; le signe de a - b est strictement négatif puisque si a < b alors a - b < 0, et le signe de a2 + ab + b2 est strictement positif puisque 0 a < b. Le produit est donc négatif et a3 < b3 . La fonction cube conserve l"ordre des nombres sur [0 ; +∞ [, donc c"est une fonction strictement croissante sur [0 ; +∞ [.De même, si a < b
0 ; alors a3 - b3 = (a - b)(a2 + ab + b2) ; le signe de a - b est strictement négatif , et le signe de a2 + ab + b2 est strictement positif car somme de nombres positifs. Le produit est donc négatif et a3 < b3 . La fonction cube conserve l"ordre des nombres sur ] - ∞; 0], donc c"est une fonction strictement croissante sur ] - ∞; 0]. Elle est donc strictement croissante sur ℝ. c) Tableau de variations :On obtient alors le tableau de variations :
Il n"y a pas d"extremum.
d) Représentation graphique :La courbe représentative de la fonction
cube est appelée une cubique. Cette courbe admet un centre de symétrie, le point O origine du repère.En effet, pour un réel x , (- x)3 = - x3 . Le point M(x ; x3 ) et le point M"(- x ; - x3 ) sont symétriques par rapport au
point O. e) Comparaison de nombres et inéquations :Propriété
: cette propriété se déduit du tableau de variations de la fonction cube : pour tous réels a et b, si a b , alors : a3 b3 . Les cubes de deux nombres sont rangés dans le même ordre que ces deux nombres. Démonstration : on considère deux nombres réels a et b tels que a < b ; alors a3 - b3 = (a - b)(a2 + ab + b2) ; deux cas se présentent : si les deux nombres a et b sont positifs, alors a2 + ab + b2 est strictement positif si les deux nombres a et b sont négatifs, alors a2 + ab + b2 est aussi strictement positif (produit des signes et somme). Donc dans les deux cas, a2 + ab + b2 est strictement positif ; de plus (a - b) < 0 puisque a < b ; donc le produit (a - b)(a2 + ab + b2) est négatif, et a3 - b3 < 0, soit a3 b3 . f) Comparaison des réels x, x2 , x3 pour x > 0 :Propriété
: si 0 x 1 , alors x3 x2 x ; si x > 1 , alors x x2 x3 .La démonstration sera faite en exercice.
g) Fonction dérivée : La fonction dérivée de la fonction cube est la fonction définie sur ℝ par 3x2 . Cette fonction est positive sur donc la fonction est croissante sur .ℝ ℝ La tangente à la courbe au point d"abscisse 0 est horizontale.La tangente à la courbe en un point d"abscisse non nulle admet une tangente parallèle au point d"abscisse opposée.
x- ∞ +∞ f(x)+∞