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Fonctions de référence 1/4 FONCTIONS DE REFERENCE I) Fonctions affines Définition : La fonctio définie sur R par f(x) = ax + b est appelée fonction affine.
Représentation graphique : Dans un repère, la représentation graphique de la fonctio définie par f(x) = ax + b est la droite D d'équation y = ax + b. Le nombre a est le coefficient directeur de D. Le nombre b, qui est égal à f(0), est l'ordonnée à l'origine.
Cas particuliers :
· a = 0 : pour tout x réel, on a alors f(x) = b ; f est dans ce cas une fonction dite constante représentée par une droite
parallèle à l'axe des abscisses d'équation y = b.· b = 0 : pour tout x réel, on a alors f(x) = ax ; f est dans ce cas une fonction linéaire représentée par une droite
passant par l'origine du repère. Sens de variation : Soit f une fonction affine définie sur R par f()xaxb=+.· Si a > 0, alors f est croissante sur R.
O baxy+=:Db · Si a < 0, alors f est décroissante sur R. O b baxy+=:D· Si a = 0, alors f est constante sur R. Conséquence graphique et tableau de variation : · Si a > 0, la droite D " monte ». · Si a < 0, la droite D " descend ».Signe : Soit f une fonction affine définie sur R par f()xaxb=+ avec a ' 0, f(x) est du signe de a pour les valeurs de x supérieures à la valeur x0 qui annule la fonction f.
Tableau de signe de f(x) en fonction de x : · a > 0 · a < 0Remarque : La valeur x0 qui annule la fonctio est l'antécédent de 0 par f, mais aussi la solution de l'équation
f(x) = 0, c'est-à-dire de l'équation 0=+bax. x0 est l'abscisse du point d'intersection de D et de l'axe des abscisses. x -¥ +¥ Variation
de f x -¥ +¥ Variation de f x -¥ x0 +¥ Signe de ax + b x -¥ x0 +¥ Signe de ax + b 0 0 Fonctions de référence 2/4 II) Fonction carré Définition : on appelle fonction carré la fonction 2f:xxadéfinie sur R.Remarques :
Tout réel admet un carré ; l'ensemble de définition de la fonction carré est donc R. On a noté f la fonction carré, donc f(3) = 9 et f(.3) = 9, alors 9 a deux antécédents par la fonction carré. L'équation 29x= admet deux solutions qui sont .3 et 3.
Lorsqu'on représente dans un repère les points de coordonnées (x ; 2x), on obtient la représentation graphique de la fonction carré.Représentation graphique : Dans un repère, la représentation graphique de la fonction carré est une courbe appelée parabole ; son équation est 2yx=.
Remarques :
La parabole représentant la fonction carré admet l'axe des ordonnées comme axe de symétrie ; on dit que la fonction carré est paire. La parabole d'équation 2yx= est située au dessus de l'axe des abscisses.Sens de variation : · La fonction carré est croissante sur R+ = [0 ;+¥[ ; · La fonction carré est décroissante sur R- = ]-¥ ; 0].
Tableau de variation :
La fonction carré possède un minimum 0 atteint pour x = 0 (en 0), c'est-à-dire : pour tout x Î R , on a : ()()ff0x³
soit20x³.
Signe : La fonction carré est positive ; pour tout x S R, 20x³.Tableau de signe de 2x en fonction de x :
Méthodes algébriques
Equations 2xk= : · Lorsque k > 0, l'équation 2xk= admet deux solutions k- et k. · Pour k = 0 , l'équation 20x= a une seule solution 0. · Lorsque k < 0, l'équation 2xk= n'a pas de solution.
Inéquations 2xk< (ou 2xk>), k étant un réel positif : L'inéquation est du seconde degré, on transforme l'écriture : 2xk< équivaut à
20xk-<. On factorise2xk- en utilisant l'identité remarquable
22()()ababab-=-+ en écrivant k comme un carré. On
obtient ainsi une inéquation produit. Pour résoudre l'inéquation produit, on utilise un tableau de signe dans lequel on étudie le signe de chaque facteur du 1er degré pour en déduire le signe du produit. " On utilise le tableau pour déterminer l'ensemble solution. x -¥ 0 +¥ Variation
de la fonction carré 0 x -¥ 0 +¥Signe de 2x
O 1 1 2yx=
0 Fonctions de référence 3/4 · Un exemple traité : Résoudre l'inéquation 29x<.29x< équivaut à
290x-<.
On factorise ; l'inéquation devient 2230x-< soit (3)(3)0xx-+<. On étudie le signe du produit (3)(3)xx-+ dans un tableau.30x-= pour x = 3.
30x+= pour x= .3.
à On revient à l'inéquation produit (3)(3)0xx-+< : le " < 0 » signifie (3)(3)xx-+ de signe - . Il s'agit de lire,
dans le cadre des x, l'intervalle correspondant au(x) signe(s) - de la dernière ligne du tableau (ligne du produit bien sûr).
L'ensemble solution de l'inéquation (3)(3)0xx-+< (ou29x<) est donc l'intervalle ].3 ; 3[ où les crochets sont
ouverts car les valeurs .3 et 3 ne sont pas solutions (on a inférieur strict à 0).· Comment résoudre l'inéquation29x³. Cette inéquation se ramène à l'inéquation produit (3)(3)0xx-+³. Il s'agit
de la même étude que précédemment : seul le signe d'inégalité est changé. Le " ? 0 » signifie de signe + .
L'ensemble solution de l'inéquation 29x³ est donc ]-¥ ; .3] U [3 ;+¥[ où les crochets sont fermés car les valeurs .3 et
3 sont solutions.
III) Fonction cube
Définition : on appelle fonction cube la fonction 3f:xxadéfinie sur R. Lorsqu'on représente dans un repère les points de coordonnées (x ; 3x), on obtient la représentation graphique de la fonction cube. Remarque : La courbe représentant la fonction cube admet l'origine du repère comme centre de symétrie ; on dit que la fonction cube est impaire. Sens de variation : La fonction cube est strictement croissante sur R.Tableau de variation :
Signe : La fonction cube est négative sur ].o ; 0] et positive sur [0 ;+¥[.Tableau de signe de 3x en fonction de x :
x -¥ .3 3 +¥ signe de 3x- signe de 3x+ signe du produit ()()33xx-+ x -¥ 0 +¥ Variation de la fonction cube x -¥ 0 +¥Signe de 3x Inéquation produit 0
O 1 1 3yx=0 0
0 0 0 Fonctions de référence 4/4 Méthode algébrique Equations 3xk= : Quel que soit le réel k, l'équation3xk= admet une solution unique 3k (racine cubique de k).
Remarque : On peut calculer 3k en élevant k à la puissance 13.Inéquations 3xk< (ou 3xk>) : On effectuera une résolution graphique en utilisant la représentation graphique de la fonction cube ou son tableau de variation.
Exemple :
IV) Comparaison de deux fonctions de référenceSoit f et g deux fonctions de référence.
Méthode graphique :
On trace les représentations graphiques de f et g. On marque les points d'intersection des deux courbes. On note la position relative d'une courbe par rapport à l'autre. " On détermine, sur l'axe des abscisses, les intervalles des deux situations f(x) ; g(x) ou g(x) ; f(x).
Méthode algébrique :
On calcule la différence f()()xgx-. On établit le signe de f()()xgx- dans un tableau. · Sur le (ou les) intervalle(s) où f()()xgx- est négatif ou nul, on a : · Sur le (ou les) intervalle(s) où f()()xgx- est positif ou nul, on a :
Remarques :
Lorsque f et g sont deux fonctions affines, f()()xgx- est aussi affine, donc l'étude de son signe est aisée.
Lorsque l'une des deux fonctions est soit la fonction carré, soit la fonction cube, il est alors nécessaire de
.................................... pour déterminer le signe de f()()xgx-.quotesdbs_dbs35.pdfusesText_40