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+∞ variations de f(x) = x3 la fonction cube : x ↦− → x3 semble sur 3 tableau de signes de la fonction cube : valeur de x −∞ 0 +∞ signe de f(x) = x3

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Tableau de signe de f(x) en fonction de x : • a > 0 • a < 0 Remarque : La courbe représentant la fonction cube admet l'origine du repère comme centre de  

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Conclusion : si deux nombres sont de même signe, la fonction cube préserve leur ordre On constate (voir tableau précédent au 1°) que 2 est l'opposé de 2

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Fonction Cube

Table des matières

1 fonction cube2

1.1 Activité : Fonction Cube : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . .3

1.2 corrigé activité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . .5

1.3 à retenir à compléter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . .7

1.4 exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . .11

1.5 corrigé exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . .13

2 devoir maison17

2.1 devoir maison 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . .17

2.2 corrigé devoir maison 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . .20

3 tp logiciel de calcul formel23

3.1 tp1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . .23

3.2 tp2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . .26

3.3 corrigé tp1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . .30

1

1 fonction cube

1.1 Activité : Fonction Cube :

un cube de coté de mesurex= 1cma un volume de mesuref(1) = = =cm3 un cube de coté de mesurex= 1,5cma un volume de mesuref(1,5) = =cm3 le volume du cube est donné en fonction dexpar la formulef(x) =(encm3)

1. untableau de valeurde la fonction cube :

x-3-2,5-2-1,5-1-0,500,511,522,53 f(x) =x3-3,375-1-0,12500,1253,375 Il semble que pour toutx?R,f(-x) =...(fonction impaire) -5 -10 -15 -20 -25 -305

10152025

1 2-1-2-3

xy xcourbe de la fonction cube sur[-3;3] ??2.tableau de variationsde la fonction cube : valeur dex-∞+∞ variations def(x) =x3 la fonction cube :x?-→x3 semble...sur...

3.tableau de signesde la fonction cube :

valeur dex-∞0+∞ signe def(x) =x3 x3= 0??... x

3>0??...

x

3<0??...

x

3a le même...quex

4. lacourbede la fonction cube admet pourcentre de symétriele point...

5.extremumsde la fonction cube pourx?]- ∞; +∞[:

sur]- ∞;+∞[, le minimum de la fonction cube est...il est atteint pour sur]- ∞;+∞[, le maximum de la fonction cube est...il est atteint pour

6.équationset fonction cube

la résolution de l"équationx3= 15donne graphiquement : ... la résolution de l"équationx3= 15donne algébriquement :

7.inéquationset fonction cube

la résolution de l"inéquationx3<-10donne graphiquement : ... la résolution de l"inéquationx3<-10donne algébriquement : Équation à Résoudre Équation à Résoudre x

3= 4pourx=?x3=-4pourx=?

-1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -81

234567

1-1-2 xy O -1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -81

234567

1-1-2 xy O

S=...S=...

Inéquation à Résoudre Inéquation à Résoudre x

3<3pourx=?x3≥3pourx=?

-1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -81

234567

1-1-2 xy O -1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -81

234567

1-1-2 xy O

S=...S=...

Inéquation à Résoudre Graphiquement Inéquation à RésoudreGraphiquement x -1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -81

234567

1-1-2 xy O -1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -81

234567

1-1-2 xy O

S=...S=...

1.2 corrigé activité

un cube de coté de mesurex= 1cma un volume de mesuref(1) = 1×1×1 =????13= 1cm3 un cube de coté de mesurex= 1,5cma un volume de mesuref(1,5) =????1,53= 3,375cm3 le volume du cube est donné en fonction dexpar la formule? ???f(x) =x3(encm3)

1. un tableau de valeur de la fonction cube :

x-3-2,5-2-1,5-1-0,500,511,522,53 x3 ???-27 ???-15,625 ???-8-3,375-1-0,12500,12513,375 ???8 ???15,625 ???27 -5 -10 -15 -20 -25 -305

10152025

1 2-1-2-3

xcourbe de la fonction cube sur[-3;3]y 15 5

2. tableau de variations de la fonction cube :

valeur dex-∞+∞ variations def(x) =x3? la fonction cube :x?-→x3 est? ???strictement croissantesurR

3. tableau de signes de la fonction cube :

valeur dex-∞0+∞ signe def(x) =x3- 0 + ?x

3= 0??x= 0

x

3>0??x >0

x

3<0??x <0?

???x3a le mêmesignequexsurR

4. la courbe de la fonction cube admet pour centre de symétriele point?

???O, origine du repère .

5. extremums de la fonction cube pourx?]- ∞; +∞[:

sur ???]- ∞;+∞[, le????minimum de la fonction cube est????inexistant , il n"est atteint pour aucune valeur dex. sur ???]- ∞;+∞[, le????maximum de la fonction cube est????inexistant , il n"est atteint pour aucune valeur dex.

6. équations et fonction cube

la résolution de l"équationx3= 15donne graphiquement :x?2,5soit? ???S? {2,5} la résolution de l"équationx3= 15donne algébriquement : x

3= 15??x= 151

3=3⎷15?2,47soit????S={3⎷15}

la résolution de l"équationx3= 20donne graphiquement :x?2,5soit? ???S? {2,7} la résolution de l"équationx3= 20donne algébriquement : x

3= 20??x= 201

3=3⎷20?2,71soit????S={3⎷20}

7. inéquations et fonction cube

la résolution de l"inéquationx3<5donne :? ???S=]- ∞;3⎷5[?]- ∞;1,71[ la résolution de l"inéquationx3>5donne :? ???S=]3⎷5;+∞;[?]1,71;+∞[ la résolution de l"inéquationx3<-10donne :? ???S=]- ∞;3⎷-10[?]- ∞;-2,15[ la résolution de l"inéquationx3>-10donne :?

1.3 à retenir à compléter

Définition 1:(cube d"un nombre réel)

Quel que soit le nombre réelx?R,????yest le cube dex??????y=x×x×x=x3

•Le cube de0vaut :...

•Le cube de1vaut :...

•Le cube de3vaut :...

•Le cube de-3vaut :...

•Le cube de0,5vaut :...

•Le cube de0,1vaut :...•Le cube de-1,5vaut :...

•Le cube de2

3vaut :...

•Le cube de-1

5vaut :...

•Le cube de⎷

2vaut :...

•Le cube de-⎷

3vaut :...

•Le cube de10

⎷5vaut :...

Définition 2

:(fonction cube)

Quelle que soit la fonctionf,?

???fest la "fonction cube"??????quel que soitx?R,f(x) =x3

Soitfla fonction cube :

•f(-1) =...•f(2

7) =...•f(⎷

2) =...

Définition 3

:(courbe de la fonction cube)

Soitfla "fonction cube".

Quel que soit le repère orthogonal(O;I,J)du plan. La courbe????Cfd"équation????y=f(x)c"est à dire d"équation????y=x3 est? ???Une Cubique dont????les coordonnées(x;y)des points vérifient l"équationy=x3

Autrement dit :?

???M(xM;yM)?Cf??????yM=f(xM)??????yM=x3M x 0y x My MMC f

Soitfla fonction cube :

•A(-3 ; 27)... Cfcar...

•B(0,1 ; 0,001)... Cfcar...

Définition 4

:(fonction IMPAIRE)

Quelle que soit la fonctionfdéfinie surR,

1)????fest "IMPAIRE"??????Quel que soitx?R,????f(-x) =-f(x)

2)????fest "IMPAIRE"??????CfadmetOpour centre de symétrie

-x xf(-x)y O f(x) •Soit la fonctionftelle que, quel que soitx?R,f(x) = 2x fest-elle Impaire?

Propriété 1

:(Parité de la fonction cube)? ???La fonction cube est IMPAIRE et????sa cubique admetOcomme centre de symétrie

Preuve :

Propriété 2:(Équations avecx3)

Quel que soit le nombre réela?R,

???x3=a??x=a13=3⎷asoit????S={3⎷a}(3⎷aest la"racine cubique dea") x 0y 3 aa MC f

Résoudre chacune des équations dansR

(a) ???x3= 27 (b) ???x3=-27 ...(c) ???x3= 10 (d) ???x3=-10

Propriété 3

:(Inéquations avecx3)

Quel que soit le nombre réela

???x3> a??x >-3⎷asoit????S=]3⎷a; +∞[ x 0y 3 aa MC f

Résoudre chacune des inéquations dansR

(a) ???x3<8 ...(b) ????x3>8

Propriété 4:(Ordre et cube)

(1) Quels que soient les réelsaetb,????a < bÉquivaut à????a3... b3? ???Élever au cube les deux membres d"une inégalité entre deux????nombres quelconques? ???ne change pas le sens de l"... valeur dex-∞+∞ variations def(x) =x3... x 0y a a 3 bb 3C f la fonction cube est strictement ... surR la fonction cube n"admet...????Minimum ou????Maximum pourx?R

1. deux nombres quelconques sont rangés dans ... ordre que leurs cubes respectifs

2. quel que soitx?R, six <-10alorsx3...

3. quel que soitx?R, six >9alorsx3...

4. Soitfla fonction cube, compléter les déductions logiques ci dessous

(a)10...5doncf(10)... f(5) (b)2,3...3,2doncf(2,3)... f(3,2) (c)-10...-5doncf(-10)... f(-5)(d) 2

3...32doncf(23)... f(32)

(e)-5

6...-43doncf(-56)... f(-43)

(f)-π ...-⎷

2doncf(-π)... f(⎷2)

Propriété 5

:(Signe et cube) ???x3= 0?x= 0 ???x3>0?x >0 ???x3<0?x <0? ???x3etxont le même signe valeur dex-∞...+∞ signe def(x) =x3... ... ...x 0y Cf un cube d"un nombre réel est toujours ... Compléter les inégalités suivantes sans calculer (a)(-7)3...0 (b)-(33)...0 (c)-33...0 (d)-2×73...0 (e)(-2×7)3...0 (f)2×(-7)3...0 (g)-2×(-73)...0 (h)-2×(-7)3...0

1.4 exercices

exercice 1 : une mine produitxkg d"un minerais par jour,x?[ 0 ; 10 ](xvarie selon les jours) le coût total d"extraction de cesxkg est donné parC(x) =x3oùCest en euros. chaque kg est vendu 81 euros, soit pourxkg vendus, une recette deR(x) = 81xeuros.

le bénéfice associé à la fabrication et à la vente dexkg est donné parB(x) =R(x)-C(x)

a. détailler les calculs deC(5),R(5),B(5)et en déduire si une production de 5kg est rentable. b. justifier si une production de 10kg est rentable. c. compléter le tableau de valeurs puis construire les courbes des fonctionsCetRdans le repère donné. x012345678910

C(x) =x3

R(x) = 81x

0 -100 -200100

200300400500600700800900

1 2 3 4 5 6 7 8 9xy

d. déterminer graphiquement et algébriquement à 0,1 kg près, la production qui assure une

recette de 400 euros, en déduire le bénéfice réalisé à l"euro près. e. déterminer graphiquement et algébriquement à 0,1 kg près, la production qui assure un coût d"au moins 500 euros. f. déterminer graphiquement l"intervalle des productionsqui assurent un bénéfice positif. montrer queB(x) =x(9-x)(9 +x)et retrouver algébriquement l"intervalle précédent. g. déterminer graphiquement la production qui assure un bénéfice maximal. h. compléter le tableau de valeurs suivant puis construire la courbe deBdans le repère précédent, puis donner les tableaux de signes et de variations puis les extremums deB pourx?[ 0 ; 10 ](localiser la production optimale à la calculatrice à 0,1 près ) x012345678910 B(x) ces résultats sont-ils cohérents avec les résultats des questions f. et g.? i. calculer le bénéfice mensuel (30 jours) pour la productionoptimale. exercice 2 : Une entreprise fabrique et vend un certain produit

Chaque kilogramme fabriqué coûte à l"entreprise 1,5e(coût unitaire de production = 1,5e/kg)

Une étude a montré que mensuellement et en moyenne : ?pour un prix unitaire de vente de3,5e/kg, il y a326ventes de conditionnement1kg?pour chaque baisse de0,1e/kg du prix unitaire vente on augmente le conditionnement de1kg et il y a10ventes en moins Le responsable des ventes souhaite déterminer l"effet de la baisse de prix sur le bénéfice des ventes et on appellexle nombre de fois où l"on baisse le prix de0,1e/kg par rapport à

3,5e/kg

1.(a) montrer que six= 0alors : recette =1141e, coût =489eet bénéfice =652e

(b) montrer que six= 1alors : bénéfice =1200,8e (c) montrer que le bénéfice est donné en fonction dexparB(x) = (326-10x)(1+x)(2-0,1x)

2. on utilise un logiciel de calcul formel.

à plusieurs reprises on entre une commande et le logiciel renvoie une réponse on obtient l"écran suivant : (commande 1)developper((326-10x)(1 +x)(2-0,1x)) (réponse 1)1.0?x3+-51.6?x2+ 599.4?x+ 652 (commande 2)resoudre((326-10x)(1 +x)(2-0,1x) = 0,x) (réponse 2)[-1,20.0,163

5](commande 3)resoudre((326-10x)(1 +x)(2-x/10)>2000,x)

(réponse 3)[(x >2.9598)and(x <12.6567), x >35.9834] (commande 4)maximum((326-10x)(1 +x)(2-0,1x),[0;35]) (réponse 4)2667.2 (a) expliquer ce que permet d"obtenir la commande 1 (b) traduire sur le graphique donné ci dessous, illustrant la courbe représentative de la fonctionB, les réponses 2, 3 et 4 renvoyées par le logiciel de calcul formel -200 -400 -600 -800 -1000 -1200200

2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34-2

xy (c) donner la commande qui permet d"obtenir l"intervalle derentabilité et déterminer cet intervalle puis en déduire les prix unitaires de vente qui sont rentables (d) retrouver l"intervalle de rentabilité grâce à un tableau de signes

(e) encadrer à 0,1 près, le prixx0qui maximise le bénéfice en utilisant le tableau de valeurs

de la calculatrice

1.5 corrigé exercices

corrigé exercice 1 : une mine produitxkg d"un minerais précieux par jour,x?[ 0 ; 10 ](xvarie selon les jours) le coût total d"extraction de cesxkg est donné parC(x) =x3oùCest en euros. chaque kg est vendu 81 euros, soit pourxkg vendus, une recette deR(x) = 81xeuros.

le bénéfice associé à la fabrication et à la vente dexkg est donné parB(x) =R(x)-C(x)

a.C(5) = 53=? ???125euros

R(5) = 81×5 =?

???405euros

B(5) =R(5)-C(5) = 405-125 =?

???280euros , donc une production de 5kg est rentable. car la recette est supérieure au coût(405>125)ou bien car le bénéfice est positif(280>0) b.C(10) = 103=? ???1000euros

R(10) = 81×10 =?

???810euros

B(10) =R(10)-C(10) = 810-1000 =?

???-190euros , donc une production de 10kg n"est pas rentable.

car la recette est inférieure au coût(810<1000)ou bien car le bénéfice est négatif(-190<0)

c. tableau de valeurs et courbes des fonctionsCetRdans le repère donné. x012345678910

C(x) =x301827641252163435127291000

R(x) = 81x0405810

0 -100 -200100

200300400500600700800900

1 2 3 4 5 6 7 8 9xC

y R B

Zone de rentabilité

Bmax=écart max entreRetC

intervalle de rentabilité

Bmax=écart max entre(Ox)etB

d. graphiquement :R(x) = 400??????x?5 algébriquement :R(x) = 400??81x= 400??x=400quotesdbs_dbs35.pdfusesText_40