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– Si le coefficient dominant est 1, on dit que P est un polynôme unitaire Exemple 3 P(X) = (X −1)(Xn + Xn−1 +···+ X +1) 

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Les polynômes Dans tout ce chapitre K désigne les corps1 Q, R ou C 3 1 Définition Je soupçonne que tout lecteur de ce cours a déj`a une idée de ce qu' est 

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1 2 Degré d'un polynôme et coefficient dominant d'un polynôme non nul On va constater que tout le cours d'arithmétique dans Z peut être reproduit 

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Jusqu'ici, vous n'avez jamais distingué les « polynômes » des « fonctions polynomiales », qui sont pour vous toutes les fonctions sur de la forme x − → an xn + 

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Polynômes et fractions rationnelles - Résumé de résultats Je renvoie aux livres Algèbre MPSI, Cours, méthodes et exercices corrigés, 4eédition J'in- tègre

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Dans la première ligne du schéma de Horner se trouvent les coefficients du polynôme A, suivant les puissances décroissantes de la variable La 2e ligne 

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V Opérations sur les polynômes a Somme et produit de deux polynômes La somme de deux polynômes P et Q est aussi un polynôme noté P+Q °( +  

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8 nov 2011 · Polynômes et fractions rationnelles UJF Grenoble 1 Cours 1 1 Anneau des polynômes L'idée de la construction sera peut-être 

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2 fév 2018 · Définition 1 : On appelle polynôme `a coefficient dans K tout élément de la forme : P = a0 + a1X + Cours MPSI-2017/2018 Les Polynômes

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COURS 13 Polynômes 1 Ensemble K[X] 1 1• Définition formelle d'un polynôme Soit K le corps R ou C On appelle polynôme à coefficients dans K une suite

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1

COURS SUR LES POLYNÔMES À UNE VARIABLE

-Opérations sur les polynômes- On commence par définir la notion de polynôme et voir quelques propriétés.

Définition 1.Une fonctionPdeRdansRest appelée polynôme à coefficient réels (abrégé en

polynôme dans ce qui suit) s"il existe un entiern>0 et des nombres réelsa0,...,antels que pour toutx2R:

P(x) =a0+a1x++anxn.

On verra plus tard (Corollaire 9) qu"un polynôme à coefficients réels s"écrit de manière unique

sous cette forme. Sian6=0, on dit que le degré deP, noté degP, vautn. Dans ce cas,anest appelé le coefficient dominant deP. On décrète que le degré du polynôme nul est-1. Si le coefficient dominant dePvaut 1, on dit que ce polynôme est unitaire. On noteR[X]l"en-

semble des polynômes à coefficients réels. De même, on noteQ[X]l"ensemble des polynômes

à coefficients rationnels etZ[X]l"ensemble des polynômes à coefficients entiers. Dans ce qui suit, nous ne ferons pas de distinction entre polynôme et fonction polynomiale

associée. Il faudrait la faire en toute rigueur, mais plutôt que de rendre l"exposition abstraite,

nous préférons insister sur les idées sous-jacentes. Voir l"appendice situé à la fin du cours pour

plus de détails.

On notera indifféremmentP(x)ouP(X)ou encoreP.

Exemple 2.La fonctionP(x) =p2-2x+x2est un polynôme de degré 2 de coefficient dominant. La fonctionQ(x) =jxjn"est pas un polynôme (pourquoi?). Remarque 3.Par convention, le degré du polynôme nul est-1. Ainsi, les polynômes de degré zéro sont exactement les fonctions constantes non nulles. Proposition 4.SoientP,Qdeux polynômes. AlorsP+QetPQsont également deux poly- nômes. Démonstration.PourP+Qil suffit d"utiliser le fait quexi+xi= (+)xipour un nombre

réelx, et pourP(x)Q(x), il suffit de développer le produit.Exemple 5.Pour tout réelaet tout entier positifn,P(x) = (x-a)nest un polynôme de degré

n. Proposition 6.SoientP,Qdeux polynômes. Alors deg(P+Q)6max(degP,degQ)et deg(P Q) =degP+degQ(avec la convention-1+= -1pour que cet énoncé soit valable si l"un des deux polynômes est nul). Démonstration.On vérifie aisément que deg(P+Q) =degPsi degP >degQ, que deg(P+ Q) =degQsi degQ >degPet que si degP=degQ, alors deg(P+Q)6degP. Il peut cependant ne pas y avoir égalité (prendre par exempleP(x) =x2etQ(x) = -x2). La deuxième partie de la proposition découle du fait que sianest le coefficient dominant dePetbmest le coefficient dominant deQ, alorsanbmest le coefficient dominant dePQ. 2 Exemple 7.SoitEun ensemble fini etf:E!Nune application. Alors

P(x) =X

2Ex f() est un polynôme à coefficients entiers. Sikndésigne le nombre nombre d"éléments2Etels quef() =n, alors le coefficient devantxnest égal àkn. Le polynômePest appelé fonction

génératrice associée àf. Ce genre de polynômes apparaissent fréquemment en combinatoire,

ou˛ il arrive qu"on ne connaisse pas de formule explicite pourkn, bien que le polynômeP

se calcule aisément (voir exercice 42). L"intérêt d"introduire cette fonction génératrice est que

la connaissance du polynômePnous permet alors d"accéder à certaines informations (par exemple des formules de récurrence ou un comportement asymptotique). Le résultat crucial suivant permet de montrer l"unicité de l"écriture d"un polynôme : Théorème 8.SoitP(x) =a0+a1x++anxnun polynôme à coefficients réels tel queP(x) =0 pour toutx2R. Alorsa0=a1==an=0. Démonstration.Raisonnons par l"absurde, est supposons queP(x) =akxk+ak+1xk+1++ a nxnaveck>0 etak6=0. Comme pour toutx2Ron aP(x) =0, en divisant parxkon en déduit queak+xak+1++anxn-k=0 pour toutx2R. En faisant tendrexvers 0, on en

déduit queak=0, ce qui est absurde.Corollaire 9.Soienta0,a1,...,anetb0,b1,...,bmdes nombres réels tels quean6=0 etbm6=0.

On suppose que pour tout nombre réelx:

a

0+a1x+a2x2+anxn=b0+b1x++bmxm.

Alorsm=netai=bipour tout 06i6m.

Démonstration.SoitP(x) =a0+a1x+a2x2+anxn- (b0+b1x++bmxm), qui est un

polynôme à coefficients réels tel queP(x) =0 pour toutx2R. Le résultat découle alors du

théorème précédent.-Division euclidienne et racines- Dans cette partie, notre but est d"expliquer en quoi la connaissance des racines d"un po- lynômeP, c"est-à-dire des élémentsxtels queP(x) =0, donne des informations surP. On commence par montrer qu"il existe une notion de division euclidienne de polynômes très si- milaire à celle des entiers.

Division euclidienne de polynômes

Ici, et dans tout ce qui suit,KdésigneQouR.

Théorème 10.SoientP,U2K[X]avec degU>1. Alors il existe un unique couple de poly- nômesQ,R2K[X]tels que :

P=QU+Ret deg(R)6deg(U) -1.

3 Démonstration.Pour l"existence, on adapte en quelque sorte l"algorithme de division eucli- dienne pour les nombres entiers aux polynômes. Plus précisément, on poseP0=PetQ0=0.

On commence à l"étape 0 et voici ce qu"on fait à l"étapek: notonsdkle degré dePketckson

coefficient dominant. Notons égalementnle degré deUetunson coefficient dominant. Si deg(Pk)6deg(U) -1, on arrête l"algorithme en prenantQ=QketR=Pk. Sinon, on pose : P k+1=Pk-cku nXdk-nUetQk+1=Qk+cku nXdk-n. On passe ensuite à l"étapek+1. L"algorithme se termine bien car le degré dePkest au plus degP-k, et les polynômesQetRdonnés par l"algorithme vérifient les conditions requises. Pour l"unicité, supposons par l"absurde qu"il existe deux tels couplesQ,RetQ0,R0. Alors QU+R=Q0U+R0. En particulier,Q6=Q0, car sinon on a aussiR=R0. Cela implique

également :

U(Q-Q0) =R0-R.

Or, d"après la proposition 6, le degré du terme de gauche et supérieur ou égal à celui deU

et celui de droite est inférieur ou égal à deg(U) -1, ce qui est contradictoire et conclut la

démonstration.Exemple 11.La division euclidienne deX5-3X3+2X+1 parX3+3X2-2X-1 est : X

5-3X3+2X+1= (X2-3X+8)(X3+3X2-2X-1) +-29X2+15X+9.

entiers. Par exemple, il n"existe pas deQ2Z[X]tel que 3x2+1=Q(x)(2x+1)(comparer les coefficients dominants). En revanche, en reproduisant la démonstration précédente, siP,U2 Z[X]et que le coefficient dominant deUest1, alors si degU>1, il existe il existe un unique couple de polynômesQ,R2K[X]tels que :

P=QU+Ret deg(R)6deg(U) -1.

En effet, dans la preuve précédente, il a fallu diviser par "un». Or, lorsqu"on divise par des

éléments deZ, on ne reste pas dansZ. Ceci explique un peu d"ailleurs pourquoi la théorie des

polynômes à plusieurs variables est plus compliquée que celle des polynômes à une variable.

En effet, on peut par exemple voir les polynômes réels à deux variables comme les polynômes

enyà coefficients dansR[X]. Mais, de même que dansZ, tous les éléments deR[X]ne sont pas inversibles. Définition 13.SoientP,Q2K[X]avecPnon nul. On dit quePdiviseQs"il existeR2K[X]tel queQ=PR. Ainsi,PdiviseQsi le reste de la division euclidienne deQparPvaut 0. Exemple 14.Trouvons le reste de la division euclidienne deA(x) =x2013+2013 parB(x) = x-1. Par division euclidienne, on écritA(x) =Q(x)B(x) +R(x)avecR(x)un polynôme de degré au plus 0. AinsiRest un polynôme constant qu"on noterac. Autrement dit,A(x) = Q(x)B(x) +cet il nous reste à trouver la valeur dec. Prenonsx=1 :A(1) =Q(1)B(1) +c. Or

B(1) =1. On en déduit quec=A(1) =2014.

Exercice 1Trouver le reste de la division euclidienne dex100-2x51+1 parx2-1. 4

Racines et factorisation de polynômes

Nous voyons ici que la connaissance des racines d"un polynôme permet de le factoriser.

Rappelons queKdésigneRouQ.

Définition 15.Un élémentx2Kest appeléracined"un polynômeP2K[X]siP(x) =0. Exemple 16.Le polynôme réelX2-1 a deux racines réelles, qui sont 1 et-1. Le polynôme X

2+1 n"a pas de racine réelle. Le polynôme réelX2-2 a deux racines réelles, mais le polynôme

à coefficients rationnelsX2-2 n"a pas de racines rationnelles carp2 est irrationnel. Sia2K, le polynôme(X-1)2012est de degré 2012 mais n"a qu"une seule racine qui est 1. Le théorème suivant est très important et doit être connu. Théorème 17.SoientP2K[X]eta2K. Les deux propositions suivantes sont équivalentes :

1.aest racine deP, autrement ditP(a) =0.

2.

Il existe un polynôme Q2K[X]tel que :

P(x) =Q(x)(x-a).

Démonstration.Il est clair que le deuxième point implique le premier. Quant à la réciproque,

le point clé est d"utiliser la division euclidienne. En effet, supposons queP(a) =0. Écrivons alors la division euclidienne dePparX-asous la formeP(x) =Q(x)(x-a) +R(x)avecR un polynôme de degré au plus 1-1=0. Ainsi,Rest un nombre réel, notéc. Bref,P(x) = Q(x)(x-a) +c. Évaluons cette quantité enx=a: 0=P(a) =Q(a)(a-a) +c. Doncc=0,

ce qu"on voulait démontrer.Théorème 18.Soitn>0 un entier. Un polynôme deK[X]de degréna au plusnracines

différentes dansK. Démonstration.On raisonne par récurrence surn. Pourn=0, c"est vrai car par définition un polynôme de degré 0 est une constante non nulle. Soitn>1 et supposons le résultat acquis pour tous les polynômes deK[X]degrén-1. Soit alorsP2K[X]de degrén. SiPn"a pas de racines dansK, il n"y a rien à faire. Sinon, soita2Kune racine deP. D"après le théorème précédent, on peut écrireP(X) = (X-a)R(X)avecR2K[X]un polynôme de degrén-1, qui par hypothèse de récurrence a au plusn-1 racines différentes. On en déduit quePa au plus

nracines différentes.Remarque 19.Il existe des polynômes qui n"ont pas de racines réelles, par exempleP(x) =

x

4+1. En revanche, un polynômePà coefficients réels et de degré impair a au moins une

racine réelle. En effet, soitcson coeffictient dominant. AlorsP(x)!+1quandx!1et P(x)!-1quandx!-1lorsquec >0 etP(x)!-1quandx!1etP(x)!+1quand x!-1lorsquec <0. Le polynômePdoit donc forcément couper quelque part l"axe des

abcsisses (en termes rigoureux, c"est une conséquence du théorème des valeurs intermédiaires

appliqué à la fonction continueP). Ce théorème important implique quelques corollaires donnant une information concer- nant le polynôme sachant quelque chose sur ses racines. 5 Corollaire 20.Soitn>0 un entier. SoitP2K[X]un polynôme de degré au plusnayant au moinsn+1 racines. AlorsPest le polynôme nul. En particulier, un polynôme ayant une infinité de racines est forcément le polynôme nul.

Démonstration.Il suffit de dire que siPn"est pas le polynôme nul, alors d"après le théorème

précédent il a au plus deg(P)6nracines.Corollaire 21.SoitP(x) =a0+a1x++anxn2K[X]un polynôme de degrén. On suppose

qu"il anracines différentesr1,...,rn2K. Alors :

P(x) =an(x-r1)(x-rn).

Démonstration.SoitQ(X) =P(x)-an(x-r1)(x-rn)2K[X]. Ce polynôme admet au moins nracines différentes (r1,...,rn), et on voit qu"il est de degré au plusn-1 (le termeanxnse

simplifie dans la soustraction). D"après le corollaire précédent,Qest le polynôme nul.Corollaire 22.Un polynôme de degrénayantn+1 racines est nul. Ainsi, un polynôme ayant

une infinité de racines est forcément le polynôme nul. Exercice 2En utilisant le corollaire précédent, retrouver le fait queQ(x) =jxjn"est pas un polynôme. Exemple 23.SoitPun polynôme de degré 2013 vérifiantP(k) =kpourk=1,2,...,2013 et

P(0) =1. TrouvonsP(-1).

Le polynômeP(x) -xest de degré 2013 et admet 2013 racines qui sontk=1,2,...,2013.

On a donc forcément

P(x) -x=c(x-1)(x-2)(x-2013)

aveccun nombre réel. En évaluant enx=0, il vient 1=P(0) = -c2013!, de sorte que c= -1=2013!. D"où

P(-1) = -1+2014!2013!

=2013. Pour conclure cette partie, prouvons la propriété utile suivante en identifiant les coeffi- cients. Proposition 24.SoitPun polynôme tel queP(x)2soit un polynôme enx2(c"est-à-dire qu"il existe un polynômeRtel queP(x)2=R(x2). Alors il en est de même deP(x)ou deP(x)=x (c"est-à-dire qu"il existe un polynômeQtel que soitP(x) =Q(x2), soitP(x) =xQ(x2)). Démonstration.ÉcrivonsP(x) =anxn+an-1xn-1++a1x+a0avecan6=0. Comme P(x)2=R(x2), le coefficient devantx2n-1dansP(x)2, à savoir 2anan-1, est nul. On en déduit quean-1=0. De même, le coefficient devantx2n-3dansP(x)2, à savoir 2anan-3, est nul. On en déduit quean-3=0. De même, on obtient quean-2k-1=0 pourn-2k-1>0. Le résultat en découle.Pour illustrer cette propriété, on pourra chercher l"exercice suivant. Exercice 3Trouver tous les polynômesP2R[X]tels que 16P(x2) =P(2x)2. 6

Racines multiples et polynôme dérivé

Doit-on dire que le polynômeP(x) = (x-1)na une seule racine, ou biennracines qui sont les mêmes? Pour ne pas faire de confusion, nous traitons le cas des racines multiples. Définition 25.SoientP2K[X],2Ket un entierm2N. On dit queest racine de multi- plicitémdePs"il existeQ2K[X]tel queP(x) = (x-)mQ(x)etQ()6=0. Il se trouve qu"on dispose d"un critère assez pratique permettant de reconnaître une racine multiple. Définition 26.SoitP=a0+a1x++anxn2K[X]. On définit le polynôme dérivéP0par P

0(x) =a1+2a2x++nanxn-1.

La proposition suivante, réminiscente des propriétés de l"opérateur de dérivation sur les

fonctions réelles dérivables, est fondamentale. On laisse sa démonstration au lecteur.

Proposition 27.PourP,Q2K[X], on a :

(PQ)0=PQ0+P0Q. Proposition 28.Soienta2Ketn>1 un entier. SoitP(x) = (x-a)n. La dérivée dePest P

0(x) =n(x-a)n-1.

Démonstration.Prouvons cela par récurrence surn. Pourn=1, le polynôme dérivé dex-a est bien 1. Supposons le résultat acquis au rangn, montrons-le au rangn+1. SoitQ(x) = (x-a)n+1. En écrivant(x-a)n+1= (x-a)(x-a)n, on obtient Q

0(x) = (x-a)n+ (x-a)((x-a)n)0.

Donc par hypothèse de récurrence,Q0(x) = (x-a)n+ (x-a)(n-1)(x-a)n=n(x-a)n.

Ceci conclut la récurrence et la preuve de la proposition.Théorème 29.SoitP2K[X]et2Ktel queP() =0. Alorsest une racine multiple dePsi,

et seulement si,P0() =0. Démonstration.Dans le sens direct, écrivonsP(x) = (x-)mQ(x)avecm>2 etQ2K[X]. En dérivant cette expression, il vientP0(x) =m(x-)m-1Q(x) + (x-)mQ0(x). En prenant x=, on conclut queP0() =0. Pour la réciproque, supposons queP0() =0 et raisonnons par l"absurde en supposant quesoit une racine non multiple deP. AlorsPs"écritP(x) = (x-)Q(x)avecQ()6=0 (si

Q() =0, d"après le théorème 17, on pourrait écrireP(x) = (x-)2R(X)). En dérivant cette

expression, il vientP0(x) =Q(x) + (x-)Q0(x). En prenantx=, il vientP0() =Q()6=0, ce qui est absurde.Exemple 30.Soitn>1 un entier et montrons que(X+1)2diviseP(X) =X4n+2+2X2n+1+1.

D"après le théorème 17, il suffit que-1 est racine double deP. Ceci découle aisément du fait

queP(-1) =0 etP0(-1) =0. Remarque 31.SiP0() =0, cela n"implique pas quesoit racine multiple (ou racine tout court!) deP. Il faut en effet s"assurer queP() =0 pour utiliser le corollaire précédent. Par exemple, siP(x) =x2-2, on aP0(x) =2x, mais 0, bien que racine deP0, n"est pas racine deP. 7 Remarque 32.SoientP2K[X]eta2K. Pour un entierk>1, notonsP(k)le polynômeP

dérivékfois. Soitn>1 un entier. Plus généralement, on peut démontrer par récurrence sur

nl"équivalence

P(a) =0,P0(a) =0,...,P(n)(a) =0()(x-a)ndiviseP.

Exercices d"application

Exercice 4Trouver les réelsa,btels que(x-1)2diviseax4+bx3+1. Exercice5TrouvertouslespolynômesP2R[X]telsquepourtousréelsx,P(2x) =P0(x)P00(x). Exercice 6SoitP(x) =a0+a1x++anxn2R[X]qui possèdenracines réelles différentes. Montrer que pour toutxréel,P(x)P00(x)6P0(x)2. En déduire que pour 16k6n-1, a k-1ak+16a2k. Exercice 7(Oral ENS 2009) SoitP2R[X]de degrén>1. On suppose que toutes les racines dePsont réelles. Montrer que(n-1)(P0(x))2>nP(x)P00(x)et déterminer les cas d"égalité.

Interpolation

Étant donnés un nombre fini de points du plan, existe-t-il un polynôme tel que que sa courbe représentative passe par ces points? Trouver un tel polynôme, c"est résoudre un pro- blème d"interpolation. Théorème 33.Soienta1,...anetb1,...,bndes nombres réels (avec lesaideux à deux dis- tincts). Alors il existe un unique polynômePde degrén-1 tel que pour touti,P(ai) =bi.

Démonstration.Montrons d"abord l"unicité en considérantP,Qdeux polynômes vérifiant les

conditions de l"énoncé du théorème. Alors le polynômeP-Qest de degré au plusn-1, qui

admet au moinsnracines différentes, à savoira1,...,an. Il est donc nécessairement nul. Quant à l"existence, pour 16i6n, introduisons les polynômes suivants, appelés poly- nômes d"interpolation de Lagrange : L i(x) =nY j=1,j6=ix-aja i-aj. L"intérêt est que pour toutjdifférent dei,Li(aj) =0, alors queLi(ai) =1. On en déduit aisément que le polynôme :

P(x) =nX

i=1b iLi(x)

convient.Ainsi, un polynôme de degrénest complètement déterminé par les images den+1 points

distincts. Exercice 8Soienta1,...anetb1,...,bndes éléments deK(avec lesaideux à deux distincts). Trouver tous les polynômesP2K[X]tels queP(ai) =bi. 8 Exercice 9Trouver tous les polynômes à coefficients complexesPtels que pour tout rationnel q,P(q)est rationnel. Exercice 10On définit les polynômes de Hermite comme suit :H0=1 et pourn>1,Hn(x) = 1n!Q n-1 k=0(X-k). 1.

Vérifier que p ourtout k2Z,Hn(k)2Z.

2. T rouvertous l espolynômes P2C[X]tels que pour toutk2N, on aP(k)2Z. 3. (i)

Calculer ,pour des entiers j6kla somme :

k X i=j(-1)k-ik i i j

Indication.On pourra écrireXk= (X+1-1)k.

(ii) Soit (uj)une suite de nombres réels. Montrer que les deux conditions suivantes sont équivalentes : 1. Il existe P2R[X]tel que, pour toutj2N, on auj=P(j). 2. Il existeunentierpositifntelquepourtoutentieri>n+1,onaiX j=0(-1)i-ji j u j= 0.

Cas des polynômes à petit degré

Nous maintenant quelques applications des résultats précédents, parfois sous la forme d"exercice corrigé. Proposition 34.Soientb,cdeux nombres réels. On souhaite connaître le nombre de réelsx tels quex2+bc+c=0. Soit=b2-4c, appelé le discriminant. Alors : 1.

Si <0, il n"y a pas de solution.

2.

Si =0, il y a une seule solution qui est-b2

3. Si >0, il y a exactement deux solutions, qui sont : -b+pb 2-4c2 et-b-pb 2-4c2 Démonstration.L"idée est de se ramener au casb=0 en écrivantx2+bx+csous la forme suivante, dite forme canonique : x

2+bx+c= (x+b2

)2+c-b24

L"intérêt réside dans le fait quexn"intervient qu"une fois dans la nouvelle expression. Cette

forme rend très souvent de précieux services et est à retenir. Ainsi,x2+bx+c=0 si, et seulement si,(x+b2 )2=b24 -c. Ainsi, un carré étant positif, sib24 -c==4<0, il n"y a pas de solution, d"ou˛ le premier point. D"un autre côté, si>0, alors(x+b2 )2=b24 -csi, et seulement si : x+b2 =rb 24
-coux+b2 = -rb 24
-c.

On en déduit les points 2. et 3.

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