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Les Polynˆomes
MPSI Prytan´ee National Militaire
Pascal Delahaye
2 f´evrier 2018
Polynˆome d"interpolation de Lagrange
1 D´efinitions
Dans ce chapitre, (K,+,×) d´esigne un corps commutatif (pour nous ce seraRouC). D´efinition 1 :On appelle polynˆome `a coefficient dansKtout ´el´ement de la forme :P=a0+a1X+a2X2+···+anXno`u?n?N
(a0, a1, ..., an)?Knappel´es "coefficients"1.Xest appel´ee l"ind´etermin´ee.
2.Pest aussi parfois not´eP(X).
3. L"ensemble des polynˆomes `a coefficients dansKest not´eK[X].
Remarque1.
1. En fait, un polynˆome est d´efini comme une suite presque nulle d"´el´ements deK, mais cette d´efinition officielle
n"est pas au programme. Xrepr´esente la suite de termes successifs : 0, 1, 0, 0, ... Il ne s"agit donc pas d"une variable `a laquelle `a pourra donner des valeurs.2. Par d´efinition, l"´ecriture d"un polynˆome sous la formeP=a0+a1X+a2X2+···+anXnest unique.
Ainsi, on aura :P= 0?? ?k?N, ak= 0.
Remarque2.Notation :
On pourra noter un polynˆome sous la formeP=+∞? i=0a iXien sachant que lesaisont nuls `a partir d"un certain rang.D´efinition 2 :Lois de composition interne
SoitA=+∞?
i=0a iXietB=+∞? i=0b iXi. On d´efinit surK[X], les deux lci "+" et "×" suivantes :1.A+B=+∞?
i=0(ai+bi)Xi2.AB=+∞? i=0c iXio`uci=i? k=0a kbi-k 1 Cours MPSI-2017/2018 Les Polynˆomes http://pascal.delahaye1.free.fr/Remarque3.Ces deux lci correspondent aux notions intuitives de l"addition et de lamultiplication que nous avons.
Th´eor`eme Fondamental 1 :L"anneau des polynˆomes ?K[X],+,×?est un anneau commutatifL"´el´ement neutre pour + est le polynˆomeP= 0 et l"´el´ement neutre pour×est le polynˆomeP= 1.
Preuve 1 :On doit v´erifier une `a une toutes les propri´et´es de d´efinition d"un anneau commutatif ...
Remarque4.(K[X],+,×) ´etant un anneau commutatif, on pourra utiliser la formule du binˆome :
??(P, Q)?K[X]2 ?n?N,on a : (P+Q)n=n? k=0? n k? P kQn-k D´efinition 3 :Une autre lci : la composition des polynˆomesSiP(X) =n?
k=0a kXketQ?K[X]. On d´efinitP◦Q, le polynˆome compos´e par la formule suivante :P◦Q=n?k=0a kQk. Notation :P(X) =P◦X,P(-X) =P◦(-X),P(X2) =P◦X2...etc...Remarque5.Mˆeme si elle lui ressemble fortement,◦n"est pas la loi de composition des applications puisque c"est une
loi portant sur des polynˆomes.Proposition 2 :Op´erations
Pour toutλ?K,P,Q,R?K[X] :
Distributivit´es `a droite
1. (P+λQ)◦R=P◦R+λQ◦R
2. (PQ)◦R= (P◦R).(Q◦R)Autres :
3. (P◦Q)◦R=P◦(Q◦R)
4.X◦P=P◦X=P
Preuve 2 :On s"en dispensera ...
Remarque6.La loi◦n"est pas commutative et n"est pas distributive `a gauche dansK[X]. Chercher des C/ex!
Exemple 1.Prouver qu"un polynˆome pairP?R[X] est de la formeQ(X2) avecQ?R[X]. Un polynˆome pair est un polynˆome qui v´erifieP(X) =P(-X). D´efinition 4 :Degr´e, valuation, terme dominant Soit un polynˆomeP=a0+a1X+···+anXnavecan?= 0.1. L"entiernest appel´e ledegr´edu polynˆomePet est not´e degP.
2. Par convention, le degr´e du polynˆome nul vaut-∞.
3. Le coefficientanest appel´e lecoefficient dominantdu polynˆomeP.
4. Lorsquean= 1, on dit que le polynˆomePestunitaire.
5. Le monˆomeanXnest appel´e leterme dominantdeP.
Th´eor`eme 3 :Degr´e d"un produit, d"une somme, d"une compos´ee1. deg
2. deg
?PQ?= degP+ degQformule valable mˆeme siPet/ouQest nul.3. deg(P◦Q) = degP×degQformule valable uniquement siP?= 0 etQ?= 0.
2 Cours MPSI-2017/2018 Les Polynˆomes http://pascal.delahaye1.free.fr/Preuve 3 :
On ´ecritPetQsous leur forme g´en´erale et on s"int´eresse aux termes dominants.Remarque7.
1. La somme de polynˆomes de degr´enpeut ˆetre un polynˆome de degr´e strictement inf´erieur `ansi les termes
dominants s"annulent.2. Lorsque degP?= degQ, on a toujours deg(P+Q) = max(degP,degQ).
3. Pour montrer queQ=k?
i=1λ iPi, o`u (P1, ..., Pk) sont tous de degr´en, est aussi de degr´enon pourra : (b) calculer le coefficient deXndu polynˆomeQ, pour justifier qu"il est non nul.Remarque8.Le degr´e est un outil d"analyse performant dans la recherche de polynˆomes v´erifiant une ou des conditions
donn´ees (analyse / synth`ese).Avant d"utiliser la formule deg(P◦Q) = degP×degQ, on prendra soin de s"assurer que les polynˆomes sur lesquels
on travaille sont non nuls. Exemple 2.(?) D´eterminer tous les couples de polynˆomes (P, Q)?K[X]2tels queQ2=XP2. Exemple 3.(?) D´eterminer les polynˆomesP?R[X] v´erifiantP◦P=P.Exercice : 1
(?) Soit (Pn) la suite de polynˆomes d´efinie par la relation de r´ecurrence :?P0= 1 P n+1= 2XPn+X. D´eterminer pour toutnle degr´e et le coefficient dominant dePn. Aide : pour plus d"efficacit´e, on pourra travailler sur les termes dominants. Th´eor`eme 4 :L"anneau des polynˆomes est int`egreSoient trois polynˆomes (P, Q, R)?K[X]3.
1. siPQ= 0, alorsP= 0 ouQ= 0.
2. siPQ=PR, et siP?= 0, alorsQ=R.
Preuve 4 :
1. Par l"absurde en utilisant la fonction degr´e
2. Cons´equence imm´ediate du premier r´esultat
Th´eor`eme 5 :Polynˆomes inversibles
Les ´el´ements inversibles de l"anneauK[X] sont les polynˆomes constants non-nuls. Preuve 5 :On utilise de nouveau la fonction degr´ee. D´efinition 5 :Espace des polynˆomes de degr´e inf´erieur `a n On noteKn[X] l"ensemble des polynˆomes de degr´e inf´erieur ou ´egal `an.Remarque9.On montreraplus tard que cet ensemble est un sous-espacevectoriel deK[X] dont la famille?1, X, X2, ..., Xn?
forme une base appel´eebase canoniquedeKn[X]. 3 Cours MPSI-2017/2018 Les Polynˆomes http://pascal.delahaye1.free.fr/2 Arithm´etique des polynˆomes
2.1 La division euclidienne
Th´eor`eme Fondamental 6 :Division euclidienne
SoientA, Bdeux polynˆomes deK[X] tels queB?= 0. Alors il existe un unique couple (Q, R) de polynˆomes v´erifiant :?A=BQ+R degROn commence par d´emontrer l"existence deQetR.
1. On peut commencer par remarquer que si degB >degAalorsQ= 0 etR=Aconviennent.
2. On fixeBet on proc`ede par r´ecurrence (forte) sur le degr´e deA.
(a) Si degA= 0 : facile Notonsan+1Xn+1etbpXples termes dominants respectifs deAetB. bp.Xn+1-pB. On applique alors l"hypoth`ese de r´ecurrence `a ce nouveau polynˆome.On d´emontre enfin l"unicit´e de cette d´ecomposition de fa¸con usuelle en utilisant la fonction degr´e.
R´ealisation pratique de la division euclidienne. SoitA=X7-2X+ 1 etB=X2+ 1 deux polynˆomes `a coefficients r´eels.Effectuer la division euclidienne deAparB.
Exemple 4.(?) Entraˆınement!!
Montrer qu"en effectuant la division euclidienne?deA=X5+X4-X3+X-1 parB=X3+X2+ 2on obtient?Q=X2-1R=-X2+X+ 1.
Calcul de congruence
Comme pour les entiers, on pourra utiliser les r`egles de calcul de congruence pour : Rechercher le reste d"une division euclidienneProuver une divisibilit´e
Exemple 5.(?) D´eterminer le reste de la division euclidienne deA=X2000-X3+XparB=X2+ 1.Remarque10.On verra une m´ethode plus efficace dans le paragraphe sur les racines d"un polynˆome.
Proposition 7 :Factorisation dansR[X]
Soient
?A, B?R[X]C, D?C[X]tels que?A=BC+D
degDdivision euclidienne, elle est donc identique `a la d´ecompositionA=BC+D. Par cons´equent,C=QetD=R
et doncC, D?R[X]. Remarque11.Ce r´esultat s"applique en particulier lorsqueD= 0.D´efinition 6 :Divisibilit´e
SoientA, Bdeux polynˆomes deK[X] avecB?= 0.
On dit queBdiviseAssi il existeQ?K[X] tel queA=BQ. (On pourra ´ecrireB/A)Remarque12.Dans ce cas, on dira aussi queAestmultipledeBou que l"on peutmettre en facteurle polynˆomeB
Exercice : 2
(?) D´eterminer une CNS sur les r´eelsλetμpour queX2+ 2 diviseX4+X3+λ.X2+μX+ 2.Th´eor`eme 8 :Polynˆomes associ´es
Soient deux polynˆomes (P, Q)?K[X] non-nuls.
(P/QetQ/P)??(?λ?K\ {0}tqQ=λP) On dit alors que les deux polynˆomesPetQsontassoci´es. Preuve 8 :On montre facilement que siP/QetQ/Palors degP= degQ. Comme il existeR?K[X] tel queQ=R.Palors on a degR= 0. CQFD!!2.2 PGCD et PPCM
Th´eor`eme 9 :Euclide
Soient deux polynˆomes non nulsAetBdeK[X]. La division euclidienne donne :?A=B.Q+R degRDdivise?AB??Ddivise?BR
Preuve 9 :Pas de difficult´e.
Ce th´eor`eme permet, comme pour les entiers, de d´efinir la notionde PGCD et de donner un algorithme pour le
d´eterminer.Algorithme d"Euclide
Soient deux polynˆomes non nulsAetBdeK[X].
1. En effectuant des divisions euclidiennes successives, on construit une suite (Rk) de polynˆomes :
(a)R0=A (b)R1=B (c)R2est le reste de la division euclidienne deR0parR1. (d) et de fa¸con g´en´erale :Rkest le reste de la division euclidienne deRk-2parRk-1.2. (Rk) est une suite de polynˆomes de degr´e strictement d´ecroissant.
Il existe donc un premier entiernpour lequelRn= 0.3. Le polynˆomeRn-1est un diviseur commun `aAetB.
4. Or, d"apr`es le th´eor`eme d"Euclide, siD?K[X] diviseAetB, alorsDdivision tous lesRk. Donc les
diviseurs communs `aAetBsont exactement les diviseurs deRn-1. 5 Cours MPSI-2017/2018 Les Polynˆomes http://pascal.delahaye1.free.fr/D´efinition 7 :PGCD et PPCM
Soient deux polynˆomesAetBdeK[X] dont l"un au moins est non nul. On appelle :1. PGCD(A,B) tout diviseur commun `aAetBde degr´e maximal.
On noteraA?Ble seul PGCD deAetBunitaire (vu plus loin).2. PPCM(A,B) tout multiple commun `aAetBde degr´e minimal.
On noteraA?Ble seul PPCM deAetBunitaire (vu plus loin).Remarque13.
1. Le dernier reste non nul obtenu dans l"alg. d"Euclide appliqu´e `aAetBest donc un PGCD deAet deB.
On obtient alors LE PGCD en divisant ce polynˆome par son coefficient dominant.2. On peut, de la mˆeme fa¸con, d´efinir le PGCD et le PPCM denpolynˆomesA1, ..., Ano`un?N?.
On note alorsA1? ··· ?Anle PGCD unitaire. Corollaire 10 :Ensemble des diviseurs et des multiples communs1. Les diviseurs communs `a deux polynˆomesAetB(dont l"un est non nul) sont les diviseurs d"un PGCD.
2. Les multiples communs `a deux polynˆomesAetB(dont l"un est non nul) sont les multiples d"un PPCM.
Preuve 10 :
1. Imm´ediat d"apr`es l"algorithme d"Euclide.
2. A l"aide de la division euclidienne
Corollaire 11 :Les PGCD et les PPCM de deux polynˆomes sont des polynˆomes associ´es.Preuve 11 :Ceci provient du fait que les diviseurs communs sont les diviseurs d"unPGCD et que les multiples
communs sont les multiples d"un PPCMProposition 12 :Les lois?et?sont associatives.
Preuve 12 :On compare les ensembles de diviseurs / multiples communs. Exemple 6.(?) D´eterminer le PGCD de?A(X) =X3+ 2X2-X-2 B(X) =X2+ 4X+ 3en vous inspirant de l"algorithme d"Euclide.Exercice : 3
(? ? ?) Soitaetbdeux entiers naturels non nuls aveca≥b. On noteδ=a?b. Montrer, en utilisant l"algorithme d"Euclide que : (Xa-1)?(Xb-1) =Xδ-1.Th´eor`eme 13 :Relation entre PGCD et PPCM
Soient deux polynˆomesAetBdeK[X] unitaires dont l"un est non nul.Nous avons la relation suivante :
(A?B)(A?B) =A.B Preuve 13 :Voir la d´emonstration analogue dans le cas des entiers.Th´eor`eme 14 :Egalit´e de Bezout
Soient deux polynˆomes non nulsAetBdeK[X] etδun PGCD. Alors : Il existe deux polynˆomes (U, V)?K[X] tels que :AU+BV=δ Preuve 14 :Comme dansZ, on d´etermine les polynˆomesUetVgrˆace `a l"algorithme d"Euclide.Pour d´eterminerUetV, on pourra :
Soit calculer les termes des suites (Un) et (Vn) en pr´esentant les calculs dans un tableau de la forme :
6 Cours MPSI-2017/2018 Les Polynˆomes http://pascal.delahaye1.free.fr/R0=AR1=BR2...Rk...D
Q1Q2...Qk...
10U2...Uk...Un=U
01V2...Vk...Vn=V
Soit ´ecrire les divisions euclidiennes successives et proc´eder par substitution pour d´eterminer la relation voulue.
Remarque14.Le couple de polynˆomes (U, V) n"est pas unique!Pour d´eterminer tous les couples solutions, on utilise le th´eor`emede Gauss, comme lors de la r´esolution des ´equations
diophantiennes dansZ. Exemple 7.(?) D´eterminer une ´egalit´e de Bezout pour les polynˆomes : 1. ?A=X3+X2+ 2