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Christophe Bertault Mathématiques en MPSI
POLYNÔMES
Dans tout ce chapitre,?est l"un des corps?ou?. La plupart des résultats présentés demeurent vrais pour uncorps?
quelconque ?par exemple mais nous ne nous en préoccuperons pas.1 CONSTRUCTION DES POLYNÔMES
Jusqu"ici, vous n"avez jamais distingué les " polynômes » des " fonctions polynomiales », qui sont pour vous toutes les
fonctions sur?de la formex?-→anxn+an-1xn-1+...+a1x+a0avecn??eta0,...,an??. Nous allons voir dans ce
chapitre qu"en faitNON,LES"POLYNÔMES»NE SONT PAS DES FONCTIONS.Notons par exemplePle polynôme 3X2+4X+1. CalculerP(5), c"est transformer 5 en un autre nombre conformément
à certaines opérations élémentaires puissances, multiplication par un réel et addition. Or il y a tout un tas de mondes
mathématiques dans lesquels on sait calculer des puissances, multiplier par un réel et additionner les objets :
le corps?bien sûr d"où la possibilité de calculerP(5), l"anneau?n(?) d"où la possibilité de calculerP(A)pour toutA? ?n(?), l"anneau??des fonctions de?dans? d"où la possibilité de noterP(exp)la fonctionx?-→3e2x+4ex+1.
En fait, dans tout anneauAdans lequel on sait multiplier par un réel, on a bien envie de poserP(a) =3a2+4a+1A
pour touta?A. On en a bien envie, certes, mais il faut dans ce cas renoncer àl"idée qu"un polynôme est une fonction, car
laFONCTIONx?-→3x2+4x+1 est définie sur?, pas sur?n(?)ou??. Finalement, on ne sait toujours pas ce qu"est le
polynômeP=3X2+4X+1, mais ce n"est pas la gentille fonctionxf?-→3x2+4x+1 en tout cas. y=f(x)Le piège, c"est que jusqu"ici, quand on vous définissait une fonction polynomiale, on vous donnait
aussi ses coefficients. Or, quand on connaît la suite(1,4,3)des coefficients def, on peut facilement
calculer toutes ses valeurs, par exemplef(5) =3×52+4×5+1=96, mais quand on connaîtfcommeFONCTION,C"EST-À-DIRE PAR LA DONNÉE COMPLÈTE DE SES VALEURS, peut-on déterminer ses coeffi-
cients? Vous pouvez tenter l"expérience sur la figure ci-contre, vous ne les " verrez » pas directement.
Conclusion : l"essentiel, ce sont les coefficients, pas le fait qu"on se donne une fonction. L"essentiel du
polynôme 3X2+4X+1 n"est pas la nature de sonXmais la liste(1,4,3)de ses coefficients degré par degré. Vous voilà maintenant prêts pour la définition des polynômes.Définition(Polynôme à une indéterminée à coefficients dans?)On appellepolynôme(à une indéterminée)à
coefficients dans?toute suitepresque nulled"éléments de?, i.e. toute suite(ak)k??d"éléments de?dont tous les
éléments sont nuls à partir d"un certain rang. Pour toutk??, le coefficientakest appelé lecoefficient de degré kdu
polynôme.L"ensemble des polynômes à coefficients dans?est noté?[X]si on choisit de noterXl"indéterminée.
Conformément à cette définition, un polynôme est uneSUITEde la forme(a0,a1,...,an,0,0,0,...)à coefficients dans?.
Nous pourrons bientôtNOTERanXn+an-1Xn-1+...+a1X+a0une telle suite, mais pas tout de suite. Gardez tout de même
cet objectif en tête, il vous aidera à comprendre les prochaines définitions.Quoi qu"on pense de son abstraction, la définition précédente rend au moins trivial le résultat suivant, si l"on n"oubliepas
ce que c"est qu"une suite. Le résultat analogue sur lesFONCTIONSpolynomiales est autrement délicat!
Théorème(Identification des coefficients)Deux polynômes sont égaux si et seulement si leurs coefficients sont
égaux.
Définition(Polynôme constant, polynôme nul)On appellepolynôme constantde?[X]tout polynôme(λ,0,0,...)
avecλ??. Un tel polynôme sera simplement notéλ. Avec cette notation, le polynôme 0 est appelé lepolynôme nul. 1Christophe Bertault Mathématiques en MPSI
Définition(Degré d"unpolynôme, coefficientdominant, polynôme unitaire)SoitP= (ak)k????[X]unpolynôme
NON NUL. Le plus grand indicekpour lequelak?=0 est appelé ledegré de Pet noté deg(P).Le coefficient de degré deg(P)dePest appelé soncoefficient dominant. S"il est égal à 1, on dit quePestunitaire.
Par convention, le polynôme nul est de degré-∞: deg(0) =-∞.Exemple7X4-X3+2X2-3X-5 a pour degré 4 et coefficient dominant 7, tandis queX3-4X2+3X+5 est unitaire.
À présent, les polynômes étant des suites :?[X]???. Mais comme?est un groupe additif,??est un groupe pour
la loi d"addition définie par(uk)k??+ (vk)k??= (uk+vk)k??pour tous(uk)k??,(vk)k?????. Montrons que?[X]est un
sous-groupe de??. Tout d"abord(0)n????[X]. Ensuite, pour tousP= (ak)k??,Q= (bk)k????[X], nous pouvons nous
donner un rangNà partir duquelak=bk=0. Alorsak-bk=0 pour toutk?N, doncP-Q??[X].Bref, nous savons maintenant additionner les polynômes, mais nous voulons aussi pouvoir les multiplier entre eux. Nous
serions bien contents de pouvoir écrire ceci :" n? i=0a iXi" n? j=0b jXj" =2n? k=0 a0bk+...+akb0Xk=2n? k=0" k? i=0a ibk-i" X k,calcul au sein duquel on a simplement regroupé les termes degré par degré. Il ne nous reste plus qu"à forcer le destin.
Définition(Anneau?[X])Pour tousP= (ak)k??,Q= (bk)k????[X], on appelleproduit de P et Qet on noteP×Q
ouPQla suite" k? i=0a ibk-i" k??=a0bk+...+akb0 k??, qui se trouve être un polynôme.Le triplet
?[X],+,×est alors un anneau commutatif d"éléments neutres le polynôme nul 0 pour+et le polynôme
constant 1 pour×. En outre, pour tousP= (ak)k????[X]etλ??,λPest le polynôme(λak)k??. DémonstrationFixons une fois pour toutesP= (ak)k??,Q= (bk)k??,R= (ck)k????[X].Loi interne :Il s"agit de montrer que le produit de deux polynômes est bienun polynôme, i.e. une suite
PRESQUE NULLE. NotonsNun rang à partir duquelak=bk=0. Or pour toutk?2N: k? i=0a ibk-i=N-1? i=0a ibk-i???? =0 car k-i>k-N?N+ k i=Na i???? =0b k-i=0, donc en effetPQ??[X]. Multiplication par un scalaire :Soitλ??. Pour toutk??, le coefficient de degrékdeλPvaut λak+0.ak-1+...+0.a0=λak, doncλP= (λak)k??. En particulier : 1×P=P.Commutativité de×:Pour toutk??:k
i=0a ibk-ij=k-i=k j=0b jak-j, doncPQ=QP. Associativité de×:Pour toutk??, le coefficient de degrékde(PQ)Rest : k? i=0" i? j=0a jbi-j" c k-i=?0?j?i?ka
jbi-jck-i=k j=0a j" k? i=jb i-jck-i" l=i-j=k j=0a j" k-j? l=0b lc(k-j)-l" donc est égal au coefficient de degrékdeP(QR), donc(PQ)R=P(QR). Distributivité de×sur+:Pour toutk??, le coefficient de degrékdeP(Q+R)est : k? i=0a i(bk-i+ck-i) =k i=0a ibk-i+k i=0a ick-i, donc est égal au coefficient de degrékde(PQ)+(PR), doncP(Q+R) = (PQ)+(PR).Et voilà, le temps de la notation polynomiale est enfin arrivé! Grâce au théorème suivant, les polynômes seront désormais
toujours notés comme des polynômes au sens intuitif du terme. Je n"irai pas jusqu"à vous conseiller d"oublier la construction
que nous venons d"effectuer et qui n"est pas terminée maisnous n"aurons bientôt plus du tout besoin de voir les
polynômes comme des suites presque nulles. Ce point de vue nous a seulement permis de fonder proprement le monde
des polynômesformels on les qualifie de " formels » pour les distinguer des fonctions polynomiales, sur lesquelles nous
reviendrons plus tard. 2Christophe Bertault Mathématiques en MPSI
Théorème(Notation polynomiale)Dans?[X], on choisit de noterXle polynôme(0,1,0,0,...).Pour toutk??:Xk= (0,...,0,1,0,0,...), polynôme dans lequel le 1 est en position " degrék».
1= (1,0,0,...),X= (0,1,0,0,...),X2= (0,0,1,0,0,...),X3= (0,0,0,1,0,0,...)...
Pour toutP= (ak)k????[X]non nul de degrén:P=n k=0a kXk. On peut aussi écrire queP=+∞? k=0a kXket cette écriture est unique. Une telle somme estFINIEcontrairement aux apparences car la suite(ak)k??est
presque nulle. Cette notation " infinie » rend de précieux services de rédaction. DémonstrationL"égalitéXk= (0,...,0,1,0,0,...)pour toutk??se démontre par récurrence. ?Attention !XN"EST PAS UN NOMBRE!Ôtez-vous une fois pour toutes cette idée de la tête.Le résultat suivant ne nous est d"aucune utilité pour le moment, mais nous l"utiliserons plus tard dans nos pérégrinations
probabilistes et c"est pile poil le bon moment pour le démontrer. Théorème(Formule de Vandermonde)Pour toutn??:n k=0! n k! 2 =!2n n! DémonstrationL"égalité(X+1)2n= (X+1)n(X+1)ns"écrit aussi :2n? k=0! 2n k! X k=n i=0! n i! X i×n j=0! n j! X j.À gauche, le coefficient de degrénvaut!2n
n! , et il vautn i=0! n i!! n n-i! =n i=0! n i! 2à droite par définition du
produit de deux polynômes. Théorème(Addition, multiplication et degré)SoientP,Q??[X]etλ??. (i)Degré d"une somme :deg(P+Q)?maxdeg(P),deg(Q). Cette inégalité est une égalité notamment quand deg(P)>deg(Q)ou deg(Q)>deg(P). (ii)Degré d"un produit :deg(PQ) =deg(P)+deg(Q). En particulier, pourλ?=0 : deg(λP) =deg(P).DémonstrationLe résultat est évident lorsquePouQest nul. Supposons-les donc tous deux non nuls et notons
mle degré dePetncelui deQ, ainsi queP= (ak)k??,Q= (bk)k??etPQ= (ck)k??. (i) Pour toutk>maxm,n:ak+bk=0, donc deg(P+Q)?maxm,n=maxdeg(P),deg(Q). (ii) Pour commencer :cm+n=m+n? i=0a ibm+n-i=m-1? i=0a i=0? b m+n-i+ambn+m+n? i=m+1=0???? a ibm+n-i=ambn, donc commeam?=0 etbn?=0, forcémentcm+n?=0, donc deg(PQ)?m+n. Inversement, pour toutk>m+n: c k=m i=0a ibk-i???? =0+k i=m+1a i???? =0b k-i=0, donc deg(PQ)?m+n. Théorème(Intégrité de?[X])L"anneau?[X]est intègre :?P,Q??[X],PQ=0=?P=0 ouQ=0
DémonstrationPour commencer,?[X]est un anneau non nul. Soient ensuiteP,Q??[X]. SiPQ=0 : deg(P)+deg(Q) =deg(PQ) =-∞, donc deg(P)ou deg(Q)vaut-∞, autrement ditPouQest nul.Ce résultat serait nettement plus difficile à prouver si on travaillait avec des fonctions polynomiales et non avec des
polynômes. En effet, siP(x)Q(x) =0 pour toutx??, alors en tout point l"une des fonctionsPetQs"annule, mais qui nous
dit que l"une des deux s"annule tout le temps? Rien a priori. 3