Feuille d'exercices sur les POLYNÔMES Divers Exercice 1 (Un vrai-faux) 1 Soit P ∈ R[X] Si deg P ⩾ 3, alors P admet au moins une racine réelle 2
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Déterminer les racines réelles et complexes de Allez à : Correction exercice 9 Exercice 10 Factoriser sur ℝ et sur ℂ le polynôme ( )
[PDF] Polynômes
Exercice 6 Quels sont les polynômes P ∈ C[X] tels que P divise P ? Exercice 7 Calculer pgcd(P, Q) lorsque : 1 P = X3 − X2 − X − 2 et Q = X5
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Exercice 6 **T Pour quelles valeurs de l'entier naturel n le polynôme (X +1)n − Xn −1 est-il divisible par X2 +X +1? Correction ▽ [005318] Exercice 7 *** Soit P
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3 fév 2014 · Exercices : Polynômes I Opérations sur les polynômes Exercice I 1 : On donne le polynôme P = (X2 −1) 2n 1 Donner le coefficient du
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Exercice 19 14 Soit n ∈ N, montrer que le polynôme Pn =1+X + X2 2 + X3 3 + ···+ Xn n n'a pas de racine multiple Exercice 19 15 Déterminer λ
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Le reste cherché est −2nX + 4n − 1 Exercice type 2 Déterminer a et b dans R, pour que Q = X2 − aX + 1 divise P = X4 − X +
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TD – Polynômes Exercice 1 : Degré et coefficients d'un polynôme 1 Soit P ∈ R[ X] de degré 2 tel que P(1) = 2, P(2) = 3 et P(3) = 6 Déterminer les coefficients
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Feuille d'exercices sur les POLYNÔMES Divers Exercice 1 (Un vrai-faux) 1 Soit P ∈ R[X] Si deg P ⩾ 3, alors P admet au moins une racine réelle 2
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Les polynômes : exercices 1 Réduis et ordonne les polynômes suivants Donne leur degré, dis s'ils sont complets ou incomplets A(x)=x4−2 x2−3x4+x2−7
[PDF] Polynômes Exercices chapitre 18 Méthodes et savoir-faire Exercices
— Utiliser les racines d'un polynômes pour déterminer une divisibilité : exercices 8, 9, 11, 13, 14 et 15 — Divisibilité et PGCD : exercice 10 — Factoriser un
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©Arnaud de Saint Julien - MPSI Lycée La Merci 2022-20231
Feuille d"exercices sur les POLYNÔMES
Divers
Exercice 1FactoriserP= 1+X
1+X(X+ 1)2!+X(X+ 1)(X+ 3)3!+X(
X+ 1)(X+ 3)(X+ 4)4!.
Exercice 2 (Deux équations)Déterminer les polynômesPdeK[X] tels que :1.P(2X) =P2.P(X2) = (X2+ 1)P
Exercice 3Démontrer que?nk=0?
n k?? 2n k?=?3n n?en calculant de deux façons différentes le terme de degrénde (X+ 1)3n. Exercice 4 (Deux équations)Déterminer les polynômesPdeK[X] tels que :1.P?2= 4P2.P-XP?=X
Exercice 5 (Une version "réelle» de D"Alembert Gauss)SoitPune fonction polyno- miale surRde degré impair. Démontrer quePs"annule au moins une fois. Le résultat reste-il vrai si le degré dePest pair?Divisibilité
Exercice 6Déterminer le reste deA=X2022+ 2X+ 1 dans la division euclidienne par :1.B=X2-3X2.B=X2-4X+ 4
Exercice 7Soitn?2. Déterminer le reste deA= (X-2)n+ (X-1)n-2 dans la division euclidienne par :1.B=X2-3X+ 2 2.B= (X-1)2.
Exercice 8Le reste de la division euclidienne dePparX2-1 estX+1. Quels sont les restes de la division dePpar : a)X-1 b)X+ 1? Exercice 9SoitaetbdansNtel queadiviseb. DémontrerXa-1 diviseXb-1. Exercice 10 (Polynômes associés )Un polynômeAdeK[X] est dit inversible s"il existe un polynômeB?K[X] tel queAB= 1.1. Déterminer les polynômes inversibles deK[X].
2. SoitAetBdeux polynômes deK[X]. Démontrer que
(A|BetB|A)??(?λ?K?, A=λB). On dit alors queAetBsont des polynômes associés. ©Arnaud de Saint Julien - MPSI Lycée La Merci 2022-20232Racines et factorisations
Exercice 11Factoriser dansR:
1. 2X3+ 3X2-3X-2 2.X3-3X-2
Exercice 12 (Utilisation des racines)
1. Soitn?4 un entier. Démontrer queX(X-1) divise 5Xn-X3-4X.
2. Démontrer queX2+X+ 1 diviseX311+X82+X15.
Exercice 13SoitP?R[X] non nul tel que (X-16)P(2X) = 16(X-1)P.1. Déterminer le degré deP.
2. Trouver des racines évidentes pourP, en déduire l"expression deP.
Exercice 14Déterminer le ou les polynômesP?R[X] tels que :1.?n?N,P(n) =n22.?x?[0,1],P(x) = e2x-3ex+ 2
Exercice 15Démontrer qu"il n"existe pas de polynômeP?R[X] tel que :1.?n?N,P(n) =n2+ (-1)n2.?x?R,ex=P(x)
Exercice 16SoitP?K[X] tel queP(X+ 1) =P(X) (polynôme 1-périodiques). Démontrer quePest constant.Exercice 17SoitP?C[X] tel que?z?C, P(z) =
z. On poseQ=X. Calculer pour tout réelx, (P-Q)(x). Que peut-on en déduire?Utilisation de la multiplicité des racines
Exercice 18Factoriser les polynômes (il y a des racines multiples) :1.P= 2X4-X3-9X2+ 13X-5 (calculerP(1)) 2.P= 2X6-10X5+ 6X4+ 18X3(calculerP(3))
Exercice 19Déterminer tous les polynômes de degré 5 deR[X] ayant dansC[X] une racine double 1-i⎷ 2. Exercice 20Déterminer tous les polynômesPtels que : P(2) = 6, P?(2) = 1, P??(2) = 4 et?n?3, P(n)(2) = 0. Exercice 21Soitn?2 un entier. Déterminer les racines triples du polynômeP=nXn+2-(n+ 2)Xn+1+ (n+ 2)X-n.
Exercice 22Soitn?N. Démontrer que le polynômePn=n k=0X k k!n"admet pas de racines multiples dansC. ©Arnaud de Saint Julien - MPSI Lycée La Merci 2022-20233Relations coefficients racines
Exercice 23Soita,betcles racines complexes deP= 2X3+X+1. Sans chercher les racines deP, calculer : A=1 a+1b+1c, B=bca+acb+abc Exercice 24 (Une application des relations coefficients racines)Le but de l"exercice est de résoudre le système suivant : (S)? ?x+y+z= 1 x2+y2+z2= 9
1 x+1y+1z= 1. Soit (x,y,z) une solution de (S). On poseP= (X-x)(X-y)(X-z)?C[X].1. Exprimer les quantitésx2+y2+z2et1
x+1y+1zà l"aide deσ1,σ2,σ3les fonctions symétriques élémentaires associées aux racines deP.2. En déduire les valeurs deσ1,σ2,σ3.
3. Conclure.
Exercice 25Soitn?N?. On poseP= 2(X+1)n-1. On notex1,...,xnses racines complexes.Calculer :
n? i=1x2ietn i=11 xi.Factorisation dansC
Exercice 26Factoriser dansCpuis dansRles polynômes suivants :1.X4-4 2.X3-i3.X4+X2+ 1
Exercice 27FactoriserP=X4-X3+X2+ 2 dansR(calculerP(j)). Exercice 28Factoriser dansCpuis dansRles polynômes suivants :1.X6+ 1 2.X7-2X6+X-2
Exercice 29Soitn?N?. Factoriser dansC:
1.X2n-1 2.X2n+1+ 1 3.X2n-2cos(θ)Xn+ 1 (θ?]0,π[)
Exercice 30 (Valeur exacte decos2π
5)On considère le polynômeP=X5-1 deR[X].
Le but de cet exerciceest de déterminer la valeur exacte du réelα= cos2π5. On pose aussi
β= cos4π
5.1. Donner la décomposition dePen facteurs irréductibles dansC[X], puis dansR[X].
2. On noteQle quotient de la division euclidienne dePparX-1. DévelopperQ, en déduire
la valeur des réelsα+βetαβ, puis la valeur deα. ©Arnaud de Saint Julien - MPSI Lycée La Merci 2022-20234Compléments difficiles
Exercice 31 (Polynôme interpolateur de Lagrange)Soitn?N?etx0< x1<···< xndes réels. On noteRn[X] l"ensemble des polynômes à coefficients réels de degré inférieur ou égal
àn.
Pour tout entieride?0,n?, on définit le polynômelipar : l i(X) =n j=0 j?=iX-xj xi-xj.1. Un exemple : dans cettequestion uniquement, on prendn= 2.
(a) Écrirel0,l1etl2, puis donner la valeur des réels l0(x0),l0(x1),l0(x2) etl1(x0),l1(x1),l1(x2) etl2(x0),l2(x1),l2(x2).
(b) On considère le polynômeL= 5l0-2l1+ 7l2. Que valentL(x0),L(x1) etL(x2)?2. Soitietjdans?0,n?. Donner la valeur deli(xj).
3. Soity0,y1,...,yndes réels.
(a) Déterminer à l"aide des polynômesliun polynômePdeRn[X] tel que : ?i??0,n?, P(xi) =yi.(b) Démontrer l"unicité d"un tel polynôme. Un tel polynôme estappelé polynôme inter-
polateur de Lagrange. Exercice 32 (Oral?)SoitP?R[X] tel queP(Q)?Q. Démontrer queP?Q[X], c"est-à- dire quePest à coefficients rationnels Exercice 33SoitP?C[X] un polynôme non nul vérifiant (X-1)P=XP(X-1).