De plus, si les axes possèdent la même unité de longueur alors le repère est dit orthonormé O I J axe des abscisses axe des ordonnées xM yM M
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De plus, si les axes possèdent la même unité de longueur alors le repère est dit orthonormé O I J axe des abscisses axe des ordonnées xM yM M
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Trois points O, I et J, non alignés, définissent un repère du plan 2) Repères orthonormaux (ou orthonormés) : Un repère est orthonormé (ou orthonormal)
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D'après le théorème de Pythagore, , d'où De même Exercice Dans un repère orthonormé, on considère les points , , et Calculer
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Un repère est dit orthonormé si : • Vecteurs (i,j,k) deux à Repère 2 ⇒ Noter A1 ou A2 selon le repère considéré (même point mais coordonnées différentes)
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Dans un repère orthonormé, si A(xA ; yA) et B(xB ; yB) sont deux points du plan, Alors le milieu I du segment [AB] a pour coordonnées (xI ; yI) avec : xI = xA + xB
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Repère orthonormé – L'axe des abscisses est souvent horizontal, mais ce n'est pas une obligation – Si le triangle OIJ est rectangle en O, le repère (O,I,J) est dit
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Le plan est muni d'un repère orthonormé (O, I, J) L'unité de longueur est le centimètre 1/ Placer les points A(-2 ; 1) , B(3 ; 2) , C(-3 ; -2) et G(7 ; 0) 2-a) Placer le
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Coordonnées dans un repère3eme1 Coordonnées d"un point
Définition 1Deux axes gradués de même origine et perpendiculaires définissentun repère orthogonal.
De plus, si les axes possèdent la même unité de longueur alors le repère est ditorthonormé.OIJaxedesabscissesaxedesordonn´eesxMyMMABDans l"exemple ci-contre, on dira que les coordonnées du point
Msont (xM,yM), que celles du pointAsont (3;5) et que celles du pointBsont (1;-3).Propriété 1Dans un repère quelconque, soit A et B deux points de coordonnées respectives(xA;yA)et(xB;yB).
Alors les coordonnées du point K, milieu du segment[AB]sont xK=xA+xB2yK=yA+yB2
ExempleSur la figure ci-dessus, le milieuKdu segment [AB] a pour coordonnées xK=xA+xB2yK=yA+yB2
xK=3+12yK=5+(-3)2
xK=42yK=22
xK=2yK=1
2 Coordonnées d"un vecteur
Propriété 2Dans un repère quelconque, soit E et F deux points de coordonnées respectives(xE;yE)et(xF;yF).
Alors les coordonnées du vecteur-→EF sont
(xF-xE;yF-yE)OIJABCDEFExemples
Sur la figure ci-dessus, on a
-→AB(-3-0;-2-2)--→DC(-5-4; 0-(-1)) -→AB(-3;-4)--→DC(-9; 1)Vérification graphiqueLe déplacement deAàBcorrespond graphiquement à un déplacement horizontal
de 3 unités dans le sens négatif suivi d"un déplacement vertical de 4 unités dans le sens négatif.
Propriété 3Deux vecteurs égaux ont les mêmes coordonnées.3 Distance dans un repère orthonormé
Propriété 4Dansunrepèreorthonormé, soit E et F deux points de coordonnées respectives(xE;yE)et(xF;yF).