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u0 = 3, u1 = 8, u2 = 13, u3 = 18 Une telle suite est appelée une suite arithmétique de raison 5 et de premier terme 3 La suite est donc définie par : 0 1 3 5 n n

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Exemples : calculer les sommes suivantes : 1) S = 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + + 99 Nous avons affaire à la somme de termes d'une suite arithmétique de raison r 

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Cn+1= 1 06Cn −9000 2 Calculer à la calculatrice les premiers termes de cette suite Est-elle arithmétique ? géométrique ? 3 On considère la suite auxiliaire ( Un) 

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Suite géométriques (utilisées pour des variations relatives (en ) Définition : un +1 = un +r et un premier terme r est la raison Propriété : un+1− un = Cte ∀n 

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On dit qu'une telle suite est arithmétique (voir fiche de cours : suites arithmétiques) Exemple de suite arithmétique : Rang Algorithme terme 0 1 1 1 + 3

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La suite est donc arithmétique de raison 3 et de 1er terme 1 (Pour passer d'un terme au suivant on ajoute à chaque fois 3) 2) 1 = 0 + 3 = 1 + 3 = 4

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Exercice 2 (3 points) La suite (un) est arithmétique de raison r On sait que u50 = 406 et u100 = 806 1 Calculer la raison r et u0 2 Calculer la somme S = u50 + 

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1) Soit (Un), la suite définie par Un = 3n+4 Le premier terme de la suite est alors U0 = 3×0+4 = 4 (on remplace n par 0) U1 

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ENIHP 1ère année p 1 Cours I : SUITES NUMERIQUES I Quelques rappels 1/ Définition Définition : Une suite un est une application de l'ensemble ℕ ou 

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+ un = up1 − qn−p+1 1 − q (si q ≠ 1) = (1er terme + dernier terme)×(nombre de termes) 2 = (1er terme) × 1 − qnombre de termes 1 − q © Jean- 

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1

SUITES ARITHMETIQUES

ET SUITES GEOMETRIQUES

I. Suites arithmétiques

1) Définition

Exemple :

Considérons une suite numérique (u

n ) où la différence entre un terme et son précédent reste constante et égale à 5. Si le premier terme est égal à 3, les premiers termes successifs sont : u 0 = 3, u 1 = 8, u 2 = 13, u 3 = 18. Une telle suite est appelée une suite arithmétique de raison 5 et de premier terme 3.

La suite est donc définie par : .

Définition : Une suite (u

n ) est une suite arithmétique s'il existe un nombre r tel que pour tout entier n, on a : .

Le nombre r est appelé raison de la suite.

Méthode : Démontrer si une suite est arithmétique

Vidéo https://youtu.be/YCokWYcBBOk

1) La suite (u

n ) définie par : est-elle arithmétique ?

2) La suite (v

n ) définie par : est-elle arithmétique ? 1) . La différence entre un terme et son précédent reste constante et égale à -9. (u n ) est une suite arithmétique de raison -9. 2) . La différence entre un terme et son précédent ne reste pas constante. (v n ) n'est pas une suite arithmétique.

Vidéo https://youtu.be/6O0KhPMHvBA

0 1 3 5 nn u uu 1nn uur u n =7-9n v n =n 2 +3 1

7917 979 9799

nn uunn nn 2 222
1

1332 13 321

nn vvnnnnn n 2

Propriété : (u

n ) est une suite arithmétique de raison r et de premier terme u 0

Pour tout entier naturel n, on a : .

Démonstration :

La suite arithmétique (u

n ) de raison r et de premier terme u 0 vérifie la relation

En calculant les premiers termes :

Méthode : Déterminer la raison et le premier terme d'une suite arithmétique

Vidéo https://youtu.be/iEuoMgBblz4

Considérons la suite arithmétique (u

n ) tel que et .

1) Déterminer la raison et le premier terme de la suite (u

n

2) Exprimer u

n en fonction de n.

1) Les termes de la suite sont de la forme

Ainsi et

On soustrayant membre à membre, on obtient : donc .

Comme , on a : et donc : .

2) soit ou encore

2) Variations

Propriété : (u

n ) est une suite arithmétique de raison r. - Si r > 0 alors la suite (u n ) est croissante. - Si r < 0 alors la suite (u n ) est décroissante.

Démonstration : .

- Si r > 0 alors et la suite (u n ) est croissante. - Si r < 0 alors et la suite (u n ) est décroissante.

Exemple :

Vidéo https://youtu.be/R3sHNwOb02M

u n =u 0 +nr u n+1 =u n +r u 1 =u 0 +r 2100

2uururrur=+=++= +

3200

23uururrur=+=++= +

100
(1) nn uur unr ru nr u 5 =7 u 9 =19 u n =u 0 +nr 50

57uur=+=

90

919uur=+=

5r-9r=7-19

r=3 u 0 +5r=7 u 0 +5´3=7 u 0 =-8 0n uunr =+83 n un=-+´38 n un=- u n+1 -u n =u n +r-u n =r u n+1 -u n >0 u n+1 -u n <0 3

La suite arithmétique (u

n ) définie par est décroissante car de raison négative et égale à -4.

3) Représentation graphique

Les points de la représentation graphique d'une suite arithmétique sont alignés.

Exemple :

On a représenté ci-dessous la suite de raison -0,5 et de premier terme 4.

RÉSUMÉ

(u n ) une suite arithmétique - de raison r - de premier terme u 0

Exemple :

et

Définition

La différence entre un terme et son

précédent est égale à -0,5.

Propriété

Variations

Si r > 0 : (u

n ) est croissante.

Si r < 0 : (u

n ) est décroissante.

La suite (u

n ) est décroissante.

Représentation

graphique

Remarque :

Les points de la représentation

graphique sont alignés. u n =5-4n

0,5r=-

0 4u= 1nn uur 1 0,5 nn uu 0n uunr =+40,5 n un=-

0,50r=-<

4

II. Suites géométriques

1) Définition

Exemple :

Considérons une suite numérique (u

n ) où le rapport entre un terme et son précédent reste constant et égale à 2. Si le premier terme est égal à 5, les premiers termes successifs sont : u 0 = 5, u 1 = 10, u 2 = 20, u 3 = 40. Une telle suite est appelée une suite géométrique de raison 2 et de premier terme 5.

La est donc définie par : .

Vidéo https://youtu.be/WTmdtbQpa0c

Définition : Une suite (u

n ) est une suite géométrique s'il existe un nombre q tel que pour tout entier n, on a : .

Le nombre q est appelé raison de la suite.

Méthode : Démontrer si une suite est géométrique

Vidéo https://youtu.be/YPbEHxuMaeQ

La suite (u

n ) définie par : est-elle géométrique ? Le rapport entre un terme et son précédent reste constant et égal à 5. (u n ) est une suite géométrique de raison 5 et de premier terme .

Exemple concret :

On place un capital de 500€ sur un compte dont les intérêts annuels s'élèvent à 4%.

Chaque année, le capital est multiplié par 1,04. Ce capital suit une progression géométrique de raison 1,04.

On a ainsi :

De manière générale : avec

On peut également exprimer u

n en fonction de n :

Propriété : (u

n ) est une suite géométrique de raison q et de premier terme u 0

Pour tout entier naturel n, on a : .

0 1 5 2 nn u uu 1nn uqu =´35 n n u=´ 11 1 1 355
55
355
nn nn n nn n u u u 0 =3×5 0 =3 1

1,04500520u=´=

2

1,04520540,80u=´=

3

1,04540,80562,432 u=´=

1 1,04 nn uu 0

500u=5001, 04

n n u=´ u n =u 0 ´q n 5

Démonstration :

La suite géométrique (u

n ) de raison q et de premier terme u 0 vérifie la relation

En calculant les premiers termes :

Méthode : Déterminer la raison et le premier terme d'une suite géométrique

Vidéo https://youtu.be/wUfleWpRr10

Considérons la suite géométrique (u

n ) tel que et . Déterminer la raison et le premier terme de la suite (u n

Les termes de la suite sont de la forme .

Ainsi et

Ainsi : et donc .

On utilise la fonction racine troisième de la calculatrice pour trouver le nombre qui

élevé au cube donne 64.

Ainsi

Comme , on a : et donc : .

2) Variations

Propriété : (u

n ) est une suite géométrique de raison q et de premier terme non nul u 0

Pour :

- Si q > 1 alors la suite (u n ) est croissante. - Si 0 < q < 1 alors la suite (u n ) est décroissante.

Pour :

- Si q > 1 alors la suite (u n ) est décroissante. - Si 0 < q < 1 alors la suite (u n ) est croissante.

Démonstration dans le cas où u

0 > 0 : - Si q > 1 alors et la suite (u n ) est croissante. - Si 0 < q < 1 alors et la suite (u n ) est décroissante. u n+1 =q´u n u 1 =q´u 0 2 2100
uquqququ=´=´´=´ 23
3200
uquqququ=´=´´=´ 1 100
nn nn uquqquq u u 4 =8 u 7 =512 u n =q n ´u 0 u 4 =q 4 ´u 0 =8 u 7 =q 7 ´u 0quotesdbs_dbs46.pdfusesText_46