Principe du raisonnement par récurrence : Si la propriété P est : - vraie au rang n0 (Initialisation), - héréditaire à partir du rang n0 (Hérédité), alors la propriété P
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Principe du raisonnement par récurrence : Si la propriété P est : - vraie au rang n0 (Initialisation), - héréditaire à partir du rang n0 (Hérédité), alors la propriété P
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LES SUITES (Partie 1)
I. Raisonnement par récurrence
1) Le principe
C'est au mathématicien italien Giuseppe Peano (1858 ; 1932), ci-contre, que l'on attribue le principe du raisonnement par récurrence. Le nom a probablement été donné par Henri Poincaré (1854 ; 1912). On considère une file illimitée de dominos placés côte à côte. La règle veut que lorsqu'un domino tombe, alors il fait tomber le domino suivant et ceci à n'importe quel niveau de la file. Alors, si le premier domino tombe, on est assuré que tous les dominos de la file tombent. Définition : Une propriété est dite héréditaire à partir du rang n 0 si lorsque pour un entier k n 0 , la propriété est vraie, alors elle est vraie pour l'entier k+1. Dans l'exemple, si on suppose qu'un domino (k) tombe alors le domino suivant (k+1) tombe également.Principe du raisonnement par récurrence :
Si la propriété P est : - vraie au rang n
0 (Initialisation), - héréditaire à partir du rang n 0 (Hérédité), alors la propriété P est vraie pour tout entier n n 0 Dans l'exemple, le premier domino tombe (initialisation). Ici n 0 = 1. L'hérédité est vérifiée (voir plus haut).On en déduit que tous les dominos tombent.
2 Remarque : Une démonstration par récurrence sur les entiers est mise en oeuvre lorsque toute démonstration "classique" est difficile.2) Exemples avec les suites
Méthode : Démontrer par récurrence l'expression générale d'une suiteVidéo https://youtu.be/H6XJ2tB1_fg
On considère la suite (u
n ) définie pour tout entier naturel n par +2+3 et =1.Démontrer par récurrence que :
+1 • Initialisation : à Le premier domino tombe. 0+1 =1=La propriété est donc vraie pour n = 0.
• Hérédité : - Hypothèse de récurrence : à On suppose que le k-ième domino tombe. Supposons qu'il existe un entier k tel que la propriété soit vraie : 0 +1 - Démontrons que : à Le k+1-ième domino tombe-t-il ? La propriété est vraie au rang k+1, soit : 0#$ +2 0#$ 0 +2+3, par définition +1 +2+3, par hypothèse de récurrence +2+1+2+3 +4+4 +2à Le k+1-ième domino tombe.
• Conclusion : à Tous les dominos tombent.La propriété est vraie pour n = 0 et héréditaire à partir de ce rang. D'après le principe
de récurrence, elle est vraie pour tout entier naturel n, soit : +1 Méthode : Démontrer la monotonie par récurrenceVidéo https://youtu.be/nMnLaE2RAGk
On considère la suite (u
n ) définie pour tout entier naturel n par 3 +2 et =2.Démontrer par récurrence que la suite (u
n ) est croissante. On va démontrer que pour tout entier naturel n, on a : • Initialisation : =2 et 3 +2= 3×2+2=
6 3 >2 donc 3 • Hérédité : - Hypothèse de récurrence : Supposons qu'il existe un entier k tel que la propriété soit vraie : 0#$ 0 - Démontrons que : La propriété est vraie au rang k+1 : 0#. 0#$On a
0#$ 0 donc : 3 +1 3 et donc 3 +1 +2≥ 3 +2 soit 0#. 0#$ • Conclusion :La propriété est vraie pour n = 0 et héréditaire à partir de ce rang. D'après le principe
de récurrence, elle est vraie pour tout entier naturel n, soit : et donc la suite (u n ) est croissante.3) Inégalité de Bernoulli
Soit un nombre réel a strictement positif.
Pour tout entier naturel n, on a :
1+
≥1+.Démonstration au programme :
Vidéo https://youtu.be/H6XJ2tB1_fg
• Initialisation : - La propriété est vraie pour n = 0.En effet,
1+
=1 et 1+0×=1. • Hérédité : - Hypothèse de récurrence : Supposons qu'il existe un entier k tel que la propriété soit vraie :1+
0 ≥1+ - Démontrons que : la propriété est vraie au rang k+1, soit :1+
0#$ ≥1+ +11+
0 ≥1+, d'après l'hypothèse de récurrence.Donc :
1+
1+
01+
1+
Soit :
1+
0#$ ≥1+++Soit encore :
1+
0#$ ≥1+ +1 ≥1+ +1 , car ≥0.Et donc :
1+
0#$ ≥1+ +1 • Conclusion :La propriété est vraie pour n = 0 et héréditaire à partir de ce rang. D'après le principe
de récurrence, elle est vraie pour tout entier naturel n. Remarque : L'initialisation est indispensable sinon on peut démontrer des propriétés fausses ! En effet, démontrons par exemple que la propriété "2 n est divisible par 3" est héréditaire sans vérifier l'initialisation. 4