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?? ?????? ??X? x {(xi,yi),i= 1,...,n}? n n i=1xi 1 n n i=1(xi-¯x)2

COV(X,Y) =E{[X-E(X)][Y-E(Y)]}?????

COV(X,Y) =E[XY]-E[X]E[Y]?????

COV(X,X) =E{[X-E(X)][X-E(X)]}

=E{[X-E(X)]2} =V(X) >0

E[X] +E[Y]?

COV(X,Y)

X,Yindependants⇒COV(X,Y) = 0

??????E[X×Y] =E[X]×E[Y]??

Sxy=∑

n i=1(xi-¯x)(yi-¯y) n n

COV(X,Y)?

COV(X,Y) =∑

n i=1(xi-¯x)(yi-¯y) n-1=∑ n i=1xiyi-n¯x¯y n-1????? r xy=COV(X,Y)

V(X)×V(Y)

COV(X,Y)

x×σy ???????X??Y? V(X x+Y y)0)r 1 V(X xY y)0)r+1

ˆr=∑

n i=1(xi-¯x)(yi-¯y) n n i=1(yi-¯y)2?????

ˆr=∑xiyi-n¯x¯y

y2i-n¯y2????? crx??????cry? ??? ??????? ??X??????Y? cr xi=xi-¯x s x

ˆr=1

n n i=1cr xi×cryi??????

E[ˆr] =r-r(1-r2)

2n 1-n-1 n-2(1-ˆr2)??????

102138444??197200?

543169.291?

0:r= 0

1:r̸= 0

t=ˆr 1^r2 n2??????

R.C.:|t|> t1

2 (n-2) ??t1 2 2

10:94752

282= 15.1171

ˆz=1

2 ln1 + ˆr

1-ˆr??????

2 ln1+r 1r+r

2(n1)? ?? ? ? ??

E[ˆz]≈1

2 ln1 +r 1-r

V[ˆz]≈1

n-3

ˆr=e2^z-1

2^z+ 1??????

1,2= ˆz±u1

2 1 n-3?????? 2 ln1+0.9475

10.9475= 1.8072

283= 0.2

1=e21.4152-1

21.4152+ 1= 0.8886

2=e22.1992-1

22.1992+ 1= 0.9757

[0.8886; 0.9757] 2 ln1+r0 H

0:z=z0

U=ˆz-z0

1 n-3?????? ?? ??????5% H

0:r= 0.9

1:r >0.9

2 ln1+0.9

10.9= 1.4722

28-3 = 1.6750

??????? ???????u0.95= 1.6449 H

0:r1=r2

1:r1̸=r2

D= ˆz1-ˆz2??????

E[D] = 0

V[D] =1

n 1-3+1 n 2-3

R.C.:U=|ˆz1-ˆz2|

1 n 13+1 n

23≥u1

2 153+1

203= 0.1422

0.1422=0.3652

0.3770= 0.2771

0:r1=r2=···=rK

2=K∑

k=1(nk-3)ˆz2k-[∑K k=1(nk-3)ˆzk]2 K k=1(nk-3)?????? ?????? ??ˆrk???????ˆzk=1 2 ln1+^rk 1^rk? ???? ??????? ?????A=∑ k(nk-3)ˆzk= 3178.7259?B=∑ k(nk-3) = 28?C=∑ k(nk-3)ˆz2k=

113.6718?

B = 0.1459? A= [(15-3)×0.6417 + (20-3)×0.5372]2= 283.3678

B= (15-3) + (20-3) = 29

C= (15-3)×0.64172+ (20-3)×0.53722= 9.8481

B H

0:ryx=ryz

(n-1)(1 + ˆrxz) 2 n1 n3|R|+ ¯r2(1-ˆrxz)3?????? ??¯r= (ˆryx+ ˆryz)/2?|R|= 1-ˆr2yx-ˆr2yz-ˆr2xz+ 2ˆryxˆryzˆrxz ????? ??????? ???n= 28?

B= (n-1)(1 + ˆrxz= 52.5838

|R|= 1-ˆr2yx-ˆr2yz-ˆr2xz+ 2ˆryxˆryzˆrxz= 0.0191

¯r= (ˆryx+ ˆryz)/2 = 0.8898

C= (1-ˆrxz)3= 0.0001

B 2 27
25

0.0191+0.88980.0001= 0.1448

0:rxy=rzw

1:rxy̸=rzw

n-3

2-2¯s??????

ˆz=1

2 ln1+^r

¯s=ψ

(1r2)2?

¯r=^r12+^r34

ψ= 0.5{[(ˆr13-ˆr23¯r)(ˆr24-ˆr23¯r)] + [(ˆr14-ˆr13¯r)(ˆr23-ˆr13¯r)] + [(ˆr13-ˆr14¯r)(ˆr24-ˆr14¯r)] + [(ˆr14-

ˆr24¯r)(ˆr23-ˆr24¯r)]}

ˆr12= 0.3??ˆr34= 0.4?

r pb=¯y1-¯y0 s n 1n0 n(n-1)????? ???????s2n1=1 n1∑ n i=1(yi-¯y)2? t r=rpb 1r2pb n

1+n02?????

?????tc???? ??? ??? ?? ??????? ? ?(n1+n0-2)?????? ?? ??????? t c=y1-y0 s s

2=(n11)s2

1+(n01)s2

0 n

1+n02(1

n 1+1 n 0)? ????s2j=1 n j1∑ nj ?s1= 0.071?s0= 0.061??

20+152(1

20 +1 15 ) = 0.0005 ????tc=1.7331.589 p

ˆrb=¯y1-¯y0

s n1×n1×n0 n

2×λn1/n?????

s 2n1=1 n1∑ ????n1/n= 23/28 = 0.8214?

λ=fN(0.9208) =1

2πe0:92082

2 = 0.2611

ˆrb= 0.9481

1^r2b n2= 15.2016 n

1n0(n-1)

1/n×n3?????

1n0(n-1)

1/nn3≥1.25

ϕ=ad-bc

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)????? a+b n ??a+c n S i=Rang(Yi)? n i=1(Ri-¯R)(Si-¯S) i(Si-¯S)2?????

¯S=¯R=n+1

ˆρ=12∑n

i=1RiSi n(n2-1)-3(n+ 1) n-1????? ?? ?? ???? ?????? ?????? ????? ?? ????1? ?? ???? ?????? ?? ????n

ˆρ= 1-6∑n

i=1D2i n(n2-1)????? iRiSi= 1133? ? iD2i= ??20?30 t=ˆρ

1^ρ2

U=ˆρ

1 n-1 ?????? ??????? ????? ???? ?????t= 2.83320???? ??? ??????? ??0.01410???? ?? ??????? ?????U= 2.31181 2 4+5+6 3 2 = 10.5? T x=G∑ g=1(t3g-tg)?????? T x= 36??????? ?????

ˆρ=(n3-n)-6∑n

i=1d2i-(Tx+Ty)/2 (n3-n)2-(Tx+Ty)(n3-n) +TxTy??????

ˆρ=(123-12)-6×129-(36 + 0)/2

(12

3-12)2-(36 + 0)(123-12) + 36×0= 0.5442

ˆτ=P-Q

1 2 n(n-1)?????? 1 2 n(n-1) =(n 2)

τ= 2×P[(xi-xj)×(yi-yj)>0]-1??????

S=n1∑

i=1n j=i+1ν ij ij= +1,siyi< yj -1,siyi> yj?????? i=n∑ j=i+1ν ij

ˆτ=S

1 2 n(n-1)=2S n(n-1)?????? ij?νi??S??????? ?????? ?? ??????j > i⇒xj> xi? ???? ??????? ? ?? ?????ν1= (-1) + (-1) + (+1) + (-1) + (-1) =-3 ???? ??????? ????? ?????? ?? ?????S=∑n1 i=1νi= (-3) + 0 + (+3) + (-2) + (+1) =-1

ˆτ=2×(-1)

6×(6-1)=-0.0667

U=ˆτ

2(2n+5)

n(n-1)

2(2n+ 5)??????

|U|> u1 2

6(6-1)

2(2×6 + 5)=-0.1879

ˆρ≈3

τ=2

arcsinρ G x=n? ?? ??? ? ??? ???? ?????? E x=G x∑ g=1t g(tg-1)??????

ˆτ=2×S

n(n-1)-Ey?????? ???? ?????? ??? ??????? ????? ??? ??????? ??X? n n n ??Y???? ????? ?????? n ???? ???? ??????? ?? ???? ?S= 19

[PDF] [PDF] Analyse de corrélation - Université Lumière Lyon 2

COV(X,Y) =E{[X-E(X)][Y-E(Y)]}?????

COV(X,Y) =E[XY]-E[X]E[Y]?????

COV(X,X) =E{[X-E(X)][X-E(X)]}

E[X] +E[Y]?

COV(X,Y)

X,Yindependants⇒COV(X,Y) = 0

Sxy=∑

COV(X,Y)?

COV(X,Y) =∑

V(X)×V(Y)

COV(X,Y)

ˆr=∑

ˆr=∑xiyi-n¯x¯y

ˆr=1

E[ˆr] =r-r(1-r2)

102138444??197200?

543169.291?

0:r= 0

1:r̸= 0

R.C.:|t|> t1

10:94752

282= 15.1171

ˆz=1

1-ˆr??????

2(n1)? ?? ? ? ??

E[ˆz]≈1

V[ˆz]≈1

ˆr=e2^z-1

2^z+ 1??????

1,2= ˆz±u1

10.9475= 1.8072

283= 0.2

1=e21.4152-1

21.4152+ 1= 0.8886

2=e22.1992-1

22.1992+ 1= 0.9757

0:z=z0

U=ˆz-z0

0:r= 0.9

1:r >0.9

10.9= 1.4722

28-3 = 1.6750

0:r1=r2

1:r1̸=r2

D= ˆz1-ˆz2??????

E[D] = 0

V[D] =1

R.C.:U=|ˆz1-ˆz2|

23≥u1

203= 0.1422

0.1422=0.3652

0.3770= 0.2771

0:r1=r2=···=rK

2=K∑

113.6718?

B= (15-3) + (20-3) = 29

C= (15-3)×0.64172+ (20-3)×0.53722= 9.8481

0:ryx=ryz

B= (n-1)(1 + ˆrxz= 52.5838

¯r= (ˆryx+ ˆryz)/2 = 0.8898

C= (1-ˆrxz)3= 0.0001

0.0191+0.88980.0001= 0.1448

0:rxy=rzw

1:rxy̸=rzw

2-2¯s??????

ˆz=1

¯s=ψ

¯r=^r12+^r34

ˆr24¯r)(ˆr23-ˆr24¯r)]}

ˆr12= 0.3??ˆr34= 0.4?

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2=(n11)s2

1+(n01)s2

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ˆrb=¯y1-¯y0

2×λn1/n?????

λ=fN(0.9208) =1

2πe0:92082