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Une variable aléatoire discrète sur Ω à valeurs dans E est une application X de Ω dans E telle que X(Ω) soit une partie au plus dénombrable de E et telle que, pour  



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Méthode 1 : Donner la loi de probabilité d'une variable aléatoire discrète • On donne l'ensemble des valeurs X(Ω) des valeurs prises par X • On calcule P(X = x ) 



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Lorsque la variable X ne prend que des valeurs discrètes, on parle de variable aléatoire discrète Un vecteur aléatoire X : Ω → Rd est une fonction X = (X1, ,Xd) à 



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Soit X une va- riable aléatoire discrète La fonction qui associe à tout a ∈ R la probabilité P(X = a) est appelée loi de probabilité de la variable aléatoire X



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14

Variables aléatoires discrètes

Images réciproques

1. Notation probabiliste

Soitf:E→F, une application.

1.1Pour toute partieAdeF, l"image réciproquedeAparf

est la partie deE, traditionnellement notée f -1(A)ouf?(A) et définie par f ?(A) =?x?E:f(x)?A?. Pour des raisons de commodité, qui apparaîtront peu à peu, l"image réciproque deAparfsera notée en général [f?A] ou éventuellement[f(x)?A](en géométrie notamment).

1.2Pour touty?F, l"image réciproque du singleton{y}

sera notée [f=y]ou[f(x) =y].

C"est laligne de niveauyde la fonctionf.

1.3Sifest une fonction à valeurs réelles (c"est-à-direF=

on notera [f?y]au lieu de?f?[y,+∞[?.

De même, on notera respectivement

[f?y],[f>y],[f2.➙Propriétés usuelles

Soit X:Ω→E, une application.

Quelles que soient A et B, deux parties de E,

2.1

A?B=?[X?A]?[X?B].

2.2 [X?A?B] = [X?A]?[X?B] 2.3 [X?A∩B] = [X?A]∩[X?B] 2.4 [X?Ac] = [X?A]c

3.➙Image réciproque et composée

Soient X:Ω→E et f:E→F, deux applications.

4. Image réciproque d"une tribu

Soient(E,E), un espace mesurable etX:Ω→E, une applica- tion.

4.1L"ensembleσ(X) =?[X?A],A? E??P(Ω)est une

tribu surΩ.

4.2✍La tribuσ(X)est appeléetribu engendréesurΩpar l"appli-

cation X:Ω→E.I

Fondements

du calcul mathématique des probabilités

5.La notion devariable aléatoireest la notion fondamen-

tale de la théorie mathématique des probabilités.

5.1✍Soit(E,E), un espace mesurable.

On appellevariable aléatoiresur un espace probabilisté(Ω,a, valeurs dans E toute application X:Ω→E telle que ?A? E,[X?A]?a. On précise que X est unevariable aléatoire réellelorsqu"elle prend ses valeurs dans E= ?et que la tribuEest la tribu borélienneB.

5.2SiX:Ω→Eest une variable aléatoire sur(Ω,a,

alors l"applicationμX:E →[0,1]définie par ?A? E,μX(A) = ?(X?A) est une mesure de probabilité sur(E,E).

5.3✍La mesure de probabilitéμXsur(E,E)est laloi (sous

?)de la variable aléatoire X.

5.4Point de vue statistique

La loi d"une variable aléatoireXdécrit les fréquences d"appari- tion des différentes valeurs prises par la fonctionX, c"est-à-dire la manière dont les valeurs deXsontdistribuéesouréparties.

5.5Lesupport discretdeXest l"ensemble desx?Etels que

?(X=x)>0 c"est-à-dire l"ensemble des atomes de la mesureμX.→[13.76]

5.6✍Une variable aléatoire X:(Ω,a,

?)→(E,E)est diteà support fini*(resp.dénombrable*, resp.borné*) lorsqu"il existe une partie finie (resp. dénombrable, resp. bornée) E

0? Etelle que

?(X?E0) =1.

6. Hasard et déterminisme

6.1Le graphe d"une applicationf:E→Fassocie une

valeur de l"ensemble d"arrivéeFà chaque valeur de l"ensemble de départE. Autrement dit, chaque valeurxde l"ensemble de départdétermineune valeury=f(x)de l"ensemble d"arrivée : cette valeuryapparaît comme laconséquence, ou l"effet, de la causex.

6.2➙Théorème fondamental

Quelle que soit la mesure de probabilitéμdéfinie sur un espace mesu- rable(E,E), il existe un espace probabilisé(Ω,a, ?)et une variable aléatoire X:Ω→E telle que ?A? E, ?(X?A) =μ(A).

6.3La démonstration du théorème [6.2] importe peu. L"es-

sentiel est de comprendre qu"on peut ainsi représenter n"importe quelle mesure de probabilitéμpar une variable aléatoire, c"est-à- dire une fonctionXdéfinie on ne sait comment sur un ensemble inconnuΩ. Cette fonctionXest la représentation mathématique d"un phé- nomènealéatoireau sens suivant : - on sait quelles sont les valeurs que peut prendreX: les élé- ments deE, ensemble d"arrivée; - on connaît la répartition statistique de ces valeurs, décrite par la mesure de probabilitéμ; - mais chaque valeur prise par cette fonction apparaît comme un effet,X(ω), dont la cause,ω, reste inconnue.

14•Variables aléatoires discrètes

6.4Une variable aléatoire est donc une fonction mathéma-

tique au sens usuel qui ne sera donc pas étudiée de la manière usuelle : on ne s"intéressera pas au graphe de cette fonction, mais seulement à la probabilité pour que la valeur prise par cette fonction appartienne à un ensembleA? E, probabilité égale par définition àμ(A).

6.5Autrement dit, on s"intéresse seulement à laloid"une

variable aléatoireXet aux propriétés de cette loi.

I.1 Variables aléatoires discrètes

7.✍Unevariable aléatoire discrètesur(Ω,a,

?)est une appli- cation à valeurs dans un ensemble fini ou dénombrable E : ?ω?Ω,X(ω)?E telle que ?x?E,[X=x]?a.

8.Suite de[6.5] - Pour étudier une variable aléatoire dis-

crète, on doit commencer par expliciter un ensembleE(au plus dénombrable) dans lequel elle prend ses valeurs. Loi et lois conditionnelles d"une variable discrète

9.SoitX, une variable aléatoire discrète sur l"espace proba-

bilisé(Ω,a, ?)qui prend ses valeurs dans un ensembleEfini ou dénombrable.

9.1La famille?[X=x]?

x?E est un système complet d"événements.

9.2La famille?

?(X=x)? x?E, est une loi discrète surE.

9.3Laloi[5.3] deXest une mesure de probabilité sur l"es-

pace mesurable discret(E,P(E)), qui est caractérisée [13.60] par la famille? ?(X=x)? x?E.

10.➙Réalisation d"une loi discrète

Soit E, un ensemble fini ou dénombrable. Pour toute loi discrète (px)x?Esur E, il existe un espace probabilisé(Ω,a, ?)et une variable aléatoire discrète X:Ω→E telle que ?x?E, ?(X=x) =px.

11.SoitX:Ω→E.

11.1QueXsoit une variable aléatoire discrète sur(Ω,a)à

valeurs dans un ensembleEne dépend pas de la mesure de probabilité ?sur(Ω,a).→[7]

11.2En revanche, les fréquences d"apparition des valeurs de

Xdépendent de la mesure

?. Autrement dit,la loi de X dépend de ?et en modifiant la mesure de probabilité sur(Ω,a)(par exemple en conditionnant par un événement non négligeable

A?a), on modifie la loi deX.

12.Soient(E,E), un espace mesurable;(Ω,a,

?), un espace probabilisé etX:(Ω,a)→(E,E), une variable aléatoire.

12.1✍Si l"événement A?an"est pas négligeable :

?(A)>0, alors laloi conditionnelle deXsachantA est la mesure de probabi- litéνXsur(E,E)définie par ?B? E,νX(B) = ?(X?B|A).

12.2La loi conditionnelleνXdeXsachantAest en fait la loi

deXsous ?A: ?B? E,νX(B) = ?A(X?B). ce qui revient à considérerXcomme une variable aléatoire sur l"espace probabilisé(Ω,a, ?A).12.3SiX:Ω→Eest une variable aléatoire discrète, la loi conditionnelle deXsachantAest caractérisée [13.60] par la loi dicrète? ?A(X=x)? x?E.

12.4Le support discret [5.5] deXsous

?Aest contenu dans le support discret deXsous

Égalité en loi

13.✍On note X≂Y, ou Xd=Y, le fait que les deux variables aléa-

toires X et Y aient même loi. On dit aussi qu"elles sontidentiquement distribuées.

14.Deux variables aléatoires définies sur des espaces proba-

bilisés différents peuvent avoir une même loi : il faut pour cela que l"espace mesurable d"arrivée soit le même pour ces deux fonctions.

14.1➙Soient X et Y, deux variables aléatoires discrètes respective-

ment définies sur(Ω1,a1, ?)et sur(Ω2,a2,?). Les deux variables aléatoires X et Y ont même loi si, et seulement si, elles prennent leurs valeurs dans un même ensemble fini ou dénom- brable E et si ?x?E, ?(X=x) =?(Y=x).

14.2Si deux variables aléatoires discrètes sur(Ω,a)sont

presque sûrement égales : ?(X=Y) =1, alors elles ont même loi.

La réciproque est fausse [18.4], [36].

15.Si deux variables aléatoiresXetYsont définies sur un

même espace probabilisé, on peut affiner la comparaison de ces variables en étudiant la loi duvecteur aléatoire(X,Y).

I.2 Lois usuelles

16.On présente ici les lois discrètes usuelles les plus simples.

Chaque loi est vue, non comme une mesure de probabilité sur un espace mesurable discret, mais comme la loi d"une variable aléatoire discrèteX, définie sur un espace probabilisé(Ω,a,

à valeurs dans

17.1✍Pour x0?

?, la variable aléatoire X suit laloi de Dirac en x

0lorsque

?(X=x0) =1.

On note alors X

d=δx0.

17.2La variable aléatoireXsuit la loi de Dirac enx0si, et

seulement si, la variable aléatoireYdéfinie parX=Y+x0suit la loi de Dirac en 0.

17.3SiXsuit la loi de Dirac enx0, alors

?A? ?,?(X?A) =?????1 six0?A,

0 six0/?A.

18.1✍La variable aléatoire X suit laloi de Bernoullide paramètre

0 ?(X=1) =p et?(X=0) =1-p.

Dans ce cas, on note X

d=B(p)et on pose souvent q=1-p.

18.2Variable de Bernoulli associée à un événement

Pour tout événementA?a, l"indicatrice

?A:Ω→ {0,1} est une variable aléatoire sur(Ω,a, ?)qui suit la loi de Bernoulli de paramètrep= ?(A).

18.3S"il existe deux réelsa?=btels que

?(X=a)>0,?(X=b)>0 et?(X=a) +?(X=b) =1, alors il existe deux réelsαetβet une variable aléatoireYsuivant une loi de Bernoulli tels queX=αY+β.

I Fondements

du calcul mathématique des probabilités

18.4Admettons que l"ensembleΩ= [0,1]puisse être muni

d"une tribuB, ditetribu borélienne, qui contienne tous les in- tervalles et qu"il existe une mesure de probabilité ?surB, dite mesure de Lebesgue, telle que ?0?a19.1✍La variable aléatoire X suit laloi uniformesur une famille

finieF= (xk)0?kOn note alors X d=U(F).

19.2Dans ce cas, il existe une variable aléatoireYsuivant le

loi uniforme sur{1,2,...,n}et une fonctionf: ?→?de classeC∞telle queX=f(Y).

20.✍La variable aléatoire X suit laloi binomialede paramètres

n? ?et0On note alors X d=B(n,p).

21.Les lois géométriques sont leslois sans mémoire[21.3].

21.1✍La variable aléatoire X suit laloi géométriquede paramètre

0 ?k?1, ?(X=k) = (1-p)k-1p.

On note alors X

d=G(p)et on pose souvent q=1-p. 21.2
?k? ?,?(X>k) = (1-p)k.

21.3➙Une variable aléatoire à valeurs dans

??suit une loi géomé- trique si, et seulement si, ?k,n? ?,?(X>n+k|X>n) =?(X>k).

21.4Caractérisation de la loi géométrique

Une variable aléatoireXà valeurs dans

?suit la loi géométrique de paramètrep=1-qsi, et seulement si, ?k? ?,?(X>k) =qk.

22.La loi de Poisson peut être vue comme un cas limite de

la loi binomiale.

22.1✍La variable aléatoire X suit laloi de Poissonde paramètre

λ>0lorsque

?k? ?,?(X=k) =e-λλkk!.

On note alors X

d=P(λ).

22.2➙Loi des événements rares

Soit(Xn)n?

?, une suite de variables aléatoires définies sur(Ω,a,?).

Pour tout n?

?, on suppose que Xnsuit la loi binomialeB(n,pn)et que le produit np ntend versλ? ??+lorsque n tend vers+∞. Alors ?k? ?,?(Xn=k)----→n→+∞e-λλkk!.Entraînement23. Questions pour réfléchir

1. L"applicationX:Ω→Eest une variable aléatoire sur

(Ω,a, ?)si, et seulement si, la tribuσ(X)engendrée parXest contenue dans la tribua.→[4]

2.Suite de[5.6] -

2.aSiXest une variable aléatoire discrète, alors elle est aussi

une variable à support dénombrable.

2.bAvecΩ=E=

?eta=E=P(?), on pose ?ω?Ω,X(ω) =ω. Si ?est la mesure de Dirac en 0 [17.3], alorsXest une variable aléatoire à support fini bien queXne soit pas une variable aléa- toire discrète.

3. SiXetYsont deux variables aléatoires définies sur le

même espace probabilisé(Ω,a, ?)et si elles sont égales : ?ω?Ω,X(ω) =Y(ω), alors elles ont même loi.

4. Pourquoi exclut-ona prioriles valeursp=0 etp=1 de

la définition des lois de Bernoulli?

5.aLa loi binomiale de paramètresn=0 etpest une loi de

Dirac.

5.bLa loi binomiale de paramètresn=1 etpest la loi de

BernoulliB(p).

6. SiXest une variable aléatoire à valeurs dans

?dont la loi est sans mémoire [21.3] et si 0< ?(X=0)<1, alors la loi conditionnelle deXsachant[X>0]est une loi géométrique.

7. SiXd=G(p), alors

?(X>0) =1. D"autre part, pluspest proche de 1, plus l"événement[X=1]est probable.

8. SiXd=P(λ), alorsλ=-?n

?(X=0). Par conséquent, plusλest proche de 0, plus l"événement[X=0]est probable.

24. Opérations sur les variables indicatrices[18.2]

Soit(Ω,a,

?), un espace probabilisé. ?A?a, ?Ac=1- ?A. ?A,B?a, ?A∩B= ?A ?B. ?A,B?a, ?A?B=1-(1- ?A)(1- ?B) ?A+ ?B- ?A∩B.

25.SoitX, une variable aléatoire à valeurs dansE=

dont la loi est caractérisée par ?n?1, oùα>1 est un réel fixé.

1. La probabilité pour queXsoit divisible par un entier

p?1 donné est égale àp-α.

2. Quelle est la probabilité pour queXsoit impaire?

26.Suite de[18.2] - SoitB?atel que

?(B)>0.

La loi conditionnelle deX=

?AsachantBest la loi de Bernoulli de paramètre ?(A|B).

27.Si la variable aléatoireXsuit une loi binomialeB(n,p)

avecn?2, alors la loi conditionnelle deXsachantA= [X?1] est la loi de Bernoulli de paramètre np

1+ (n-1)p.

28. Taux de défaillance

L"instant au bout duquel un dispositif cesse de fonctionnerest modélisé par une variable aléatoireXà valeurs dans ??. Letaux de défaillancedeXest la suite de terme général x n= ?(X=n|X?n). Un taux de défaillance croissant (resp. décroissant) modélise un phénomène d"usure (resp. de rodage).

14•Variables aléatoires discrètes

28.1Le taux de défaillance est constant si, et seulement si,X

suit une loi géométrique (absence de mémoire).

28.2Si la loi deXest caractérisée par

?n? ?(X=n) =1n(n+1), alors le taux de défaillance tend vers 0.

28.3SiXsuit la loi de Poisson de paramètreλ, alors

1 xn=eλ?1

0nvn-1e-λvdv

et le taux de défaillance tend vers 1.

29. Fonction de répartition

SoitX:Ω→

?, une variable aléatoire discrète. On pose r k= ?(X?k)etqk=?(X>k) pour toutk?

29.1La suite(rk)k?

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