dénombrable) dans lequel elle prend ses valeurs Loi et lois conditionnelles d' une variable discrète 9 Soit X, une variable aléatoire discrète sur l'espace proba -
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[PDF] Cours 1: lois discrétes classiques en probabilités - Institut de
Elle modélise des situations d'équiprobabilités Definition On dit qu'une variable aléatoire X suit une loi uniforme discrète lorsqu'elle prend ses valeurs
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2 Loi de probabilité (ou distribution) d'une variable aléatoire Définition On appelle variable aléatoire discrète, une application X, de Ω dans X(Ω) = {x1,x2, xn,
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Une variable aléatoire discrète sur Ω à valeurs dans E est une application X de Ω dans E telle que X(Ω) soit une partie au plus dénombrable de E et telle que, pour
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Méthode 1 : Donner la loi de probabilité d'une variable aléatoire discrète • On donne l'ensemble des valeurs X(Ω) des valeurs prises par X • On calcule P(X = x )
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Lorsque la variable X ne prend que des valeurs discrètes, on parle de variable aléatoire discrète Un vecteur aléatoire X : Ω → Rd est une fonction X = (X1, ,Xd) à
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P(X = i, Y = j) = 1 : on a donc bien écrit la loi d'un couple aléatoire discret Exemple 2 La variable aléatoire X suit donc une loi de Bernoulli de param`etre p
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Proposition 3 Soit F la fonction de répartition d'une variable aléatoire discrète X Les propriétés suivantes sont toujours vraies : La fonction F est à valeurs dans
[PDF] Variables aléatoires discrètes - LAMA
Soit X une va- riable aléatoire discrète La fonction qui associe à tout a ∈ R la probabilité P(X = a) est appelée loi de probabilité de la variable aléatoire X
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dénombrable) dans lequel elle prend ses valeurs Loi et lois conditionnelles d' une variable discrète 9 Soit X, une variable aléatoire discrète sur l'espace proba -
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Variables aléatoires discrètes
Images réciproques
1. Notation probabiliste
Soitf:E→F, une application.
1.1Pour toute partieAdeF, l"image réciproquedeAparf
est la partie deE, traditionnellement notée f -1(A)ouf?(A) et définie par f ?(A) =?x?E:f(x)?A?. Pour des raisons de commodité, qui apparaîtront peu à peu, l"image réciproque deAparfsera notée en général [f?A] ou éventuellement[f(x)?A](en géométrie notamment).1.2Pour touty?F, l"image réciproque du singleton{y}
sera notée [f=y]ou[f(x) =y].C"est laligne de niveauyde la fonctionf.
1.3Sifest une fonction à valeurs réelles (c"est-à-direF=
on notera [f?y]au lieu de?f?[y,+∞[?.De même, on notera respectivement
[f?y],[f>y],[fSoit X:Ω→E, une application.
Quelles que soient A et B, deux parties de E,
2.1A?B=?[X?A]?[X?B].
2.2 [X?A?B] = [X?A]?[X?B] 2.3 [X?A∩B] = [X?A]∩[X?B] 2.4 [X?Ac] = [X?A]c3.➙Image réciproque et composée
Soient X:Ω→E et f:E→F, deux applications.4. Image réciproque d"une tribu
Soient(E,E), un espace mesurable etX:Ω→E, une applica- tion.4.1L"ensembleσ(X) =?[X?A],A? E??P(Ω)est une
tribu surΩ.4.2✍La tribuσ(X)est appeléetribu engendréesurΩpar l"appli-
cation X:Ω→E.IFondements
du calcul mathématique des probabilités5.La notion devariable aléatoireest la notion fondamen-
tale de la théorie mathématique des probabilités.5.1✍Soit(E,E), un espace mesurable.
On appellevariable aléatoiresur un espace probabilisté(Ω,a, valeurs dans E toute application X:Ω→E telle que ?A? E,[X?A]?a. On précise que X est unevariable aléatoire réellelorsqu"elle prend ses valeurs dans E= ?et que la tribuEest la tribu borélienneB.5.2SiX:Ω→Eest une variable aléatoire sur(Ω,a,
alors l"applicationμX:E →[0,1]définie par ?A? E,μX(A) = ?(X?A) est une mesure de probabilité sur(E,E).5.3✍La mesure de probabilitéμXsur(E,E)est laloi (sous
?)de la variable aléatoire X.5.4Point de vue statistique
La loi d"une variable aléatoireXdécrit les fréquences d"appari- tion des différentes valeurs prises par la fonctionX, c"est-à-dire la manière dont les valeurs deXsontdistribuéesouréparties.5.5Lesupport discretdeXest l"ensemble desx?Etels que
?(X=x)>0 c"est-à-dire l"ensemble des atomes de la mesureμX.→[13.76]5.6✍Une variable aléatoire X:(Ω,a,
?)→(E,E)est diteà support fini*(resp.dénombrable*, resp.borné*) lorsqu"il existe une partie finie (resp. dénombrable, resp. bornée) E0? Etelle que
?(X?E0) =1.6. Hasard et déterminisme
6.1Le graphe d"une applicationf:E→Fassocie une
valeur de l"ensemble d"arrivéeFà chaque valeur de l"ensemble de départE. Autrement dit, chaque valeurxde l"ensemble de départdétermineune valeury=f(x)de l"ensemble d"arrivée : cette valeuryapparaît comme laconséquence, ou l"effet, de la causex.6.2➙Théorème fondamental
Quelle que soit la mesure de probabilitéμdéfinie sur un espace mesu- rable(E,E), il existe un espace probabilisé(Ω,a, ?)et une variable aléatoire X:Ω→E telle que ?A? E, ?(X?A) =μ(A).6.3La démonstration du théorème [6.2] importe peu. L"es-
sentiel est de comprendre qu"on peut ainsi représenter n"importe quelle mesure de probabilitéμpar une variable aléatoire, c"est-à- dire une fonctionXdéfinie on ne sait comment sur un ensemble inconnuΩ. Cette fonctionXest la représentation mathématique d"un phé- nomènealéatoireau sens suivant : - on sait quelles sont les valeurs que peut prendreX: les élé- ments deE, ensemble d"arrivée; - on connaît la répartition statistique de ces valeurs, décrite par la mesure de probabilitéμ; - mais chaque valeur prise par cette fonction apparaît comme un effet,X(ω), dont la cause,ω, reste inconnue.14Variables aléatoires discrètes
6.4Une variable aléatoire est donc une fonction mathéma-
tique au sens usuel qui ne sera donc pas étudiée de la manière usuelle : on ne s"intéressera pas au graphe de cette fonction, mais seulement à la probabilité pour que la valeur prise par cette fonction appartienne à un ensembleA? E, probabilité égale par définition àμ(A).6.5Autrement dit, on s"intéresse seulement à laloid"une
variable aléatoireXet aux propriétés de cette loi.I.1 Variables aléatoires discrètes
7.✍Unevariable aléatoire discrètesur(Ω,a,
?)est une appli- cation à valeurs dans un ensemble fini ou dénombrable E : ?ω?Ω,X(ω)?E telle que ?x?E,[X=x]?a.8.Suite de[6.5] - Pour étudier une variable aléatoire dis-
crète, on doit commencer par expliciter un ensembleE(au plus dénombrable) dans lequel elle prend ses valeurs. Loi et lois conditionnelles d"une variable discrète9.SoitX, une variable aléatoire discrète sur l"espace proba-
bilisé(Ω,a, ?)qui prend ses valeurs dans un ensembleEfini ou dénombrable.9.1La famille?[X=x]?
x?E est un système complet d"événements.9.2La famille?
?(X=x)? x?E, est une loi discrète surE.9.3Laloi[5.3] deXest une mesure de probabilité sur l"es-
pace mesurable discret(E,P(E)), qui est caractérisée [13.60] par la famille? ?(X=x)? x?E.10.➙Réalisation d"une loi discrète
Soit E, un ensemble fini ou dénombrable. Pour toute loi discrète (px)x?Esur E, il existe un espace probabilisé(Ω,a, ?)et une variable aléatoire discrète X:Ω→E telle que ?x?E, ?(X=x) =px.11.SoitX:Ω→E.
11.1QueXsoit une variable aléatoire discrète sur(Ω,a)à
valeurs dans un ensembleEne dépend pas de la mesure de probabilité ?sur(Ω,a).→[7]11.2En revanche, les fréquences d"apparition des valeurs de
Xdépendent de la mesure
?. Autrement dit,la loi de X dépend de ?et en modifiant la mesure de probabilité sur(Ω,a)(par exemple en conditionnant par un événement non négligeableA?a), on modifie la loi deX.
12.Soient(E,E), un espace mesurable;(Ω,a,
?), un espace probabilisé etX:(Ω,a)→(E,E), une variable aléatoire.12.1✍Si l"événement A?an"est pas négligeable :
?(A)>0, alors laloi conditionnelle deXsachantA est la mesure de probabi- litéνXsur(E,E)définie par ?B? E,νX(B) = ?(X?B|A).12.2La loi conditionnelleνXdeXsachantAest en fait la loi
deXsous ?A: ?B? E,νX(B) = ?A(X?B). ce qui revient à considérerXcomme une variable aléatoire sur l"espace probabilisé(Ω,a, ?A).12.3SiX:Ω→Eest une variable aléatoire discrète, la loi conditionnelle deXsachantAest caractérisée [13.60] par la loi dicrète? ?A(X=x)? x?E.12.4Le support discret [5.5] deXsous
?Aest contenu dans le support discret deXsousÉgalité en loi
13.✍On note X≂Y, ou Xd=Y, le fait que les deux variables aléa-
toires X et Y aient même loi. On dit aussi qu"elles sontidentiquement distribuées.14.Deux variables aléatoires définies sur des espaces proba-
bilisés différents peuvent avoir une même loi : il faut pour cela que l"espace mesurable d"arrivée soit le même pour ces deux fonctions.14.1➙Soient X et Y, deux variables aléatoires discrètes respective-
ment définies sur(Ω1,a1, ?)et sur(Ω2,a2,?). Les deux variables aléatoires X et Y ont même loi si, et seulement si, elles prennent leurs valeurs dans un même ensemble fini ou dénom- brable E et si ?x?E, ?(X=x) =?(Y=x).14.2Si deux variables aléatoires discrètes sur(Ω,a)sont
presque sûrement égales : ?(X=Y) =1, alors elles ont même loi.La réciproque est fausse [18.4], [36].
15.Si deux variables aléatoiresXetYsont définies sur un
même espace probabilisé, on peut affiner la comparaison de ces variables en étudiant la loi duvecteur aléatoire(X,Y).I.2 Lois usuelles
16.On présente ici les lois discrètes usuelles les plus simples.
Chaque loi est vue, non comme une mesure de probabilité sur un espace mesurable discret, mais comme la loi d"une variable aléatoire discrèteX, définie sur un espace probabilisé(Ω,a,à valeurs dans
17.1✍Pour x0?
?, la variable aléatoire X suit laloi de Dirac en x0lorsque
?(X=x0) =1.On note alors X
d=δx0.17.2La variable aléatoireXsuit la loi de Dirac enx0si, et
seulement si, la variable aléatoireYdéfinie parX=Y+x0suit la loi de Dirac en 0.17.3SiXsuit la loi de Dirac enx0, alors
?A? ?,?(X?A) =?????1 six0?A,0 six0/?A.
18.1✍La variable aléatoire X suit laloi de Bernoullide paramètre
0
?(X=1) =p et?(X=0) =1-p.
Dans ce cas, on note X
d=B(p)et on pose souvent q=1-p.18.2Variable de Bernoulli associée à un événement
Pour tout événementA?a, l"indicatrice
?A:Ω→ {0,1} est une variable aléatoire sur(Ω,a, ?)qui suit la loi de Bernoulli de paramètrep= ?(A).18.3S"il existe deux réelsa?=btels que
?(X=a)>0,?(X=b)>0 et?(X=a) +?(X=b) =1, alors il existe deux réelsαetβet une variable aléatoireYsuivant une loi de Bernoulli tels queX=αY+β.I Fondements
du calcul mathématique des probabilités18.4Admettons que l"ensembleΩ= [0,1]puisse être muni
d"une tribuB, ditetribu borélienne, qui contienne tous les in- tervalles et qu"il existe une mesure de probabilité ?surB, dite mesure de Lebesgue, telle que ?0?a19.1✍La variable aléatoire X suit laloi uniformesur une famille finieF= (xk)0?k19.2Dans ce cas, il existe une variable aléatoireYsuivant le
loi uniforme sur{1,2,...,n}et une fonctionf: ?→?de classeC∞telle queX=f(Y).20.✍La variable aléatoire X suit laloi binomialede paramètres
n? ?et0On note alors X d=B(n,p).
21.Les lois géométriques sont leslois sans mémoire[21.3].
21.1✍La variable aléatoire X suit laloi géométriquede paramètre
0
?k?1, ?(X=k) = (1-p)k-1p.
On note alors X
d=G(p)et on pose souvent q=1-p. 21.2?k? ?,?(X>k) = (1-p)k.