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Seul le dernier exemple n'est pas une variable discrète 1 Loi de probabilité, Fonction de répartition La loi de probabilité d'une variable aléatoire permet de 

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variance d'une variable aléatoires sont définies, avant de signaler les deux Voici d'autres exemples de domaines d'applications des probabilités Fiabilité On  

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Exercice: Calculer espérance et variance des v a r évoquées plus haut La propriété suivante relie le calcul de l'espérance et la loi d'une variable aléatoire

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déterminer la loi de probabilité d'une variable aléatoire discrète Exemple 2 2 On lance 2 dés équilibrés et on pose X la variable aléatoire qui donne la somme

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Finalement, E(X)=1/p Exemple : Calcul de l'espérance d'une variable aléatoire Y de loi exponentielle, c'est-`a-dire de densité 

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C'est alors un exercice de dénombrement que de démontrer que le couple (X, Y ) suit alors une loi trinomiale de param`etres (n, px,py) 1 2 Lois marginales

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1 Notion de variable aléatoire Exemples Définition 2 Loi de probabilité (ou distribution) d'une variable aléatoire Définition Fonction de répartition Espérance

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Aléatoires 1 Introduction 2 Variables Aléatoires Discrètes 2 1 Définition 2 2 Loi de Probablité 2 3 Fonction de Répartition 3 Variables Aléatoires Continues

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Exemple : Calculer P([X = 1]) et P([X ⩽ 2]) dans les deux exemples de la partie 1 1 Proposition 1 : Soit X une variable aléatoire définie sur (Ω,T ,P) Alors,

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Chapitre2

VariablesAléatoires

aléatoires.

àvaleursdansR,X:Ω→R.

discrète.

UnvecteuraléatoireX:Ω→R

d estunefonctionX=(X 1 ,...,X d )àvaleursdansR d tellequelescoordonnéesX i soientdesvariablesaléatoires.

événement.

1 2 1 2 obtenu.Onaalors 1 2 )?→max(ω 1 2 17

18CHAPITRE2.VARIABLESALÉATOIRES

Ts'écritalors

T:Ω-!R

1 2 )?→inf{ω 1 2 desdifférentesvaleursdecettevariable. lafonctionF X F X :R→[0,1] derépartitionF X =F Y tellequelim x→-∞ F X (x)=0etlim x→+∞ F X

1.1Loid'unevariablediscrète

variablediscrèteàvaleursdans{x 1 ,...,x n }avecx 1 <...IP(X=x i )avecktelquex k k+1 1 ,...,x n ,...}avecx 1 <...IP(X=x i )avecktelquex k k+1

LessautsdelafonctionderépartitionF

X ontlieuenlespointsx i etlahauteurdusaut aupointx i estégaleàIP(X=x i pointsx i 1 ,...,x n }(ou{x 1 ,...,x n ,...}),la i ):i≥1}.(Eneffet,voirp.8)

Onremarqueque

1.pourtouti≥1,IP(X=x

i )?[0,1], 2. i≥1

IP(X=x

i )=1.(Eneffet,1=IP(X?R)= P i≥1

IP(X=x

i k23456789101112 k123456

IP(Y=k)1/363/365/367/369/3611/36

F Y (k)1/364/369/3616/3625/361

LafonctionderépartitiondeYest

101234567

0.1 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 1.1

Fonction de Repartition de Y

1.2Loisdiscrètesusuelles

LoideBernoulli,B(p),avecp?]0,1[.

valeur0sielleestsaine(échec).

Laloiestdonnéepar:P(X=1)=pP(X=0)=1-p.

k?

20CHAPITRE2.VARIABLESALÉATOIRES

loiBinomialedeparamètresnetp.Ona

P(X=k)=

n k p k (1-p) n-k aveck?{0,1,..,n}.

OnnoteX

i lerésultatdelai

ème

expérience: X i

1silai

ème

expérienceestréussie

0silai

ème

expérienceestunéchec

OnaalorsX=X

1 +...+X n 2 marqués?

Laloiestdonnéepar:P(X=k)=

0 m k 1 A 0 N-m n-k 1 A 0 N n 1 A sik?{0,..,min(m,n)}. proportionde"poissonsmarqués".

LoiGéométrique,G(p),avecp?]0,1[.

aupremierlancer,audeuxième,...,auk ième lancer,....OnnoteXlenombredelancers nécessairespouravoirunsuccès.

Laloiestdonnéepar:P(X=k)=p(1-p)

k-1 aveck?N,k≥1. 1+x 2 +...+x n 1-x n+1 1-x i aveci≥1. loidePoisson.

LaloiestdonnéeparP(X=k)=

k k! e aveck?N.

Uneformuleutile:

e x =1+x+ x 2 2 x 3 3! k=0 x k k! existedesvariablespluscomplexes. ?x?RF X (x)= x f(t)dt

1.f(t)≥0pourtoutt?R,

2. f(t)dt=1.

Alorspourtoutx?R,IP(X=x)=0.

22CHAPITRE2.VARIABLESALÉATOIRES

IP(X=x)=IP(X?I)=

Z x x f(t)dt=0. b a f(t)dtcorrespondàl'airedela X .SiF X est X (x).

1.4Loisàdensitéusuelles

LoiUniforme,U([a,b]),aveca,b?R,a

Densité:

f(x)= 1 b-a six?[a,b] =0sinon

Fonctionderépartition:

F(x)=0six x-a b-a six?[a,b] =1six>b exponentielle.

Densité:

f(x)=λe -λx six≥0 =0six<0

Exponentielle(1)

Exponentielle(2)

0 0.5 1 1.5 2 1234
x

Densitédeloisexponentielles

Fonctionderépartition:

F(x)=0six<0

=1-e -λx six≥0 leurreste,quelquesoitleurâge.

LoiNormale(ouloiGaussienne),N

m,σ 2 ,avecm?R,σ>0réel. lorsd'uneexpérience).

Densité:

f(x)= 1 2π e (x-m) 2 2σ 2 avecx?R.

Normale(0,1)

Normale(0,4)

0 0.1 0.2 0.3 0.4 -4-3-2-11234 x

Densitédeloisnormales

24CHAPITRE2.VARIABLESALÉATOIRES

LoiLog-Normale,LN

m,σ 2 ,avecm?R,σ>0réel.

UnevariableXsuituneloiLog-NormaleLN

m,σ 2 siln(X)suituneloinormaleN m,σ 2

Densité:

f(x)= 1 σx 2π e (ln(x)-m) 2 2σ 2 avecx?>0.

012345678910

0.00 0.05 0.10 0.15quotesdbs_dbs35.pdfusesText_40