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2 3 Limites et continuité 2 3 1 limite de fonctions dZune variable complexe Soit / une fonction complexe deune variable complexe z, définie dans un voisinage

Chapitre 4

Nombres complexes et exponentielle

complexe

Sommaire4.1 Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .81

4.2 Argument et forme polaire d'un nombre complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4.3 Exponentielle complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4.4 Racines n-ieme d'un nombre complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4.4.1 Racines n-ieme de l'unite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4.4.2 Forme polaire des racines n-ieme d'un nombre complexe quelconque . . . . . . . . . .

4.4.3 Forme cartesienne des racines carrees d'un nombre complexe quelconque . . . . . . . .

4.5 Suites et fonctions a valeurs complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4.5.1 Suites a valeurs complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4.5.2 Fonctions a valeurs complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4.6 Application aux equations dierentielles lineaires d'ordre un a coecients constants

89 4.1 Denition

Proposition et Denition 4.1On denit surR2des operations d'addition et de multiplication par les formules suivantes : (a)pa;bq pc;dq pac;bdq; (b)pa;bq pc;dq pacbd;adbcq.

Muni des operations,R2est un corps commutatif (cf. denition 1.52) dont l'element neutre pour l'addition

estp0;0qet l'element neutre pour la multiplication estp1;0q. On note ce corpsC. C'est le corps des nombres

complexes. On denitegalement la multiplication d'un nombre reel par un nombre complexe de la facon suivante :

(c)k:pa;bq pka;kbq.

On a doncpa;bq a:p1:0q b:p0;1q. Commep1;0qest l'element neutre pour la multiplication, on le note plus

simplement 1, et on notei p0;1q. On ecrit ainsi les nombres complexes sous la formeabiouaib. L'addition

et la multiplication sont alors donnees par les formules : (a')paibq pcidq pacq ipbdq, (b')paibq pcidq pacbdq ipadbcq, et on constate quei2ii 1. Sizaib, on appelle : (d) partie r eellede zle nombre reel2b2iba 2b2. La preuve des proprietes enoncees ci-dessus est laissee au lecteur.

4.2 Argument et forme polaire d'un nombre complexe

Proposition et Denition 4.2OMpzqMpkzq1kxyOn identieCau plan en associant au nombre complexezaible point

Mde coordonneespa;bq. Le nombrezest alors appele axe deMet on ecritMMpzq.

Dans cette representation :

(a) le mo dulede zn'est autre que la longueurOMpzq; (b) l'addition de z1correspond a la translation de vecteurÝÝÝÝÑ0Mpz1q; (c) la m ultiplicationpar un nom brer eelkcorrespond a l'homothetie de centreOet de rapportk; (d) la m ultiplicationpar icorrespond a la rotation de centreOet d'angle2 (e) la conjugaison corresp ond ala sym etriepar rapp ort al'axe Ox.OMpzq

Mpz1qMpz`z1q

xyOMpzqMpkzq1kxyOMpzq

Mpizqa"?epzq?mpzq "b

´b"?epizqa"?mpizqxyOMpzq

Mp¯zqa"?epzq?mpzq "b

?mp¯zq " ´bxyLa preuve des proprietes enoncees ci-dessus est laissee au lecteur.

Denition 4.3OMpzqMpkzq1kxySoitzaibun nombre complexe non nul. On appelle argument dez, et on note argpzq,

l'angleentre l'axeOxet le vecteurÝÝÝÝÑOMpzq. L'argument dezest deni a 2pres. On ecrit argpzq r2s.

UPMC 2017{2018|Laurent Koelblen82maj 28 ao^ut, 2017

1M001Analyse et Algebre pour les Sciences Chapitre 4. Nombres complexesOMpzq

θ"argpzq r2πs

1ab xyOn a alors cosaOMpzqa|z|et sinbOMpzqb|z|, d'ouzaib |z|a|z|ib|z| |z|pcosisinq.

Cette expression s'appelle la forme polaire dez(alors que l'expressionaibs'appelle la forme cartesienne dez).

Proposition 4.4Soitzetz1deux nombres complexes non nuls. On a argpzz1q argpzq argpz1q. Preuve :On pose part de la forme polaire dezetz1:zrpcosisinqetz1r1pcos1isin1q. On a

alors :zz1rr1pcoscos1sinsin1q ipcossin1sincos1qrr1cosp1q isinp1q.Remarque 4.5On deduit de ce qui precede que la multiplication par le nombre complexe cos'isin', de

module 1 et d'argument', correspond, dans le plan, a la rotation de centreOet d'angle'.

OMpzqMpz1qz

1"zˆpcos?`isin?q

xy4.3 Exponentielle complexe

Denition 4.6(a)Soit PR; on pose exppiq cosisin;

(b) Soit zaibPCavecpa;bq PR2; on pose exppzq eapcosbisinbq, oueaest l'exponentielle usuelle denie sur les nombres reels.

Remarque 4.7(1)Comme p ourl'exp onentieller eelle,il est d'usage de noter l'exp onentiellecom plexe egalementsous la

formeez, mais attention : alors que pourxPR,exest bien egal aepuissancex, qu'on peut denir independamment de l'exponentielle, ce n'est pas le cas pourezaveczPC. (2) Les fonctions sin xet cosxetant periodique de periode 2, la fonctionezest periodique de periode 2i, c.-a-d. :ezk2iezpour toutkPZ. (3) De la d enitionon d eduitimm ediatementque |ez| eDes v aleursparticuli eresdes fonctions sin uset cosin us,on d eduitles v aleursparticuli eressuiv antesde

l'exponentielle complexe. m aj 28 ao^ut, 201783Laurent Koelblen|UPMC 2017{2018 Chapitre 4. Nombres complexes1M001Analyse et Algebre pour les Sciences0 6 4 3

2233456

e i1?3i2?2i?2 21i?3

2i1i?3

2 ?2i?2 2 ?3i210 6 4 3 2 23
34
56e
i1?3i2?2i?2 21i?3

2i1i?3

2 ?2i?2 2

?3i21L'inter^et de cette denition reside dans la propriete suivante, analogue a celle de l'exponentielle usuelle denie

sur les nombres reels. Proposition 4.8(a)P ourtout pz;z1q PC2, on a :ezz1ezez1.

Consequence :

(b) p ourtout zPCon a :ez0 et l'inverse deezestez; (c) p ourtout zPCetnPZon a :enzezn. Preuve :(a)Soit zaibavecpa;bq PR2etz1a1ib1avecpa1;b1q PR2. On a alorsezeapcosbisinbqet e z1ea1pcosb1isinb1q, d'ouezez1eaea1pcosbcosb1sinbsinb1q ipsinbcosb1cosbsinb1qc.-a-d. : e zez1eaa1cospbb1q isinpbb1qezz1. (b) D'apr esle p ointpr ecedent,on a ezeze01 d'ou le resultat annonce. (c)

Si nPNalorsenzenfoishkkkikkkj

zzznfoishkkkkikkkkj e zezezezn. SinPZ, alorsn kaveckPNet alors, par denition, ezn1 ezk, maisezkekzdoncezn1e kzekzenz. Ennez01 par denition, mais 1e0e0zd'ouez0e0z.4.4 Racines n-ieme d'un nombre complexe

4.4.1 Racines n-ieme de l'unite

Denition 4.9SoitnPN. On appelle racinen-ieme de l'unite tout nombre complexe!tel que!n1. Remarque 4.10Pour toutkPZ, le nombre complexeei2kn ei2n kest une racinen-ieme de l'unite. De plus, s'il existepPZtel quek1kpn, alors : e i2k1n ei2pkpnqn ei2kn i2pei2kn ei2pei2kn pei2qpei2kn Proposition 4.11SoitnPN. Il y a exactementnnombres complexes qui sont racinesn-iemes de l'unite.

Ce sont les nombres :

e i2kn ei2n Preuve :Si!n1, alors!0, donc!reiavecr |!| PRetargp!q P r0;2r. On a alors : r nein1, d'ourn1 et doncr1 d'une part, etn0pmod 2qet doncn2k, c.-a-d.2kn aveckPZ, d'autre part. Ainsi, toute les racinesn-ieme de l'unite sont de la formeei2kn aveckPZ. De plus e i2k1n ei2kn si et seulement si2k1n 2kn r2s, c.-a-d. s'il existepPZtel que2k1n 2kn

2p, c.-a-d.

1kpn. Mais d'apres le theoreme de division euclidienne, pour toutk1PZ, il existe un unique couplepp;kq

1M001Analyse et Algebre pour les Sciences Chapitre 4. Nombres complexes4.4.2 Forme polaire des racines n-ieme d'un nombre complexe quelconque

Denition 4.12SoientzPCetnPN. On appelle racinen-ieme deztout nombre complexe!tel que nz. Proposition 4.13SoientzeiPCetnPN. Il y a exactementnnombres complexes qui sont racines n-iemes dez. Ce sont les nombres : n?e i2kn

Preuve :c'est une consequence immediate de la proposition 4.11.4.4.3 Forme cartesienne des racines carrees d'un nombre complexe quelconque

D'apres la proposition 4.13 tout nombre complexe non nul a exactement 2 racines carrees, mais l'expression qui

en est donnee est sous forme polaire. On en donne ici une expression cartesienne.

SoitzaibPCet!xiytel que!2z; on a alors :

2y2 2b2:
On en deduit que :
x 2?a 2b2a2 ety2?a 2b2a2
On distingue plusieurs cas :
Si b0 eta¡0 alorsy0 etx2ad'oux?aoux ?a, c.-a-d. :!?aou! ?a. Si b0 eta 0 alorsx0 ety2 |a|d'ouya|a|ouy a|a|c.-a-d. :!ia|a|ou! ia|a|. Si b¡0 alorsxetysont de m^eme signe car 2xyb¡0 d'ou les deux valeurs possibles de!: xd?a 2b2a2 etyd?a 2b2a2 c.-a-d. :!d?a 2b2a2 id?a 2b2a2 x d?a 2b2a2 ety d?a 2b2a2 c.-a-d. :! d?a 2b2a2 id?a 2b2a2 Si b 0 alorsxetysont de signes opposes car 2xyb 0 d'ou les deux valeurs possibles de!: xd?a 2b2a2 ety d?a 2b2a2 c.-a-d. :!d?a 2b2a2 id?a 2b2a2 x d?a 2b2a2 etyd?a 2b2a2 c.-a-d. :! d?a 2b2a2 id?a 2b2a2 Ces formules ne sont pas a retenir par cur. Voici un exemple pour les illustrer. Exemple 4.14soitz43iet!xiytel que!2z; on a alors : x
2y2
232?255;
on en deduit que : x 292
ety212 orxy 0 doncxetysont de signes opposes, d'ou les deux valeurs possibles de!: x3?2 ety 1?2 d'ou!3i?2 x 3?2 ety1?2 d'ou!3i?2 m aj 28 ao^ut, 201785Laurent Koelblen|UPMC 2017{2018
Chapitre 4. Nombres complexes1M001Analyse et Algebre pour les Sciences4.5 Suites et fonctions a valeurs complexes

4.5.1 Suites a valeurs complexes
Denition 4.15Une suitepznqnPNa valeurs complexes est une application deNdansC.
Denition 4.16(a)On d itqu'une s uitede terme g eneralznest bornee si la suite a valeurs reelles de terme general|zn|est

bornee ou si, de maniere equivalente, les suites a valeurs reelles de terme generaux bornees. (b)
On dit qu'une suite de terme g eneralzna pour limite`PCsi limnÑ8|zn`| 0. On ecrit alors limnÑ8zn`.

On remarque que lim
nÑ8zn`si et seulement si limnÑ8Les limites de suites a valeurs complexes verient des proprietes similaires a celles des limites de suites a valeurs
reelles. Proposition 4.17SoientpznqnPNetpwnqnPNdeux suites a valeurs complexe.
Limite de la somme :
(a)
Si lim
nÑ8zn`PCet limnÑ8wn`1PCet sip;q PC2alors limnÑ8pznwnq ``1. (b)
Si lim
nÑ8zn 8et sipwnqnPNest bornee alors limnÑ8pznwnq 8. En particulier, si la suitepwnqnPNa une limite nie : (d')
Si lim
nÑ8zn 8et si limnÑ8wn`PCalors limnÑ8pznwnq 8.
Limite du produit :
(c)
Si lim
nÑ8zn`PCet limnÑ8wn`1PCalors limnÑ8znwn``1. (d)
Si lim
nÑ8zn0 et sipwnqnPNest bornee alors limnÑ8znwn0. (e)
Si lim
nÑ8zn 8et si|wn| nPNest minoree par un nombrem¡0 alors limnÑ8znwn 8. En particulier, si la suitepwnqnPNa une limite nie non nulle ou innie : (g')
Si lim
nÑ8zn 8et si limnÑ8wn 8ou limnÑ8wn`PCalors limnÑ8znwn 8. Limite de l'inverse : soitpznqnPNune suite a termes non nuls : (f)
Si lim
nÑ8zn`PCalors limnÑ81z n1` (g)
Si lim
nÑ8zn0 alors limnÑ81z n 8, (h)
Si lim
nÑ8zn 8alors limnÑ81z n0.
La preuve de ces proprietes est laissee au lecteur. Il sut de se rapporter aux denitions et aux proprietes
similaires deja demontrees pour les suites a valeurs reelles (cf. proposition 2.45).
4.5.2 Fonctions a valeurs complexes
Denition 4.18Une fonction a valeurs complexe est une fonctionfdeRdansC(noteef:RÑC), c.-a-d.,
comme pour les fonctions a valeurs reelles, la donnee d'un sous-ensembleDfdeR, d'une part, et, pour tout

xPDf, d'un nombre complexe notefpxq, d'autre part. On demande de plus queDfsoit une reunion d'intervalles
d'interieurs non vides. C'est le domaine de denition def.
On denit les limites des fonctions a valeurs complexes tout comme celle des fonctions a valeurs reelles.
UPMC 2017{2018|Laurent Koelblen86maj 28 ao^ut, 2017
1M001Analyse et Algebre pour les Sciences Chapitre 4. Nombres complexesDenition 4.19Soitf:RÑCune fonction a valeurs complexe denie sur un domaineDf. SoitIun
intervalle inclus dansDfet soitAadherent aDf(A`PRouA 8ouA 8). (a) (b)
On dit qu efpxqa pour limite`PClorsquextend versAsi : limxÑAfpxq`0. On ecrit alors limxÑAfpxq `.

On remarque que lim
xÑAfpxq `si et seulement si limxÑALes limites de fonctions a valeurs complexes verient des proprietes similaires a celles des limites de fonctions
a valeurs reelles. Proposition 4.20Limites d'une fonction composee : soitfune fonction a valeurs reelles denie sur un domaineDf,gune fonction a valeurs complexes denie sur un domaineDget soientAadherent aDf(APR ouA 8ouA 8) etBadherent aDg(BPRouB 8ouB 8) et soit ennLPCouL 8. Si limxÑAfpxq Bet limyÑBgpyq Lalors limxÑApgfqpxq L. Proposition 4.21Soientfetgdeux fonctions a valeurs complexes denies sur un domaineDet soitA adherent aD(APRouA 8ouA 8).
Limite de la somme :
(a)
Si lim
xÑAfpxq `PCet limxÑAgpxq `1PCet sip;q PC2alors limxÑApfpxq gpxqq ``1. (b)
Si lim
xÑAfpxq 8et sigpxqest bornee surDalors limxÑApfpxq gpxqq 8. En particulier, sigpxqa une limite nie quandxtend versA: (d')
Si lim
xÑAfpxq 8et si limxÑAgpxq `PCalors limxÑApfpxq gpxqq 8.
Limite du produit :
(c)
Si lim
xÑAfpxq `PCet limxÑAgpxq `1PCalors limxÑAfpxqgpxq ``1. (d)
Si lim
xÑAfpxq 0 et sigpxqest bornee surDalors limxÑAfpxqgpxq 0. (e)
Si lim
xÑAfpxq 8et si|gpxq|est minoree surDpar un nombrem¡0 alors limxÑAfpxqgpxq 8. En particulier, sigpxqa une limite nie non nulle ou innie quandxtend versA: (g')
Si lim
xÑAfpxq 8et si limxÑAgpxq `PCalors limxÑAfpxqgpxq 8. Limite de l'inverse : soitfune fonction a valeurs dansC: (f)
Si lim
xÑAfpxq `PCalors limxÑA1fpxq1` (g)
Si lim
xÑAfpxq 0 alors limxÑA1fpxq 8. (h)
Si lim
xÑAfpxq 8alors limxÑA1fpxq0.
Ces proprietes resultent directement de la denition (et notamment du fait qu'une fonction a valeurs complexes

a une limite si et seulement si sa partie reelle et sa partie imaginaire ont chacune une limite) et des proprietes
similaires deja demontrees pour les fonctions a valeurs reelles (cf. propositions 2.60 et 2.61).
On denit la derivabilite des fonctions a valeurs complexes tout comme celle des fonctions a valeurs reelles.
Denition 4.22Soitfune fonction a valeurs complexes denie sur un intervalleI(d'interieur non vide) et soitaPI. Pour touthPRtel queahPI, on poseaphq fpahq fpaqh (a) Si aphqa une limite lorsquehtend vers 0, on dit quefpxqest derivable enxaet on note : f
1paq limhÑ0aphq limhÑ0fpahq fpaqh
limxÑafpxq fpaqxa: m aj 28 ao^ut, 201787Laurent Koelblen|UPMC 2017{2018
Chapitre 4. Nombres complexes1M001Analyse et Algebre pour les SciencesLe nombref1paqest appele le nombre derive defpxqenxa.Ceci est equivalent adire que fpxqest
derivable enxasi les deux fonctions

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Chapitre 4

Nombres complexes et exponentielle

4.2 Argument et forme polaire d'un nombre complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4.3 Exponentielle complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4.4 Racines n-ieme d'un nombre complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4.4.1 Racines n-ieme de l'unite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4.4.2 Forme polaire des racines n-ieme d'un nombre complexe quelconque . . . . . . . . . .

4.4.3 Forme cartesienne des racines carrees d'un nombre complexe quelconque . . . . . . . .

4.5 Suites et fonctions a valeurs complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4.5.1 Suites a valeurs complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4.5.2 Fonctions a valeurs complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4.6 Application aux equations dierentielles lineaires d'ordre un a coecients constants

89 4.1 Denition

4.2 Argument et forme polaire d'un nombre complexe

Dans cette representation :

Mpz1qMpz`z1q

Mpizqa"?epzq?mpzq "b

´b"?epizqa"?mpizqxyOMpzq

Mp¯zqa"?epzq?mpzq "b

1M001Analyse et Algebre pour les Sciences Chapitre 4. Nombres complexesOMpzq

θ"argpzq r2πs

OMpzqMpz1qz

1"zˆpcos?`isin?q

Denition 4.6(a)Soit PR; on pose exppiq cosisin;

2233456

2i1i?3

2i1i?3

Consequence :

Si nPNalorsenzenfoishkkkikkkj

4.4.1 Racines n-ieme de l'unite

Ce sont les nombres :

2p, c.-a-d.

1kpn. Mais d'apres le theoreme de division euclidienne, pour toutk1PZ, il existe un unique couplepp;kq

1M001Analyse et Algebre pour les Sciences Chapitre 4. Nombres complexes4.4.2 Forme polaire des racines n-ieme d'un nombre complexe quelconque

SoitzaibPCet!xiytel que!2z; on a alors :

On en deduit que :

On distingue plusieurs cas :

232?255;

4.5.1 Suites a valeurs complexes

On remarque que lim

Limite de la somme :

Si lim

Si lim

Si lim

Limite du produit :

Si lim

Si lim

Si lim

Si lim

Si lim

Si lim

Si lim

4.5.2 Fonctions a valeurs complexes

1M001Analyse et Algebre pour les Sciences Chapitre 4. Nombres complexesDenition 4.19Soitf:RÑCune fonction a valeurs complexe denie sur un domaineDf. SoitIun

On remarque que lim

Limite de la somme :

Si lim

Si lim

Si lim

Limite du produit :

Si lim

Si lim

Si lim

Si lim

Si lim

Si lim

Si lim

1paq limhÑ0aphq limhÑ0fpahq fpaqh